回歸教學(xué)原點(diǎn) 培養(yǎng)多思少算 提升運(yùn)算素養(yǎng)2025年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷試題評(píng)析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.在完成這些環(huán)節(jié)的過程中，其他五個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用是必不可少的.因?yàn)樵诮鉀Q一個(gè)具體問題的過程中，往往需要采用畫圖、分析、歸納、猜想、比較、推理、驗(yàn)證等方法，這些方法是與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密相關(guān)的.因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成過程具有同步性.那么采取哪些方法可以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為“回歸教學(xué)原點(diǎn)，培養(yǎng)多思少算”不失為一個(gè)良策.

1對(duì)核心素養(yǎng)的考查分析

2025年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷繼續(xù)沿用去年總題量19題的模式，深化考試內(nèi)容改革，試題加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本思想方法、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和思維品質(zhì)的考查.

1.1 深化基礎(chǔ)性考查，引導(dǎo)教學(xué)回歸原點(diǎn)

試題加強(qiáng)對(duì)基本知識(shí)、原理、方法、技能的深入理解和綜合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)全面深度檢測(cè)，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重減量提質(zhì)，注重概念教學(xué)回歸本質(zhì)，厘清原理，提升運(yùn)算能力與運(yùn)算速度；習(xí)題教學(xué)應(yīng)回歸試題的原點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握內(nèi)在規(guī)律，厘清運(yùn)算思路.

1.2拓展綜合性考查，突出思維品質(zhì)

試題延續(xù)了多思少算的考查思路，注重綜合性考查，增強(qiáng)對(duì)主干知識(shí)的深層次理解，突出思維品質(zhì)考查.在解答題部分，對(duì)數(shù)列、三角函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等主干知識(shí)都進(jìn)行了重點(diǎn)考查，強(qiáng)調(diào)在深刻理解的基礎(chǔ)上融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用，不考死記硬背、不出偏題怪題，而是降低題目的起點(diǎn)，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性，注重解決問題要有創(chuàng)新的思想，實(shí)現(xiàn)了平和中有新意，靈活中見潛力，引導(dǎo)學(xué)生形成完整的知識(shí)體系.

1.3 融合創(chuàng)新性、探索性考查，助力人才識(shí)別

通過材料信息的豐富性、解決問題視角的個(gè)性化和差異性、試題要素之間的巧妙聯(lián)系性以及解決問題思路的多樣性，增強(qiáng)了試題的靈活性、創(chuàng)新性和探索性，發(fā)揮高考數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)和選拔功能，滿足社會(huì)發(fā)展對(duì)創(chuàng)新型人才，特別是拔尖創(chuàng)新人才選拔的需要，助力教育強(qiáng)國(guó)建設(shè).

例如，第18題研究函數(shù)極值點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系，第（1）問要求確定二者的存在性和唯一性，為后兩問進(jìn)行鋪墊；第（2）問引入輔助函數(shù)探索極值點(diǎn)和零點(diǎn)之間的關(guān)系，邏輯性強(qiáng)，設(shè)問具有一定的開放性，避免極值點(diǎn)偏移的固化解題模式，很明顯就是反押題、反套路化.第19題設(shè)置了乒乓球練習(xí)的情境，引入了一組事件，并研究其概率遞推與不等式之間的關(guān)系，要求學(xué)生能夠由特殊到一般創(chuàng)造性地分析問題，在新舊知識(shí)的聯(lián)系中形成解題思路，很好地考查了學(xué)生的信息提取和探索能力.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和核心，也是學(xué)生形成關(guān)鍵能力的必備數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其水平直接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心.要提升學(xué)生的運(yùn)算能力可以采取不同的途徑來實(shí)現(xiàn)，如教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生知其然更知其所以然，培養(yǎng)多思少算的習(xí)慣，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

2 對(duì)試題的考向分析

2.1 回歸數(shù)學(xué)概念和基本原理

基本概念和基本原理是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基石和支撐，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的根基.數(shù)學(xué)概念和基本原理教學(xué)的關(guān)鍵是要通過課堂教學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、公理、定理、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與形成過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探究、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，這樣可以有效提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、探索能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1）回歸概念原點(diǎn)，厘清算法算理

例1 （第4題）不等式 的解集是（ ）.

A. {x∣-2?x?1}

B. {x∣x?-2}

C. {x∣-2?xlt;1}

D. {x∣xgt;1}

分析本題的考點(diǎn)是分式不等式的求解.通過移項(xiàng)通分可化不等式一邊為0（-4 ，0），再轉(zhuǎn)化為解不等式組 主要陷阱在分母 x-1≠0 ，解集需排除 x=1 ，故選C.對(duì)于忽略定義域的考生來說會(huì)直接選A，成功掉入命題人設(shè)計(jì)的陷阱里.可見，正確理解運(yùn)算對(duì)象及掌握運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)特點(diǎn)，才是順利解決此類問題的關(guān)鍵.

