基于多超橢球模型的結(jié)構(gòu)非概率不確定性分析

Structural Non-Probabilistic Uncertainty Analysis Based onMulti-super-ellipsoid Model

HUANG Ran LIU Xuekong* NI Wanjing （China Electronics Standardization Institute）

Abstract： Uncertainty problems of engineering caused byuncertain factors such as structures，materials，and loads are becoming more and more serious.How to quantify the various uncertainties and analyze the corresponding uncertainty propagation in complex computational models has atracteda lot of attention.Therefore，the paper is based on a nonprobabilisticuncertainty propagationmodel forthemulti-super-elipsoidal model.To address the problemofcognitive uncertainty caused byinsuficient structuralinformation，a multi-super-elipsoidal model isestablised toquantify the uncertainty.Furthermore，abidirectional BayesianoptimizationalgorithmbasedontheKriging modelisproposedtobalance thecomputationalefficiencyandaccuracyofuncertaintyanalysis.Thealgorithmcanactivelyselectthepointintheuncertain regionquantified bythe multi-super-ellpsoidal model toupdate the Kriging model，andsimultaneouslysolve the maximum and minimum bounds of uncertainty analysis.The analysis results of anumerical example and an enginering example validate the effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords：uncertaintyanalysis;uncertaintyquantification;multi-super-ellipsoidalmodel;Kriging;Bayesianoptimization

0 引言

現(xiàn)代工程對復雜系統(tǒng)進行詳細分析的需求日漸提升，同時裝備系統(tǒng)的性能預測越來越依賴于數(shù)值模型，因此在系統(tǒng)設計時對其高性能、可靠性和功能健壯性的期望越來越高。傳統(tǒng)的確定性設計方法中，將設計過程參數(shù)看做是確定數(shù)值，然而在實際的生產(chǎn)、制造和工作過程中，往往伴隨著各種不確定性，比如加工精度、材料屬性和運行工況等。因此，需要對上述不確定性在產(chǎn)品中的傳遞過程進行分析，并在設計過程中加以考慮才更符合現(xiàn)代復雜裝備的設計需求[。

常見的不確定性量化模型主要分為3種：概率分布模型[2]、非精確概率分布模型（概率盒）[3，和非概率模型[4]。其中概率分布模型和非精確概率分布模型都是基于經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計理論展開研究，其需要大量的樣本來估計分布模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而，在現(xiàn)今的復雜機構(gòu)系統(tǒng)中，不確定性變量的統(tǒng)計信息較為匱乏，假如強行使用概率分布模型來描述變量的不確定性會造成分析結(jié)果不準確。對于大多數(shù)工程實際問題，確定不確定性變量的變化邊界比確定其概率分布要容易的多，特別是針對較為復雜的機械結(jié)構(gòu)設備。因此，Ben-Haim和Elishakoff于1995年提出將凸模型用來描述變量的不確定性[5]。常見的凸集模型包括區(qū)間模型和橢球模型，其中區(qū)間模型的結(jié)構(gòu)相對簡單，但是橢球模型可以衡量變量之間的相關性，因此兩者之間各有各的優(yōu)點。后續(xù)，為了將區(qū)間模型和橢球模型進行統(tǒng)一描述，Elishakoff和Bekel提出一種更具有普遍性的凸模型-超橢球模型（super-ellipsoidalmodel）來研究結(jié)構(gòu)變量的初始缺陷問題。分析結(jié)果表明，相比于區(qū)間和橢球模型，選擇超橢球模型進行不確定性量化是更加明智的選擇。

在輸人不確定性作用下，如何去精確量化該不確定性在復雜分析對象中的相互作用和傳遞過程是一個有趣問題。針對區(qū)間不確定性分析問題，最早是通過區(qū)間運算等方法進行輸出不確定性求[7]解，然而上述方法無法針對黑盒問題進行求解

