臨界條件下三維可壓縮Navier-Stokes-Korteweg 系統(tǒng)的適定性

中圖分類號(hào)：0175 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Adaptability of Three-Dimensional Compressible Navier-Stokes-Korteweg Systems under Critical Conditions

ZHENG Chuan-qin， LU Fu-qiang，WANG Qing-song （College of Mathematical Sciences，Guizhou Normal University，Guiyang 55oo25，China）

Abstract：In this paper，we study the problem of fitness of compressible Navier-Stokes-Korteweg systems in three dimensions. Due to the phase transition，the linearized system loses its symmetry and therefore the pressure derivative is O for a given constant state. Given a sufficiently small initial value under these physical conditions，it is possible to show by means of energy estimation and perturbation analysis that there exists a unique global classical solution to the equation and that this solution is controlled by a given small initial value.

Key Words： Navier-Stokes-Korteweg system； adaptability; energy estimation; disturbance analysis;classical solution

0 引言

本文研究可壓縮Navier-Stokes-Korteweg系統(tǒng)具有以下形式：

其中： （x，t）∈R³×R³ ；未知函數(shù) ρgt;0 和 u 分別表示密度和速度；壓力 P（ρ） 是關(guān)于密度的光滑函數(shù)； μ，ν 是黏性系數(shù)并且滿足 μgt;0 和 2μ+3ν gt;0;κgt;0 是毛細(xì)系數(shù)，當(dāng) κ=0 時(shí)，系統(tǒng)（1）為可壓縮Navier-Stokes方程.

系統(tǒng)（1）描述的是具有相變的可壓縮液-汽流體運(yùn)動(dòng)，在20世紀(jì)80 年代由DUNNJE等[1]使用二階梯度理論嚴(yán)格推導(dǎo)出來，并且這種運(yùn)動(dòng)可以通過擴(kuò)散界面和銳界面兩種不同的模型來表示，它們的不同之處在于如何表示分離液體和蒸汽的界面.對(duì)于給定的光滑亥姆霍茲能量 φ（ρ） ，壓力 P（ρ） 可以由狀態(tài)方程 P（ρ）=ρ²φ^′（ρ） 表示．為了說明相變，假設(shè)亥姆霍茲自由能 ρφ（ρ） 具有雙阱尖銳的性質(zhì)，其物理背景參見文獻(xiàn)[2]， P 和 W 之間具有以下關(guān)系：

該式表明壓力是關(guān)于密度的非單調(diào)函數(shù)，所以存在 α₁，α₂ 使得壓力函數(shù)在這兩個(gè)點(diǎn)有局部極值.當(dāng) ρ?α₁ 時(shí)顯示為汽相；當(dāng) Φ_ρ?α₁ 時(shí)顯示為液相;當(dāng) ρ∈（α₁，α₂） 時(shí)則處于液汽共存狀態(tài).此外 在麥克斯韋點(diǎn) β₁?β₂ 的切線斜率等于牛頓商，

并且 當(dāng) i=1，2 時(shí)，麥克斯韋線 滿足 和 .通過式（2）和（3）可知 P（β₁）=P（β₂） .定義歸一化雙阱勢(shì)為

不難看出 l^′′（ρ）=0 ，所以有 ，從而得 .又根據(jù)式（4）的定義可知 W 在 β₁°β₂ 處有局部最小值0.

對(duì)于系統(tǒng)（1），KOTSCHOTE M^[3-4] 研究了其強(qiáng)解的短時(shí)存在性;BRESCH等[5]研究了周期性邊界條件下的適定性.在弱解假設(shè)下，HASPOT B^[6] 研究了系統(tǒng)（1）的適定性問題.DANCHINR等[7］研究了系統(tǒng)（1）在整個(gè)空間上的適定性，同樣也適用于范德華型非單調(diào)壓力函數(shù).BENZONI-GAVAGES等[8-9]研究了系統(tǒng)（1）的非耗散情況，即Euler-Korteweg方程.在文獻(xiàn)[8-9］中，證明了Euler-Korteweg方程柯西問題的適定性.其他情況可參考文獻(xiàn)[10-12].本文將證明 P^′（1）=0 時(shí)，對(duì)于充分小的初值，系統(tǒng)（1）存在唯一的全局經(jīng)典解.

1 預(yù)備知識(shí)

本文中， abla?u 表示 u 的散度； ?_x^αu 表示 u 的偏導(dǎo)數(shù)， α 為多重指標(biāo)； abla^mu 是關(guān)于 u 的 m 階張量場(chǎng)；當(dāng) m=1 時(shí)， ablau 表示 u 的梯度；當(dāng) m=2 時(shí)， abla²u 等價(jià)于 是作用于 u 的拉普拉斯算子．用 表示具有范數(shù) |?|_H^k 的一般 Sobolev空間且 |?|_H^k 可簡寫為 ∥Ω?Ω∥_Ωk;L^ρ（Ω） 表示具有范數(shù) 的一般 L^ρ 空間；（204號(hào) C^k（[0，T];X） 表示具有范數(shù) （204號(hào)的一般時(shí)空空間.

