彈跳機(jī)器人著陸姿態(tài)分析及其控制方法研究

中圖分類號(hào)：TH122；TP241 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.017

0 引言

目前，彈跳機(jī)器人在人類的各類活動(dòng)中扮演著愈發(fā)舉足輕重的角色，承擔(dān)著愈發(fā)重要的任務(wù)。同時(shí)，人類對(duì)非結(jié)構(gòu)化地形的探索需求更加明顯，如外星探索、森林防火、地震或爆炸后的救援等。為此，人類開發(fā)出各種各樣運(yùn)動(dòng)模式的機(jī)器人，如輪式移動(dòng)機(jī)器人和仿生彈跳機(jī)器人等。輪式移動(dòng)機(jī)器人在面對(duì)復(fù)雜地形時(shí)，往往表現(xiàn)出適應(yīng)性不足的問(wèn)題，其越障能力也相對(duì)較弱，這成為其在實(shí)際應(yīng)用中面臨的一大挑戰(zhàn)。隨著機(jī)器人應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，彈跳機(jī)器人在針對(duì)復(fù)雜未知非固定結(jié)構(gòu)的環(huán)境探索中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[]。

在彈跳機(jī)器人研究領(lǐng)域，RAIBERT堪稱先驅(qū)者，他與其團(tuán)隊(duì)深入剖析了單質(zhì)量彈簧模型，設(shè)計(jì)出世界上首個(gè)以跳躍方式運(yùn)動(dòng)的單腿機(jī)器人[2]。

重慶大學(xué)的BAI等[3模仿非洲嬰猴的跳躍動(dòng)作和身體結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一款彈跳機(jī)器人。他們使用牛頓第二定律建立彈跳機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，使用比例-積分-微分（Proportional-Integral-Derivative，PID）算法控制機(jī)器人關(guān)節(jié)角度，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人著陸姿態(tài)的控制；此外，將Luger模型加入控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人著陸時(shí)的摩擦力補(bǔ)償，提高了機(jī)器人的著陸穩(wěn)定性。橫濱國(guó)立大學(xué)的UGURLU等提出了一種基于零力矩點(diǎn)（ZeroMomentPoint，ZMP）定理的彈跳機(jī)器人跳躍軌跡生成方法。支撐階段：首先，在極坐標(biāo)系中對(duì)ZMP方程進(jìn)行離散化處理，其數(shù)學(xué)模型包含角動(dòng)量信息，可實(shí)現(xiàn)對(duì)角動(dòng)量的抑制，并且得到質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡；其次，使用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法，得出關(guān)節(jié)角度。滯空階段：根據(jù)拋射體動(dòng)力學(xué)、動(dòng)量守恒定律和起跳時(shí)的速度等信息，預(yù)測(cè)出質(zhì)心在豎直和水平方向上的軌跡，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的穩(wěn)定跳躍。蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的LOEPFE等5設(shè)計(jì)了一種依賴重力自我復(fù)位的彈跳機(jī)器人，它利用線性彈簧儲(chǔ)存、釋放能量來(lái)實(shí)現(xiàn)跳躍動(dòng)作，著陸后，通過(guò)較低的重心和球形外殼設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)復(fù)位。

FUKUSHIMA等觀察到松鼠跳躍過(guò)程中尾巴擺動(dòng)的現(xiàn)象，提出生物在跳躍過(guò)程中通過(guò)尾巴控制自身姿態(tài)的觀點(diǎn)，并制作了一個(gè)雙連桿機(jī)器人來(lái)驗(yàn)證這一現(xiàn)象，為后續(xù)彈跳機(jī)器人空中姿態(tài)控制提供了思路。CHANG-SIU等在FUKUSHIMA等研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于動(dòng)量矩定理的非線性反饋控制器，在二連桿機(jī)器人處于自由落體狀態(tài)時(shí)控制其身體姿態(tài)，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了基于該控制器的機(jī)器人可實(shí)現(xiàn)接近動(dòng)物姿態(tài)控制能力的快速響應(yīng)。奧克蘭理工大學(xué)的KIM等提出了配備動(dòng)量輪機(jī)制的跳躍機(jī)器人。動(dòng)量輪機(jī)制有助于控制機(jī)身角度，通過(guò)控制動(dòng)量輪的旋轉(zhuǎn)，跳躍機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)跳躍。加州大學(xué)的HALDANE等設(shè)計(jì)了一款名為Salto-1P的新一代機(jī)器人系統(tǒng)，用于探索極端跳躍運(yùn)動(dòng)。Salto-1P能夠連續(xù)跳躍超過(guò) 1m 的高度，并可橫向跳躍達(dá)2m 的距離。該機(jī)器人使用空氣動(dòng)力推進(jìn)器和慣性尾部部件在空中控制其方向。一個(gè)線性化的Raibert步進(jìn)控制器足以實(shí)現(xiàn)無(wú)約束原地跳躍和前后行走，同時(shí)借助外部位置反饋。