后續(xù)，又有學者提出采用泰勒展開等近似方法來逼近響應函數(shù)，但是其針對復雜問題的計算精度問題較為突出[9]。近年來，Kriging代理模型的貝葉斯全局優(yōu)化方法被逐漸應用于黑箱和強非線性問題的輸出響應范圍求解。其中較為經(jīng)典的就是Jones提出的高效全局優(yōu)化算法（EfficientGlobalOptimization，EGO）[]。后續(xù)的貝葉斯優(yōu)化算法都是在此框架下進行改進，比如采集函數(shù)改進、代理模型改進和模型并行更新等[1，12]。然而，上述貝葉斯優(yōu)化方法都是針對變量為區(qū)間變量的優(yōu)化問題，基于其他不確定性量化模型其模型更新過程將存在樣本浪費問題。

因此，本文將提出一種基于多超橢球模型的不確定性分析求解方法。首先，針對輸入變量相關性和無關性同時存在問題，采用多超橢球模型對其進行不確定性量化。其次，針對基于多超橢球模型的不確定分析問題，提出一種基于Kriging模型的雙向貝葉斯優(yōu)化算法。最后，通過兩個數(shù)值算例來驗證所提算法的有效性。

1多超橢球模型

基于概率分布模型和模糊模型的不確定性描述，需要大量的統(tǒng)計信息來確定概率分布參數(shù)或隸屬度函數(shù)。因此，在樣本量信息較少的工程問題中，常采用凸模型（主要包括區(qū)間模型和橢球模型）來量化變量的不確定性。而超橢球模型則可以將區(qū)間模型和橢球模型進行統(tǒng)一描述，所以Elishakoff和Bekel于2013年首次提出使用超橢球模型進行結(jié)構(gòu)的不確定性量化。

1.1超橢球模型

針對工程不確定性問題中的有限數(shù)據(jù)集，超橢球模型是一種更加通用的凸模型。 n 維不確定變量 x∈Rⁿ 的超橢球模型定義如下：

式中： Ω_x^S 是由超橢球模型量化的不確定區(qū)域； 分別是對應變量的 x_i 中

點和半徑； x_i 是不確定變量 x 的第個分量； p 是超橢球模型參數(shù)，是一個正實數(shù)。引入變量的標準化變換如下：

式中： u_i 是不確定變量 x_i 的標準化形式。所以，超橢球模型的標準化形式如下：

式中： |?|_p 為 p- 范數(shù)。當模型參數(shù) p 分別取2和 ∞ 時，超橢球模型將分別轉(zhuǎn)變成橢球模型和區(qū)間模型，其分別定義如下：

Ω_u^E={u|||u||₂≤1}

Ω_u^I={u|||u||_∞≤1}

式中： Ω_u^E 和 Ω_u^I 分別是橢球模型和區(qū)間模型所量化的不確定區(qū)域。以一個三維的超橢球模型為例，當模型參數(shù) p 分別取2，4和 ∞ 時，其形狀變化如圖1所示?？梢钥吹?，當時，超橢球模型會變成標準的橢球模型（如圖1（1）所示），并且隨著 p 的增大，超橢球模型會慢慢向區(qū)間模型過渡（如圖1（2）所示）。當 p=∞ 時，超橢球模型就是區(qū)間模型本身（如圖1（3）所示）。

在工程實際中，構(gòu)建不確定變量的超橢球模型都是基于樣本數(shù)據(jù)進行，同樣的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造出不同的超橢球模型會直接影響不確定性分析結(jié)果。關于如何由已有的樣本數(shù)據(jù)建立最優(yōu)超橢球模型，參考文獻[13]和[14]分別給出了對應的超橢球模型建立方法。在工程問題中變量之間存在相關性，因此通過上述方法所得到的的超橢球模型邊緣可能不平行于坐標軸。針對該問題，文獻[15]提出使用旋轉(zhuǎn)坐標系的方式來得到標準的超橢球模型。為了方便描述，后續(xù)的研究將都是基于標準超橢球模型進行開展。

1.2基于超橢球模型的多超橢球模型

在實際工程問題中，造成輸入變量不確定性的因素有很多，包括結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料和環(huán)境因素等。當造成不確定性的來源一致時，不確定變量之間就會存在相關性。相反，若不確定性的來源不一致，變量之間一般是相互獨立的。根據(jù)變量之間的相關性和獨立性，將 ?n 維不確定變量 分為k組，其定義如下：

x^T=[x₁^T，x₂^T，...，x_k^T]