引理1（Gronwall不等式）[13] 設(shè) η（?） 為 [0，T] 上非負(fù)的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，且對(duì)幾乎處處的 Φ_t 滿足

η^′（t）??（t）η（t）+ψ（t），

其中， ?（t） 與 ψ（t） 為 [0，T] 上非負(fù)的，且為Lebesgue絕對(duì)可積函數(shù)，則有

η（t）?

引理2（Gagliardo-Nirenberg 不等式）[13]對(duì)于 0?m?α，l ，且 2?p?∞ ，存在一個(gè)依賴 Σ_P ，n 的常數(shù) C ，使得

其中， 0?θ?1 ，且 α 滿足

當(dāng) p=∞ 時(shí)，要求 0lt;θlt;1，m≤α+1，l? α+2 ：

引理 3^[14] 假設(shè) ，若 是具有任意階導(dǎo)數(shù)的有界的光滑函數(shù)，則對(duì)于任意的整數(shù) m?1 和 2?ρ?∞ ，有

2 主要結(jié)果證明

不失一般性，令 κ=1 ，當(dāng) ∣x∣∞ 時(shí)， （ρ，u） （1，0） 且 P^′（1）=0 .定義 ρ=n+1 ，將（1）重寫為

其中， （204號(hào)

P^′（n+1） 是 P 關(guān)于 （n+1） 的一階導(dǎo)數(shù).

定理1 若 為充分小的正數(shù)，則Navier-Stokes-Korteweg方程組（5）有唯一的解 （n，u） ，且解滿足：

C（|n₀|₄²+|u₀|₃²）.

引理 4^[15] （204 假設(shè) （n₀，u₀）∈H⁴×H³ ，且infn₀（x）=inf（ρ₀-1）（x）gt;0 ，則當(dāng) 0?|α|?3 時(shí)，對(duì)于任意的 Tgt;0 ，（5）有唯一解 （n?u） ，滿足：

n∈

u∈C⁰（[0，T]，

H³（R³））?C¹（[0，T]，H¹（R³））.

引理 5^[15] 在引理4的條件下，當(dāng) （n，u） 滿足（7）時(shí)，對(duì)于充分小的 δgt;0 ，有

E（T）=

通過以上式子可得

引理6設(shè) （n，u）（x，t） 是（5）的一個(gè)解，那么對(duì)于 0?|α|?3 ，有

證明 首先，將（5）的兩個(gè)方程分別乘以 n 和 （n+1）u 后相加，然后在 R³ 上積分，得

現(xiàn)在對(duì)等式右邊的每一項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，由式（5）、Holder不等式、引理2、Sobolev不等式、式（8）和（9）得

由式（5）得

再根據(jù)Holder不等式、引理2、Sobolev不等式、式（8）和（9）得

（n+1）udx?

因此，當(dāng) ∣α∣=0 時(shí)，有

（12）接下來，對(duì)于 1?|α|?3 ，將 ?_x^α 作用于（5）的兩個(gè)方程得

將（13）和（14）分別乘以 ?_x^αn 和 （n+1）?_x^αu 后相加，然后在 R³ 上積分，有

現(xiàn)在對(duì) I_i（i=1，2，3，4，5） 進(jìn)行估計(jì).首先，由 不等式、（8）和（9）得

對(duì)于 I₂ ，通過Holder不等式、Sobolev不等式、引理2、式（8）和（9）得

同理，由 I₁，I₂ 可得

最后，由于以下等價(jià)關(guān)系成立，

f～uⁱ?_iu^j+?_jn.

類似于 I₂ ，有

所以，由 I_i 的估計(jì)有

（n+1）（?_x^αu）²+（??_x^αn）²]dx+

綜上所述，引理6成立.

引理7 設(shè) （n，u）（x，t） 在 [0，T] 是方程（5）的一個(gè)解，則對(duì)于 0?|α|?3 ，有

證明 首先將式（5）的第二個(gè)方程乘以 ablan ，然后在 R³ 上積分，得

基于引理6的證明，在等式右邊利用分部積分，再根據(jù)式（5）、Holder不等式、引理2、引理3、Sobolev不等式、Young不等式、式（8）和（9）有

$$

再根據(jù)Holder不等式、（8）和（9）得

（?n）2dx?CE（T）（∥?n∥L22+∥?u∥L22）.

由以上證明可以得

當(dāng) 1?|α|?3 時(shí)，將式（14）乘以 abla?_x^αn 后在R³ 上積分，用類似的方法有

與式（17）和（18）證明類似，推出式（20）滿足

根據(jù)式（19）和（21），引理7成立.

參考文獻(xiàn)[15]，結(jié)合引理6、引理7、Gronwall不等式和 E（T） 的小性即可證定理1.

3結(jié)語

本文研究了三維空間上的可壓縮Navier-Stokes-Korteweg系統(tǒng)的適定性問題.首先，對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)分析得到問題（5）.然后，基于引理4、引理5，通過能量估計(jì)等方法證明了引理6、引理7.最后，利用Gronwall不等式和 E（T） 的小性證明了定理1，即證系統(tǒng)（1）存在唯一的全局經(jīng)典解并且該解能夠被小初值控制.

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[責(zé)任編輯：趙慧霞]