本文對(duì)彈跳機(jī)器人著陸階段的仿真曲線進(jìn)行分析，提出了一種基于動(dòng)勢(shì)能關(guān)系的著陸穩(wěn)定判據(jù)；此外，本文在KIM等研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了具有三軸動(dòng)量輪的彈跳機(jī)器人，使用抗擾動(dòng)性能更好的積分滑模算法對(duì)機(jī)器人滯空階段和著陸階段進(jìn)行控制，并采用前饋控制器實(shí)現(xiàn)該多輸入多輸出系統(tǒng)的解耦。

1彈跳機(jī)器人設(shè)計(jì)

1.1 彈跳機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1（a）為彈跳機(jī)器人彈跳機(jī)構(gòu)等軸測(cè)圖。該機(jī)器人后腿為彈跳腿，且前肢具有輔助平衡的作用。如圖1（b）所示，彈跳腿為菱形布局，各連桿之間采用鉸鏈連接。彈跳機(jī)構(gòu)由大齒輪和不完全齒輪的齒輪組與彈跳腿組成，齒輪嚙合時(shí)完成儲(chǔ)能，退出嚙合時(shí)釋放能量。其中，左上彈跳連桿與右上、右下彈跳連桿長(zhǎng)度相等。彈跳機(jī)構(gòu)各零件屬性如表1所示。

圖2為彈跳機(jī)構(gòu)工作原理圖。圖中， A^′ 、 B^′ 、 C^′ 處為扭簧安裝位置。儲(chǔ)能階段[圖2（a]：由舵機(jī)驅(qū)動(dòng)彈跳驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不完全齒輪和驅(qū)動(dòng)軸相互固接，不完全齒輪與大齒輪嚙合，帶動(dòng)末端傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)；且左上彈跳連桿和第二傳動(dòng)軸固接，從而改變各個(gè)彈跳連桿之間的相對(duì)角度，壓縮或者拉伸扭簧，完成儲(chǔ)能。釋能階段[圖2（b]：由于不完全齒輪的缺齒特性，在完成最后一個(gè)齒的嚙合后，不完全齒輪與大齒輪脫離嚙合，限制扭簧力矩消失，扭簧復(fù)位，釋放能量。

1.2動(dòng)量輪布局及彈跳機(jī)器人整機(jī)設(shè)計(jì)

動(dòng)量輪控制機(jī)器人姿態(tài)角的方法早已在衛(wèi)星、自平衡機(jī)器人上進(jìn)行了驗(yàn)證[10-12]。此外，對(duì)于彈跳機(jī)器人，目前的研究集中在弱引力環(huán)境下的以動(dòng)量控制為驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人（Momentum-driven Robot，MoRo）[13-15]

動(dòng)量輪采用偏置布局方式，如圖3所示?？紤]到動(dòng)量輪模組對(duì)機(jī)器人靜態(tài)穩(wěn)定性的影響，采用兩后一前的正交布置方式。由圖4所示的動(dòng)量輪模組可知，為了防止動(dòng)量輪在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由于偏心所導(dǎo)致的周向振動(dòng)，動(dòng)量輪模組中均有滾珠軸承對(duì)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行周向限位。其中，俯仰模組使用聯(lián)軸器與軸承的形式，增加其可靠性。

機(jī)器人整機(jī)采用ABS塑料3D打印成型，整體質(zhì)量輕，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小。動(dòng)量輪模組均由ABS塑料打印成型。機(jī)器人及動(dòng)量輪質(zhì)量參數(shù)如表2所示。

2機(jī)器人著陸過(guò)程穩(wěn)定性分析

2.1機(jī)器人水平面靜態(tài)穩(wěn)定性分析

靜態(tài)穩(wěn)定邊界法表示的是在給定的支撐區(qū)域內(nèi)，機(jī)器人重心投影至支撐區(qū)域各邊界距離的最小值，該值稱為靜態(tài)穩(wěn)定裕度。靜態(tài)穩(wěn)定裕度越大，機(jī)器人穩(wěn)定性越好；該值小于0時(shí)，機(jī)器人處于不穩(wěn)定狀態(tài)[]。

機(jī)器人初始直立狀態(tài)下的支撐多邊形ABDE和質(zhì)心 C 的關(guān)系如圖5所示。若該質(zhì)心 C 點(diǎn)的投影點(diǎn) C_og 在支撐多邊形ABDE內(nèi)，則該機(jī)器人靜止?fàn)顟B(tài)下穩(wěn)定。

假設(shè)圖5中 E 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)心 C 坐標(biāo)為（x_c，y_c，z_c）