式中： ， i=I ，2..， k 表示第i個不確定變量子集，且 n_i 表示第i個變量子集的大小。根據(jù)式（1）＼～（3），表征第i組不確定變量子集超橢球模型的標準是定義如下：

式中： u_i"是 λ_xi"的標準化形式; p_i=（i=1，2...，k）表示第i個超橢球模型的模型參數(shù)，且當ij時， p_i 不一定和 |p_j 保持一致。綜合所有的超橢球模型，由多超橢球模型量化的不確定區(qū)域 Ω_u^M 表示為：

式中： Ω_ui^S 表示第i個超橢球模型。

2基于多超橢球模型的不確定性分析

在對輸入變量進行不確定性量化后，將研究不確定性在復雜結(jié)構(gòu)中的傳播問題。針對多超橢球模型量化的輸入不確定性，其輸出響應可以看做一個帶有上下界的區(qū)間變量。本節(jié)將提出一種基于Kriging模型的雙向貝葉斯優(yōu)化方法，對輸出響應邊界進行高效高精度求解。

2.1黑箱結(jié)構(gòu)下的不確定性傳播

當輸人為多超橢球模型量化下的 n 維不確定變量 x∈Rⁿ ，定義其輸人輸出映射關系定義為y 1=g （x） 。很明顯，輸出變量y是一個區(qū)間變量，其上下界定義為：

式中： 和 分別表示區(qū)間變量y的上下界。

所以，當輸入變量的不確定性被精確量化，以及輸人輸出對應關系確定后，輸出變量的區(qū)間范圍就可以被準確求解。然而，在工程問題中，大部分的輸入輸出映射關系g（·）“黑箱”、復雜、求解耗時的強非線性問題。所以，針對基于多橢球模型的不確定分析求解問題，本文提出一種基于Kriging模型的雙向貝葉斯優(yōu)化算法來提高求解過程的計算效率。

X=[x₁，x₂，…，X_m]. ，根據(jù)映射關系 g（?） ，其對應的真實響應值為 g^T=[g（x₁），g（x₂），…，g（x_m）] ，則Kriging模型可以表示為：

2.2Kriging模型

Kriging模型在結(jié)構(gòu)不確定性分析和可靠性分析領域得到了廣泛的應用[1]。一般來說，Kriging模型包含兩個部分：多項式項和隨機過程項。對于 n 維不確定變量 x∈Rⁿ ，假設初始訓練樣本集為

式中： f（x）=[f₁（x），f₂（x），...，f_p（x）] 為基本多項式函數(shù); β^T=[β₁，β₂，… ， β_P] 為多項式回歸系數(shù)。本文中，多項式函數(shù)采用常數(shù)項，即 f（x）=1z（x） 是均值為0，方差為 σ^g2 的高斯隨機過程，其協(xié)方差函數(shù)定義如下：

Cov[z（x_i），z（x_j）]=σ²R（θ，x_i，x_j）

式中： R（θ，x_i，xj） 表示樣本 ?x_i 和 |x_j| 之間的相關函數(shù)； θ 為的相關 1×n 函數(shù)參數(shù)。在本文中，采用高斯相關函數(shù)來描述樣本之間的相關性，定義如下：

式中： x_i^k 和 x_j^k 分別是 x_i 和 x_j 的第 k 個分量； θ_k 是 θ 的第 k 個分量。

基于訓練集 X 和g其響應值，回歸系數(shù) β 和高斯過程方差 σ² 的估計值計算如下：

式中： F 為訓練樣本處的回歸模型矩陣； R 為相關矩陣， R=[R_ij]_m×m 且 R_ij=R（θ，x_i，x_j） 。

在任意未知點 x 處，其響應值估計和預測方差計算如下：

式中： u（x）=F^TR^-1r-f（x） ， （204號 表征在未知點 x 處的預測不確定性，其值越大表示模型的預測精度越低，因此該預測方差可用來指導貝葉斯優(yōu)化過程。