例2 （第10題，多選題）已知 f（x） 是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng) xgt;0 時(shí)， f（x）=（x²-3）e^x+2 ，則（ ）.

A. f（0）=0

B.當(dāng) xlt;0 時(shí)， f（x）=-（x²-3）e^-x-2 C. f（x）?2 當(dāng)且僅當(dāng)

D. x=-1 是 f（x） 的極大值點(diǎn)

分析本題是對(duì)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性的全方位考查.選項(xiàng)A和B考查奇函數(shù)的基本定義： f（0）=0 和當(dāng) xlt;0 時(shí)， f（x）=-f（-x） .通過舉反例 f（-1）= 2（e-1）gt;2 可以輕松排除選項(xiàng)C.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng) 0時(shí)， f^′（x）=e^x（x+3）（x-1） ，可得 x=1 是 f（x） 的極小值點(diǎn).由奇函數(shù)的對(duì)稱性知 x=-1 是 f（x） 的極大值點(diǎn)，故選ABD.如果漏選D，說明還沒完全理解導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)對(duì)稱性概念間的本質(zhì)聯(lián)系，

2）回歸公式、定理原點(diǎn)，簡(jiǎn)化運(yùn)算程序

例3（第5題）在△ABC中， BC=2，AC=1+ . ，則 ：

A. 45^° B. 60^° C. 120^° （204號(hào) D. 135°

分析本題是余弦定理的逆向使用，設(shè) ΔABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c ，將題設(shè)條件直接代人cos ，求得cos ，故選A.作為選擇題，由于已知三邊長(zhǎng)，也可根據(jù)大邊對(duì)大角用排除法得到最小的角小于 60^° ，直接得出答案.

本題的陷阱是數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)故意使 AC 的長(zhǎng)度含 ，誘導(dǎo)考生聯(lián)想 30^° 或 60^° ，但答案卻是 45^° .另外，如果考生作高解三角形硬算，說明沒有回歸公式、定理的原點(diǎn)，缺乏簡(jiǎn)化運(yùn)算程序、優(yōu)化運(yùn)算方法的思維.因此，在教學(xué)中應(yīng)回歸公式、定理的本質(zhì)，了解或理解概念、公式、法則的來龍去脈，對(duì)公式不但要會(huì)正用，更重要的是會(huì)逆用和變形用，這樣才能快速解決相關(guān)問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.2 回歸試題原點(diǎn)，掌握內(nèi)在規(guī)律，厘清運(yùn)算規(guī)律

例4（第14題）一個(gè)底面半徑為 4cm ，高為

9cm 的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有

兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為cm.

分析球的切接問題是近幾年高考的一大熱點(diǎn)與難點(diǎn)，解決問題的核心是確定球心和球的半徑.解決思路是有圖識(shí)圖到無圖想圖、畫圖.

求解本題的關(guān)鍵是作出軸截面圖，把問題轉(zhuǎn)化為矩形內(nèi)切兩等圓.作出軸截面，如圖1所示，設(shè)鐵球的半徑為 r ，由幾何關(guān)系得

|AB|²=（8-2r）²+（9-2r）²=（2r）²，

解得 或 因?yàn)?rlt;4 ，所以 0

本題源自工程學(xué)中的包裝問題，是高考球體問題的經(jīng)典變式.如果列三元方程組求解，說明缺乏空間問題平面化的轉(zhuǎn)換能力，沒有回歸球體問題的本質(zhì).球的問題常?；瘹w為球心和其他點(diǎn)組成的平面或多面體的截面問題.

例5 （第19題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分.設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為 ，乙勝的概率為 q，p+q=1 ，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立.對(duì)正整數(shù) k?2 ，記 p_k 為打完 k 個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率， q_k 為打完 k 個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求 ?₃°_?4 （用 Σ_P 表示）；

（2）若 =4，求p；

（3）證明：對(duì)任意正整數(shù) m，p_2m+1-q_2m+1lt;

分析本題以熟悉的乒乓球練習(xí)得分為情境，引入了事件，并研究其概率之間的關(guān)系，是2024年數(shù)學(xué)高考新定義問題的延續(xù)和新探索.解決此類問題的核心是新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，即先按照考題給出的要求將新知識(shí)“翻譯\"為舊知識(shí)，再用學(xué)過的舊知識(shí)進(jìn)行解答.解題的突破點(diǎn)是以題目給定的條件和結(jié)論作為線索，按圖（或表）索驥，形成猜想，綜合分析出命題人想要考查的核心知識(shí)點(diǎn).解決這類問題的思路是“現(xiàn)象一規(guī)律（共性）一猜想原理一挖掘原因”，考生需要通過一些具體的例子，有意識(shí)地去總結(jié)規(guī)律并形成猜想，再將這個(gè)過程抽象成數(shù)學(xué)語言.例如，本題通過解決第（1）問，尋找概率之間的變化，就可以順利寫出遞推關(guān)系，然后作差后利用已知條件和組合數(shù)性質(zhì)證明不等式.此題源自博弈論的連勝概率模型，很好地避開了馬爾科夫鏈解題的套路，真正實(shí)現(xiàn)考查學(xué)生探索能力的要求，有助于拔尖創(chuàng)新人才的選拔，