故點(diǎn) C_oG 到支撐多邊形 ABDE 各邊的距離分別為

式中， d₁ 、 d₂ 、 d₃ 、 d₄ 分別為點(diǎn) C_oG 到 AE 、 BD 、 AB 、ED 邊的距離。

表3所示為圖5中各點(diǎn)坐標(biāo)。代入表3數(shù)據(jù)，根據(jù)機(jī)器人靜態(tài)邊界穩(wěn)定法可知，穩(wěn)定裕度 S_ssu 為

S_ssu=min{d₁，d₂，d₃，d₄}=28.79mm

彈跳機(jī)器人未儲(chǔ)能狀態(tài)下靜態(tài)穩(wěn)定裕度大于0，故此狀態(tài)下機(jī)器人穩(wěn)定。

2.2機(jī)器人著陸階段動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析

假設(shè)機(jī)器人著陸時(shí) E 點(diǎn)先與地面接觸，且彈簧由機(jī)械結(jié)構(gòu)鎖死，不發(fā)生形變，如圖6（a）所示。此時(shí)，如圖6（c）、圖6（d）所示，機(jī)器人身體姿態(tài)角不為0，且在慣性的作用下，以一定的角速度繞慣性坐標(biāo)系三軸旋轉(zhuǎn)和某一方向的直線運(yùn)動(dòng)；即存在轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，以及以地面為零勢(shì)能面的重力勢(shì)能。

直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能最終由阻力做功抵消，繞z軸的偏航旋轉(zhuǎn)不改變 C_0G 到支撐多邊形的距離，故對(duì)機(jī)器人穩(wěn)定性沒(méi)有影響，本文不做討論。

定義：以機(jī)器人慣性系 y 軸正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，即右傾角為正；順時(shí)針為負(fù)，即左傾角為負(fù)，記為 θ₃ 。以機(jī)器人慣性系 x 軸正方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，即前傾角為正；順時(shí)針為負(fù)，即后傾角為負(fù)，記為 θ₂ 。

利用達(dá)朗貝爾原理對(duì)圖6（a）時(shí)刻的機(jī)器人作受力分析，結(jié)果如圖7所示。其中， A_pr B_pr 、 D_pr ， E_pr 均為機(jī)器人的支撐多邊形頂點(diǎn)； C_og 為質(zhì)心 C_pr 在水平面的投影點(diǎn)； F 、 M 、 G f 分別為慣性力、慣性力矩、重力和地面對(duì)機(jī)器人的作用力； ρ_pr 為質(zhì)心到旋轉(zhuǎn)中心的位置矢徑。

因此，慣性力矩、慣性力分別為

F=-ma

式中， L_s 為系統(tǒng)動(dòng)量矩； J_Epr 為系統(tǒng)繞 E_pr 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； ?_m 為系統(tǒng)質(zhì)量； a，α 分別為系統(tǒng)的加速度和角加速度。

則圖6（a）時(shí)刻下機(jī)器人的平衡力系為

G×ρ+F×ρ+M=0

G+f+F=0

式中， ρ 為質(zhì)心到旋轉(zhuǎn)中心的位置矢徑。

顯然，若此時(shí)系統(tǒng)角速度為0，慣性力矩 M 也為0，則系統(tǒng)力系不平衡， C_oG 點(diǎn)為系統(tǒng)的正壓力點(diǎn)。若此時(shí) C_oG 點(diǎn)在支撐多邊形內(nèi)，機(jī)器人則會(huì)在重力的作用下向斜后運(yùn)動(dòng)，并在摩擦力的作用下各姿態(tài)角逐漸收斂至0[圖6（b）]。

機(jī)器人姿態(tài)角若能收斂，則需滿足當(dāng)機(jī)器人動(dòng)能為0時(shí)， C_oG 點(diǎn)仍在支撐多邊形內(nèi)，在這一過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。

2.3建立機(jī)器人著陸階段的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定判據(jù)

機(jī)器人以 E 點(diǎn)著陸，如圖8所示， C_R 為機(jī)器人著陸時(shí)的質(zhì)心； ρ_R 為質(zhì)心的位置矢量； C_ocR 為質(zhì)心對(duì)支撐面的投影點(diǎn)；A、 B 、 D 、 E 分別為支撐多邊形頂點(diǎn)； F_BA 、 F_AE 、 F_BD 、 F_DE 分別為 C_ocR 到各邊的垂足。

設(shè) E 點(diǎn)為慣性系坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)心 C_R 坐標(biāo)為

ρ_R 的計(jì)算式為

式中， ρ_R 為旋轉(zhuǎn)后的位置矢量； R_c^E 為質(zhì)心繞 E 轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣。

由第2.2節(jié)分析可知，若機(jī)器人趨于穩(wěn)定，則動(dòng)能為0時(shí)， C_og 點(diǎn)仍在支撐多邊形內(nèi)。故

代人表3數(shù)據(jù)可知，機(jī)器人極限姿態(tài)角為

同理，機(jī)器人以 B 點(diǎn)為慣性系坐標(biāo)，可得

式（15）＼～式（18）中，當(dāng)姿態(tài)角等于極限角度時(shí)，C_og 點(diǎn)位于支撐多邊形ABED上；大于極限姿態(tài)角時(shí)，C_oG 點(diǎn)則在支撐多邊形ABED外。