2.3基于Kriging的雙向貝葉斯優(yōu)化算法

EGO（EfficientGlobalOptimization）算法是由Jones首先提出的一種求解復雜問題的貝葉斯優(yōu)化算法[]。在Kriging代理模型的基礎上，利用EI（ExpectedImprovement）采集函數(shù)來度量未知點處的模型擬合精度。同時選取EI函數(shù)最大值所對應的樣本點來更新Kriging模型，有助于主見提高Kriging模型在最優(yōu)處的模型逼近精度。

算例1的選點過程進行直觀展示，如圖4所示?？梢钥吹剑S著模型參數(shù)的變化，所提算法能夠在超橢球區(qū)域內(nèi)進行選點。其次，基于最大值和最小值的雙向選點策略，也能夠進一步減少模型更新過程中全局探索的成本。因此，所提算法能夠從上述兩個層面來提升基于超橢球模型的不確定性分析問題的求解效率。

3.2噴氣發(fā)動機的渦輪葉片分析問題

噴氣式發(fā)動機的渦輪葉片（鎳基合金，NIMONIC90）在正常工作情況下會同時受到熱應力和外部壓力的雙重作用，其有限元模型和應力分布云圖如圖5所示[4]。疲勞失效是渦輪葉片的常見失效問題，因此分析計算其熱應力和變形至關重要。然而，由于葉片材料參數(shù)、載荷和工作環(huán)境溫度等不確定性的存在，渦輪葉片的熱應力和變形將會具有很大的分散性。本算例在考慮渦輪葉片的材料特性、外載荷和溫度條件等不確定性因素下，渦輪葉片的最大變形量定義如下

D_max=g（E，C_TE，m，K_TC，P₁，P₂）

式中：楊氏模量 E 、熱膨脹系數(shù) C_TE 泊松比 m 導熱系數(shù) K_TC 、壓力面壓力載荷 P₁ 和吸力面壓力載荷 P₂ 為多超橢球模型量化下的不確定性變量，其定義如下：

種算法的分析結(jié)果如表3所示。由于初始樣本分布的會影響計算過程，所以所提算法的計算結(jié)果都是由10次獨立仿真取均值得到。針對不同的模型參數(shù)，可以清楚看到輸出響應的不確定性上下界存在明顯差異，所以在工程問題中采用多超橢球模型對輸人不確定性進行精確量化具有重要意義。對比所提算法和PSO算法之間的計算結(jié)果，所提算法的計算精度符合工程計算要求，且在計算效率上有大幅度提升，說明所提算法針對工程問題的實用性。當采用Kriging+LHS算法進行問題求解時，在相同大小設計樣本集情況下，其計算精度明顯小于所提算法，這是因為所提算法能針對最大/小值區(qū)域附近進行選點并更新模型。綜上所述，面向工程問題，所提算法依然能對其進行高效高精度求解。

式中：上標 c 和 ∣r 分別表示對應變量的分布中心和半徑，其具體參數(shù)見表2。 P=[P₁，P₂] 是兩個超橢球模型的模型參數(shù)，在本算例中將對模型參數(shù)取[∞，∞] 和 [∞，2] 兩種情況分別進行分析。

4結(jié)語

本文提出一種多超橢球模型來完成非概率不確定性量化，并建立一種基于Kriging模型的雙向貝葉斯優(yōu)化算法進行不確定性問題求解。

（1）多超橢球模型能兼顧區(qū)間模型和橢球模型，同時針對不確定變量之間相關性和無關性同時存在情況下進行統(tǒng)一描述。

（2）基于Kriging的雙向貝葉斯優(yōu)化算法在模型更新過程中能夠在多超橢球模型約束范圍下完成選點，并且雙向并行優(yōu)化可以減少貝葉斯模型更新過程中的全局探索成本，這可有效提高求解效率。

（3）強非線性數(shù)值算例和復雜工程算例分析結(jié)果表明，不同的超橢球模型參數(shù)對不確定性分析結(jié)果有較大影響，因此在工程問題中需要精針對算例2的所提算法、PSO和Kriging+LHS三確構(gòu)建對應的多超橢球模型。相比于演化算法和Kriging+LHS方法，所提的基于Kriging雙向貝葉斯優(yōu)化算法能對基于多超橢球模型的不確定性分析問題進行高效高精度求解。

參考文獻

[1] CHOISK，GRANDHIRV，CANFIELDRA.結(jié)構(gòu)可靠 性設計[M].北京：國防工業(yè)出版社，2014.