3對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)及復(fù)習(xí)備考的啟示

1）回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握必備知識(shí)

2025年數(shù)學(xué)新高考1卷有不少題目（如前面的例1～ 例4）都是以教材中的典型例題、習(xí)題以及素材為基礎(chǔ)進(jìn)行改編或重組的.因此，教師在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中要深人研究教材，用好教材，深人研究各主要版本教材中的經(jīng)典例題和習(xí)題，使學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程.回歸教材要注意以下三點(diǎn)：深入理解核心概念、重新溫習(xí)重要定理和公式的推導(dǎo)、梳理解題方法.具體可以從以下三個(gè)方面入手：一是教師要針對(duì)性地精心設(shè)計(jì)一些典型易混易錯(cuò)問題，引導(dǎo)學(xué)生厘清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，準(zhǔn)確把握概念間的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)用概念進(jìn)行辨析、思考、運(yùn)算、推理等，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；二是教師要引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)教材中的重要定理、公式、結(jié)論等，讓學(xué)生明確知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和形成過程中所蘊(yùn)含的思想方法，進(jìn)而形成知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的融會(huì)貫通；三是教師要充分挖掘教材中典型例題、習(xí)題以及素材的價(jià)值，通過一題多變、拓展延伸等手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，從而積累解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提高復(fù)習(xí)實(shí)效.

2）依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)建構(gòu)知識(shí)體系，筑牢素養(yǎng)根基

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教、學(xué)、評(píng)具有指導(dǎo)作用，是高考數(shù)學(xué)考查內(nèi)容范圍和考查要求的依據(jù).《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》是高考數(shù)學(xué)命題理念的依據(jù)，高考備考要以《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為指導(dǎo)，以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，明確“一核、四層、四翼”的考查要求，遵循數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)規(guī)律，把握高考命題方向，注重構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，筑牢素養(yǎng)根基.

3）細(xì)研真題，明確備考方向

高考真題是命題專家對(duì)考試內(nèi)容的深思熟慮、對(duì)學(xué)生水平的客觀判斷后精雕細(xì)磨的產(chǎn)物，仔細(xì)研究高考真題對(duì)復(fù)習(xí)備考、理解課程標(biāo)準(zhǔn)、理解新高考的要求意義重大.

研究高考真題，宏觀上要從以下幾個(gè)方面入手：一是通過研究近年高考真題，尋找命題趨勢(shì)和變化，如真實(shí)情境下探究能力和創(chuàng)新能力的考查是近兩年的命題熱點(diǎn)；二是通過研究相同考點(diǎn)試題，尋找命題規(guī)律，如抽象函數(shù)問題、三次函數(shù)問題、立體幾何中平行與垂直問題等都是近兩年的?？碱愋停蝗峭ㄟ^研究不同高考試卷的試題，尋找命題特點(diǎn)，預(yù)測(cè)未來考向；四是研究教材例題和習(xí)題，尋找題目原型，回歸教材原點(diǎn)，針對(duì)每一道高考真題，微觀上要研究命題考查的意圖、命題選材的視角、命題題型的特點(diǎn)、命題設(shè)問的特點(diǎn)、命題答案的擬制等.

4）課堂教學(xué)為根提效率，培養(yǎng)關(guān)鍵能力

2025年數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷通過創(chuàng)新情境設(shè)計(jì)、設(shè)問方式，破除套路，進(jìn)而深化基礎(chǔ)性和探索能力的考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)“四基、四能\"的深刻理解，規(guī)避高等數(shù)學(xué)內(nèi)容和套路化解題模式的直接應(yīng)用，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律，嚴(yán)格按照課程標(biāo)準(zhǔn)和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》實(shí)施教學(xué).因此，教師要回歸教材，立足課堂教學(xué)，以課堂教學(xué)為根，把教材講透，把精力放在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維上，精準(zhǔn)高效開展高三各個(gè)階段的復(fù)習(xí)備考.

總之，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)、《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為依據(jù)，淡化技巧、破除套路，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)；掌握基本方法，培養(yǎng)解題思維；克服思維定式，用數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)解題方向，提升學(xué)生的理性思維能力和探究能力.

（完）