如圖9所示，設(shè)機(jī)器人水平站立時(shí)的質(zhì)心高度為零勢(shì)能面，則當(dāng) C_oG 點(diǎn)位于點(diǎn) F_BA 、 F_AE 、 F_BD 、 F_DE 時(shí)，為各邊勢(shì)能最低點(diǎn)；當(dāng) C_oG 點(diǎn)位于點(diǎn)A、 B ， D 、 E 時(shí)，為各邊勢(shì)能最高點(diǎn)。

由上述分析可知，要使機(jī)器人著陸穩(wěn)定，除了需要滿足著陸姿態(tài)角小于極限姿態(tài)角外，還需要滿足當(dāng)前系統(tǒng)角速度方向上的動(dòng)、勢(shì)能之和小于該方向所對(duì)應(yīng)的支撐多邊形的極限勢(shì)能。故此機(jī)器人動(dòng)態(tài)穩(wěn)定裕度 S_m 為

S_m=P_stable-T-P

式中， P_stable 為當(dāng)前角速度方向上支撐多邊形對(duì)應(yīng)的極限勢(shì)能； T，P 分別為當(dāng)前系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。

著陸時(shí)的角動(dòng)能 T 為

式中， J_x，J_y 均為機(jī)器人繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

機(jī)器人勢(shì)能 P 為

P=mg（h-z_c）

h=ρ_?R（3，1）

綜上可知，機(jī)器人著陸時(shí)，若滿足著陸角小于極限傾斜角和 S_mgt;0 ，則機(jī)器人姿態(tài)角可收斂至0，即穩(wěn)定著陸。若不滿足，則機(jī)器人姿態(tài)角發(fā)散，發(fā)生傾倒。因此，下一步設(shè)計(jì)機(jī)器人姿態(tài)角控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人姿態(tài)角以及角速度的控制，從而使機(jī)器人穩(wěn)定著陸。

3機(jī)器人姿態(tài)角控制器設(shè)計(jì)

3.1 滯空階段運(yùn)動(dòng)學(xué)

由于滯空階段機(jī)器人前肢、身體、后肢保持相對(duì)靜止，只有3個(gè)動(dòng)量輪旋轉(zhuǎn)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，故將機(jī)器人簡(jiǎn)化，如圖10所示。

圖10中，點(diǎn) O_c 為機(jī)器人質(zhì)心及慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)； O_b 為機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心； O_y 、 O_p 分別為橫滾、偏航、俯仰動(dòng)量輪質(zhì)心。

定義該系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為

q=[θ₁θ₂θ₃φ₁φ₂φ₃]^T

式中， θ₁ ∴θ₂，θ₃ 分別為機(jī)器人機(jī)體坐標(biāo)系繞慣性坐標(biāo)系 z x 、 y 軸旋轉(zhuǎn)角度，即機(jī)體的偏航、俯仰、橫滾角； φ₁ 、 φ₂ 、 φ₃ 分別為偏航、俯仰、橫滾動(dòng)量輪相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度。

由圖10中矢量關(guān)系，有

式中， 、 、 分別為慣性坐標(biāo)系指向橫滾、俯仰、偏航動(dòng)量輪質(zhì)心的矢量； 分別為總質(zhì)心指向身體質(zhì)心和橫滾、俯仰、偏航動(dòng)量輪質(zhì)心的矢量； m_b 、 m_r 、 m_y 、 m_p 分別為身體質(zhì)量和橫滾、偏航、俯仰動(dòng)量輪質(zhì)量。

式中， π_y^b， π_p^b 、 π_r^b 分別為身體質(zhì)心坐標(biāo)系下偏航、俯仰、橫滾動(dòng)量輪質(zhì)心坐標(biāo)。

聯(lián)立式（24）＼～式（34），并對(duì)時(shí)間 χ_t 求導(dǎo)，有

式中， 分別為機(jī)器人身體相對(duì)慣性坐標(biāo)系的線速度和俯仰、偏航、橫滾動(dòng)量輪相對(duì)慣性坐標(biāo)系的線速度。

由角速度和旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系，有

式中， （204號(hào) ω_r 分別為機(jī)器人身體質(zhì)心相對(duì)慣性坐標(biāo)系角速度和俯仰、偏航、橫滾動(dòng)量輪相對(duì)慣性坐標(biāo)系的角速度。

3.2滯空階段動(dòng)力學(xué)模型

基于拉格朗日方程，對(duì)機(jī)器人滯空階段建立動(dòng)力學(xué)模型[]，即

式中， L 為拉格朗日函數(shù)且 L=T-U ， T 為系統(tǒng)動(dòng)能，U 為系統(tǒng)勢(shì)能； q 為廣義坐標(biāo)； Q 為廣義力矩。由于研究的是機(jī)器人處于滯空階段的姿態(tài)，故系統(tǒng)處在非慣性坐標(biāo)系下，重力由牽連慣性力平衡，故不考慮系統(tǒng)勢(shì)能變化[8]。

