問題驅(qū)動思維，推動實踐進階

摘要：本文圍繞尺規(guī)作圖在數(shù)學綜合與實踐中的應(yīng)用展開教學探究，以問題驅(qū)動思維通過作線段、平行四邊形一邊、三角形一邊三等分點，培養(yǎng)動手操作能力，發(fā)展空間觀念和空間想象力，提高幾何綜合題目的解決能力，增強了數(shù)學學習的信心與興趣。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖 "問題探究 "綜合與實踐 "數(shù)學思維

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出幾何直觀是義務(wù)教育第四學段數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，并且在第四學段課程目標中明確要求“通過尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系”。在學生已掌握三角形、平行四邊形的性質(zhì)前提下，通過尺規(guī)作圖三等分點的練習，輔以啟發(fā)式問題鏈，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗和體驗；以2022年上海市中考25題為檢測，提高幾何綜合題目的解決能力，增強數(shù)學學習的信心與興趣。

1教學目標

1.1通過尺規(guī)作圖確定線段的三等分點，鞏固平行線分線段成比例定理等所學知識，掌握基本圖形的應(yīng)用。

1.2通過作正方形一邊、線段、平行四邊形一邊、三角形一邊三等分點，體會“特殊—一般—特殊”的研究方法，提高動手操作的能力，發(fā)展空間觀念和空間想象力。

1.3通過尺規(guī)作圖的直觀操作，加強對平行四邊形、三角形性質(zhì)的理解，提高幾何綜合題目的解決能力，增強數(shù)學學習的信心與興趣。

2教學過程

問題1：請同學們思考可以通過尺規(guī)作圖進行哪些基本作圖。

學生：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作一條線段的垂直平分線，作一個角的平分線。

教師（追問）：同學們可以利用這四種基本的尺規(guī)作圖完成過直線外一點作這條直線的平行線嗎？

學生：可以通過尺規(guī)作圖作一個角等于已知角，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，完成作圖。

教學說明：引導學生利用學過的基本尺規(guī)作圖方法，結(jié)合兩平行線的判定定理來完成，發(fā)展學生的邏輯推理和幾何直觀能力。

問題2：請同學們思考如何通過尺規(guī)作圖三等分線段。

如圖，已知線段AB，在線段AB上求作一點C，使AC：CB = 1：2或AC：CB = 2：1.

思路：如圖，過點A作射線AM，以A為圓心，AD長為半徑作弧，交射線AM于點D，在射線AM上依次截取DE = EF = AD；聯(lián)結(jié)BF，過點D作DC∥BF交AB于點C，則點C即為所求.

追問：如何證明呢？

理由：由DC∥BF，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得[ADAF=ACAB].因為AD = DE = EF，所以[ADAF=13]，所以[ACAB=13]，故點C為符合條件的AB的一個三等分點.

教學說明：本活動引導學生進行個人思考、小組討論與動手實踐探究的完整過程，結(jié)合平行線分線段成比例定理，有效鍛煉學生的逆向思維，提高其綜合知識運用能力。

問題3：如何利用圖形的性質(zhì)確定平行四邊形一邊的三等分點？如圖，已知?ABCD，求作邊AD的一個三等分點.

思路：聯(lián)結(jié)AC、BD相交于點O，作OA中點E，聯(lián)結(jié)BE并延長交AD于點F，點F即為所求作的點.

理由：因為平行四邊形的對邊平行，易得[AFBC=AECE].因為平行四邊形的對角線互相平分，所以點O為AC的中點.因為AE = OE，所以[AECE=13].易得[AFAD=13]，所以點F是AD邊上的一個三等分點.

教學說明：在尺規(guī)作圖線段三等分點的通性通法中，將研究視角轉(zhuǎn)向平行四邊形，加強學生對平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)的理解，拓寬解決問題的思路，展現(xiàn)了數(shù)學中從一般到特殊的重要思想。

問題4：如何利用圖形的性質(zhì)確定三角形一邊的三等分點？如圖，已知△ABC，求作邊AB邊上的一個三等分點G.

思路：取AB中點D，AC中點E，聯(lián)結(jié)CD、BE相交于點F，過點F作FG∥AC交AB邊于點G，點G即為所求邊AB的一個三等分點.

理由：因為BE、CD是△ABC的中線，所以F為△ABC的重心.根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可知AF = 2EF.因為FG∥AC，所以[BGAG=BFEF]，易

得[AGAB=13]，所以點G即為所求.

教學說明：三角形的中線作為其重要的“三線”之一，本活動通過尺規(guī)作圖作三角形一邊的三等分點，巧妙結(jié)合三角形重心的性質(zhì)，加強學生逆向思考的能力，發(fā)展邏輯推理能力。