[2] CHENG Jiaming， ZHAO Wei. Chaotic enhanced colliding bodiesoptimization algorithm for structural reliability analysis[J]. Advances in Structural Engineering，2020， 23（3）： 438-453.

[3]FERSON S， KREINOVICH V， GINZBURG，L， MYERS D S，SENTZ K. Constructing probability boxes and Dempster-Shafer structures[R]. Sandia National Lab. （SNL-NM），Albuquerque， NM（United States）， 2015.

[4] HONG Linxiong，LI Huacong，F(xiàn)U Jiang-feng，LI Jia， PENG Kai，.Hybrid active learning method for nonprobabilistic reliability analysis with multi-superellipsoidalmodel[J].ReliabilityEngineeringamp;System Safety，2022，222： 108414.

[5]BEN Y， ELISHAKOFF I. Discussion on：A nonprobabilistic concept of reliability[J]. Structural Safety， 1995， 17（ 3）：195-199.

[6]ELISHAKOFF I， BEKEL Y.Application of Lamé’s Super Ellipsoids to Model InitialImperfections[J].Journal of Applied Mechanics，2013，80（6）： 061006.

[7]MOORE R E. Methods and applications of interval analysis.[M].Methods and applications of interval analysis.， 1979.

[8]DENG Zhongmin， GUO Zhaopu， ZHANG Xuede. Nonprobabilistic set-theoretic models for transient heat conduction of thermal protection systems with uncertain parameters[J]. Applied Thermal Engineering，2016， 95： 10-17.

[9]FU Chunming，CAO Lixiong， TANG Jianchang. A subinterval decomposition analysismethod foruncertain structures with large uncertainty parameters[J]. Computers and Structures，2018.

[10] JONESD R，SCHONLAU M， WELCH WJ.Efficient global optimization of expensive black-box functions[J]. Journal of Global Optimization，1998，13（4）： 455-492.

[11] 洪林雄，李華聰，彭凱，等.基于改進學習策略的Kriging 模型結(jié)構(gòu)可靠度算法[J].西北工業(yè)大學學報，2020， 38（2）： 8.

[12]DANGCao，WEI Pengfei，F(xiàn)AESMGR，VALDEBENITO G R，BEER M. Interval uncertainty propagation by a parallel Bayesian global optimization method.Applied Mathematical Modelling，2022，108： 220-235.

[13]MENG Zeng，HU Hao，ZHOU Huanlin. Super parametric convex model and itsapplication for non-probabilistic reliability-based design optimization[J].Applied Mathematical Modelling，2018，55： 354-370.

[14]NI Bingyu， ELISHAKOFF I， JIANG Cao，F(xiàn)U Chunming， HAN Xu. Generalization of the super ellipsoid concept and itsapplicationinmechanics[J].AppliedMathematical Modelling，2016，40（21-22）： 9427-9444.

[15] HONG Linxiong， LI Huacong， GAO Ning， FU Jiangfeng， PENG Kai. Random and multi-super-ellipsoidal variableshybrid reliabilityanalysisbased ona novel active learning Kriging model[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2021，373： 113555.

[16] 魏娟，張建國，邱濤.基于改進的動態(tài)Kriging模型的 結(jié)構(gòu)可靠度算法[J].北京航空航天大學學報，2019， 45（02）： 373-380.

[17] SUN Xuan， LI Shiyang，DUN Xiangming，LI Deyue， LI Tangan，GUO Rongjing，YANG Ming. A novel characterization method of piezoelectric composite material based on particle swarm optimization algorithm[J].Applied Mathematical Modelling，2019，66： 322-331.