式（44）為拉格朗日方程表達(dá)式。

結(jié)合式（35）＼～式（38）、式（40）＼～式（43），動(dòng)能T為

式中， J_b?J_y?J_p. （20 J_r 分別為機(jī)器人身體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣和偏航、俯仰、橫滾動(dòng)量輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣。

且式（44）中廣義力矩 Q 為

式中， τ_1?τ_2?τ₃ 分別為偏航、俯仰、橫滾電動(dòng)機(jī)所提供的力矩； T_?1 、 T₂ 、 T₃ 分別為電動(dòng)機(jī)作用在慣性系上的機(jī)體力矩； d_m（m=1 ，2，…，9）過(guò)于冗雜，不展開說(shuō)明。

動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式為

將式（44）化簡(jiǎn)為式（48）， M 矩陣和 c 矩陣中元素過(guò)于冗雜，故只對(duì)兩矩陣中元素為0的項(xiàng)和特殊項(xiàng)說(shuō)明，如下所示：

至此，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建完畢。

3.3積分滑?？刂破骷扒梆伩刂破髟O(shè)計(jì)

建立機(jī)器人滯空階段動(dòng)力學(xué)模型后，考慮到系統(tǒng)在起跳和著陸時(shí)碰撞的作用下，機(jī)器人姿態(tài)角速度突然增大，類似于單位階躍信號(hào)。這就對(duì)控制算法的抗擾動(dòng)能力提出了較高的要求。

積分滑模算法具有響應(yīng)速度快、抗擾動(dòng)能力強(qiáng)的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在電動(dòng)機(jī)和帶臂無(wú)人機(jī)等領(lǐng)域[19-20]。

由式（46）＼～式（48）可知，該系統(tǒng)是以 為輸入、 為輸出的多輸入多輸出耦合系統(tǒng)，故以該系統(tǒng)為控制對(duì)象、用機(jī)器人姿態(tài)角 θ_i 控制系統(tǒng)狀態(tài)。

建立的系統(tǒng)控制方程為

式中， d 為系統(tǒng)耦合矩陣； D 、 、 f 均為控制方程中的參數(shù)矩陣。將其作為系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)，式中矩陣分別為

建立基于前饋控制器和積分滑模控制器的反饋控制系統(tǒng)，如圖11所示。

建立積分滑?？刂破?，定義

式中， ρ_e 為誤差； x_d 為期望角度。

采用的積分滑模面 s 為

式中， k_i（i=1，2，3） 為正系數(shù)矩陣。

為了改善滑模趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，選擇指數(shù)型趨近律[21]198-210為

式中， 均為正系數(shù)矩陣。聯(lián)立式（50）＼～式（54），得滑模的控制率為

利用李雅普諾夫穩(wěn)定理論[21198-210證明該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有

系統(tǒng)滿足李雅普諾夫理論，將 u_c 代人式（50）即完成系統(tǒng)閉環(huán)控制。

符號(hào)函數(shù) sgn（s） 在實(shí)際控制的切換中存在一定的滯后性，會(huì)引起相應(yīng)的抖振問(wèn)題。因此，采用雙曲正切函數(shù)削弱滑模系統(tǒng)的抖振問(wèn)題[22]，即

式中， ε 為常系數(shù)矩陣。至此，積分滑模控制器構(gòu)建完畢。

4Adams-Simulink聯(lián)合仿真

4.1著陸穩(wěn)定性仿真

將圖3所示機(jī)器人模型導(dǎo)入Adams軟件，在Simulink中構(gòu)建控制系統(tǒng)。設(shè)定采樣時(shí)間為 0.001 So

如圖12所示，機(jī)器人在0.64s時(shí)起跳，1.06s時(shí)著陸，控制器并沒(méi)有工作。圖12中， A^′′ 、 B^′′ 、 C^′′ 點(diǎn)分別為機(jī)器人著陸時(shí)俯仰角、偏航角、橫滾角坐標(biāo)，其中，俯仰角 θ₂=35.02^° ；橫滾角 θ₃=-13.16^° 。由第2.3節(jié)對(duì)旋轉(zhuǎn)方向的定義和極限姿態(tài)角可知，著陸時(shí)，機(jī)器人俯仰角大于極限俯仰角 θ_2max=13.91^° ，故機(jī)器人姿態(tài)角發(fā)散，機(jī)器人傾倒。

使用PID_A（PID控制器參數(shù)A）對(duì)機(jī)器人滯空階段進(jìn)行控制，分別如圖13、圖14所示。由圖13中的放大圖可知，機(jī)器人著陸時(shí)，姿態(tài)角均小于極限姿態(tài)角。由圖14（a）可知，機(jī)器人跳躍過(guò)程最大跳躍高度為 242.34mm ；由圖14（b）可知，機(jī)器人著陸時(shí)，動(dòng)、勢(shì)能之和大于極限勢(shì)能， S_mlt;0 ，故機(jī)器人姿態(tài)角發(fā)散，機(jī)器人傾倒。其中，圖14中橘黃色部分為角速度方向所對(duì)應(yīng)的支撐多邊形極限勢(shì)能。

使用PID_A對(duì)機(jī)器人滯空、著陸階段進(jìn)行控制，如圖15、圖16所示。由圖15中的放大圖可知，機(jī)器人著陸時(shí)，姿態(tài)角均小于極限姿態(tài)角。由圖16（a）可知，機(jī)器人跳躍過(guò)程最大跳躍高度為 242.34mm ；由圖16（b）可知，機(jī)器人著陸時(shí)，動(dòng)、勢(shì)能之和小于極限勢(shì)能， S_mgt;0 ，故機(jī)器人姿態(tài)角收斂，機(jī)器人站穩(wěn)。其中，圖16中的綠、橘黃、粉色部分均為角速度方向所對(duì)應(yīng)的支撐多邊形極限勢(shì)能。

至此，仿真結(jié)果和理論模型相互吻合。

4.2機(jī)器人跳躍、著陸過(guò)程控制仿真

由第4.1節(jié)的仿真發(fā)現(xiàn)，使用控制算法對(duì)機(jī)器人滯空、著陸兩個(gè)階段進(jìn)行控制，可以有效地克服著陸碰撞對(duì)機(jī)器人的擾動(dòng)，使機(jī)器人著陸更加平穩(wěn)。本節(jié)使用更適合非線性系統(tǒng)的積分滑?？刂扑惴▽?duì)機(jī)器人跳躍過(guò)程進(jìn)行控制，并且與PID控制算法進(jìn)行對(duì)比。

如圖17、圖18所示，使用ISMO控制的機(jī)器人跳躍、著陸過(guò)程的姿態(tài)角更加平穩(wěn)，特別在0.64＼～0.7s過(guò)程中，機(jī)器人受初始動(dòng)量的影響，各姿態(tài)角快速增大，ISMO相比于PID更快地完成了對(duì)姿態(tài)角的調(diào)控。滯空階段的0.64＼～1.049s內(nèi)，由圖18（a）中的放大圖可知，ISMO比PID更快地完成了偏航角誤差的收斂；由圖18（b）中放大圖可知，ISMO使俯仰角誤差最大值僅為 0.8^° ，遠(yuǎn)小于PID控制器的 5.9^° 橫滾角方面，ISMO的最大誤差僅為 0.09^° ，也遠(yuǎn)小于PID控制器的 0.7^° 。機(jī)器人著陸階段的 1.049～ 1.062s內(nèi)，ISMO比PID控制器更好地克服了碰撞所帶來(lái)的擾動(dòng)，并且在后續(xù)的 1.062～1.4s 內(nèi)，ISMO更快地使機(jī)器人穩(wěn)定站立，姿態(tài)角完成收斂。

綜上可知，相較于PID控制器，ISMO在控制彈跳機(jī)器人系統(tǒng)方面展現(xiàn)出更為優(yōu)越的性能。其卓越的抗擾動(dòng)特性能夠出色地抑制彈跳機(jī)器人在起跳和著陸瞬間的擾動(dòng)。此外，通過(guò)動(dòng)、勢(shì)能關(guān)系建立的機(jī)器人動(dòng)態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，其理論與仿真結(jié)果相互吻合。

5 試驗(yàn)

為了驗(yàn)證動(dòng)量輪改變彈跳機(jī)器人姿態(tài)的可行性，使用3D打印的方式，制作了圖19（a）所示的試驗(yàn)樣機(jī)。該樣機(jī)的控制電路板如圖19（b）所示，彈跳機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)舵機(jī)如圖19（c）所示。

使用PID算法對(duì)彈跳機(jī)器人的動(dòng)量輪進(jìn)行控制，試驗(yàn)結(jié)果如圖20、圖21所示。由于機(jī)器人滯空時(shí)間較短，受陀螺儀、電動(dòng)機(jī)的硬件限制，無(wú)法得到精度較高的機(jī)器人俯仰角速度和角度曲線，因而沒(méi)有類似于仿真曲線中機(jī)器人著陸階段的典型曲線。此外，由于電動(dòng)機(jī)力矩太小，故無(wú)法有效地控制身體姿態(tài)，只能有限度地影響姿態(tài)角。

在圖20所示機(jī)器人跳躍過(guò)程中，（a）＼～（c）為儲(chǔ)能過(guò)程；（b）對(duì)應(yīng)機(jī)器人姿態(tài)角；（c）為儲(chǔ)能臨界點(diǎn)；（d）＼～（f）為滯空階段和著陸階段。

對(duì)比圖21（a）＼～圖21（c）中身體姿態(tài)角最高點(diǎn) Y_F1"、Y_s1 、 Y_R1 可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)量輪正轉(zhuǎn)對(duì)機(jī)器人姿態(tài)角有小幅度的減小，動(dòng)量輪反轉(zhuǎn)則加大了機(jī)器人俯仰角。Y_F2， Y_S2 、 Y_R2 點(diǎn)分別是機(jī)器人著陸碰撞后的最小點(diǎn)。電動(dòng)機(jī)正轉(zhuǎn)情況下，機(jī)器人著陸碰撞后的俯仰角改變量最小，僅為 15.1^° ；而電動(dòng)機(jī)不轉(zhuǎn)和電動(dòng)機(jī)反轉(zhuǎn)的情況下，機(jī)器人俯仰角改變量分別為 19.3^° 和 28.9^° 。

故此，結(jié)合圖21和上述分析可知，動(dòng)量輪對(duì)彈跳機(jī)器人身體姿態(tài)角有一定的影響。

6結(jié)論

采用積分滑模控制算法，對(duì)所設(shè)計(jì)的三正交動(dòng)量輪彈跳機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)控制，并且在此基礎(chǔ)上提出了一套適用于足式機(jī)器人的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定判據(jù)。通過(guò)仿真以及試驗(yàn)，揭示了使用動(dòng)量輪、控制算法相結(jié)合對(duì)彈跳機(jī)器人姿態(tài)控制的可行性。在動(dòng)態(tài)穩(wěn)定方面，所提出的方法可通過(guò)當(dāng)前時(shí)刻機(jī)器人狀態(tài)對(duì)其是否在“未來(lái)”發(fā)生傾倒進(jìn)行預(yù)測(cè)。進(jìn)一步，本文提出的姿態(tài)控制方法以及動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)可推廣至四足機(jī)器人等需要在作業(yè)時(shí)保證姿態(tài)穩(wěn)定、著陸穩(wěn)定的場(chǎng)合，例如：鱷魚型機(jī)器人的姿態(tài)、步態(tài)穩(wěn)定性。

未來(lái)研究方向如下：使用大轉(zhuǎn)矩電動(dòng)機(jī)替代扭簧作為機(jī)器人起跳的執(zhí)行元件，以使機(jī)器人在裝備大負(fù)載的情況下更加靈活；優(yōu)化該穩(wěn)定性判據(jù)，使其與控制算法相互結(jié)合，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人更穩(wěn)定地執(zhí)行作業(yè)。

參考文獻(xiàn)

[1］莫小娟，葛文杰，趙東來(lái)，等.微小型跳躍機(jī)器人研究現(xiàn)狀綜述 [J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2019，55（15）：109-123. MOXiaojuan，GEWenjie，ZHAODonglai，etal.Review：research statusofminiature jumpingrobot[J].Journal ofMechanical Engineering，2019，55（15）：109-123.

[2] RAIBERTMH，TELLOER.Legged robotsthat balance[J]. IEEEExpert，1986，1（4）：89.

[3] BAIL，GEWJ，CHENXH，etal.Landing impact analysis of a bioinspired intermittent hopping robot with consideration of friction[J].Mathematical Problems in Engineering，2015，2015（1）： 374290.

[4] UGURLUB，KAWAMURAA.ZMP-based online jumping pattern generation fora one-legged robot[J].IEEE Transactionson Industrial Electronics，2010，57（5）：1701-1709.

[5] LOEPFEM，SCHUMACHERCM，LUSTENBERGERUB，etal. Anuntethered，jumping roly-poly soft robot driven by combustion [J].Soft Robotics，2015，2（1）：33-41.

[6] FUKUSHIMAT，SIDDALLR，SCHWABF，etal.Inertialtaileffects during righting of squirrels in unexpected falls：from behavior to robotics[J].Integrative and Comparative Biology，2021，61 （2）：589-602.

[7] CHANG-SIUE，LIBBYT，BROWNM，etal.A nonlinearfeedback controller for aerial self-righting by a tailed robot[C]/2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation.New York：IEEE，2013：32-39.

[8] KIMM，YUN D.Guinea fowl jumping robot with balance control mechanism：modeling，simulation，and experiment results [C]// 2019IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.New York：IEEE，2019：779-786.

[9] HALDANEDW，YIMJK，F(xiàn)EARINGR S.Repetitive extremeacceleration（14-g） spatial jumping with Salto-1P[C]//2017 IEEE/ RSJInternational Conference on Intelligent Robots and Systems. New York：IEEE，2017：3345-3351.

[10]MENG T，WANG H，JIN ZH，et al.Atitude stabilization of apicosatelite by momentum wheel and magnetic coils[J].Journal of Zhejiang University：ScienceA，2009，10（11）：1617-1623.

[11]MAYR J，SPANLANG F，GATTRINGER H. Mechatronic design of a self-balancing three-dimensional inertia wheel pendulum[J]. Mechatronics，2015，30：1-10.

[12]YUHB，ZHAOJ，WUDY，et al.Atitude control of three-dimensional momentum wheel platform based on linear model[C]//2020 Chinese Automation Congress（CAC）.New York： IEEE，2020： 3966-3971.

[13]GAJAMOHAN M，MERZM，THOMMENI，et al.The Cubli：a cube that can jump up and balance[C]//2012 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems（IROS）.New York：IEEE，2012：3722-3727.

[14]HOCKMAN BJ，F(xiàn)RICK A，REID RG，et al.Design，control，and experimentation of internally-actuated rovers for the exploration of low-gravity planetary bodies[J].Journal ofField Robotics，2017， 34（1）：5-24.

[15]MUEHLEBACH M，MOHANARAJAHG，D'ANDREAR.Nonlinearanalysis and control ofa reaction wheel-based 3D inverted pendulum[C]/52nd IEEE Conference on Decision and Control. New York：IEEE，2013：1283-1288.

[16]MCGHEE R B，F(xiàn)RANK AA. On the stability properties of quadruped creeping gaits[J]．Mathematical Biosciences，1968，3： 331-351.

[17]ZHAOF，WANGW，WYRWAJ，et al.Design and demonstration ofa flying-squirel-inspired jumping robot with two modes[J]. Applied Sciences，2021，11（8）：362.

[18]JIANGXY，SUCL，XUYP，etal.An adaptive backstepping sliding mode method for flight atitude of quadrotor UAVs[J].Journal of Central South University，2018，25（3）：616-631.

[19]MOFID O，MOBAYEN S.Adaptive sliding mode control for finitetimestability of quad-rotor UAVs with parametric uncertainties [J].ISA Transactions，2018，72：1-14.

[20]JIANG K，ZHANGJG，CHEN Z M.A neW approach for the sliding mode control based on fuzzy reaching law[C]//Proceedings of the 4th World Congress on Intellgent Control and Automation. New York：IEEE，2002：656-660.

[21]SIYJ，SONG S M.Adaptive reaching law based three-dimensional finite-timeguidance law against maneuvering targets with input saturation [J].Aerospace Science and Technology，2017，70： 198-210.

[22]SHI Z，DENG CC，ZHANG S，et al.Hyperbolic tangent functionbased finite-time sliding mode control for spacecraft rendezvous maneuver without chattering[J].IEEE Access，2020，8：60838- 60849.

Landing attitude analysis and control of bouncing robots

WU Zhe'ZHOU Zupeng1YANGQuan2 （1.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，GuilinUniversityofElectronicTchnology，Guilin54o4，Cina） （2.Schoolof Inteligent Manufacturing，Guangxi Vocationalamp;Technical InstituteofIndustry，Nanning53o1，China）

Abstract：[Objective]Aimingatthe problemthatthe bouncing robot is easilytoppledandunstable when landing，athreemomentumwheelbouncingrobotwithorthogonalarrangementwasdesigned.[Methods]Firstlythestaticstabilityofherobot wasanalysedusingthestaticstabilityboundarymethod，whichprovedthestabilityoftherobotstandinghorizontallatest. Then，anewlandingstabilitycriterionwasproposedbasedontheatitudeangleofthebouncingrobot，aswellasthekineticand potentialenergyrelationbycombiningD'Alembert’sprincipleandenergyconservation，andthestabilityofthebouncingrobot inthelanding phase wasanalysed basedonthismethod.Furthermore，forthecharacteristicsoflargedisturbancesandsystem couplinginthebouncingandlandingphasesoftherobot，arobotatitudeanglecontrollerbasedonanintegralslidingmode controlalgorithmandafed-forwardcontrollrwithsystemdecouplingweredesignedtocontroltherobotatitudeduring the bouncingandlanding phases.UsingAdams-Simulinkcosimulation，thecorrctnessofthedynamicstabilitycriterionwas verified，andbyomparingtheintegralsingmodeerver（O）andtheproportioalintegralrivatie（P）tole the former’sperturbationrobustness significantlyovercome the perturbations generated by the robot’s jumping and landing colisions.Finall，aprototypewasbuiltoverifythefeasibilityofusing themomentumwheetochange theatitudeof the bouncingrobot.[Results]Thedesignedatitudecontrolmechanismbasedonthreeorthogonalmomentumwheelscombined with theintegralslidingmodecontrolalgorithmcaneffectivelycontroltheatitudeoftherobotafterbouncing，andtheproposed robotlanding stability criterion can effectively predict the stabilityofthe robot through the current robot state.

Key Words： Bouncing robot; Dynamic stability discrimination;Integral sliding mode control; Atitude control