兩種保費收取下帶借貸和投資及干擾的雙到達風(fēng)險模型

近年來，風(fēng)險理論是保險精算領(lǐng)域的熱門課題，學(xué)者們研究了各種風(fēng)險模型下的破產(chǎn)或者生存概率、Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)等問題[1-18]。經(jīng)典風(fēng)險模型往往考慮理賠為單險種的風(fēng)險過程，事實上隨著保險公司保險新品種的不斷開發(fā)以及經(jīng)營規(guī)模的壯大，單險種的風(fēng)險模型已經(jīng)不能很好地描述風(fēng)險經(jīng)營過程的實際，因此需要將單險種模型推廣為雙險種模型。同時，經(jīng)典風(fēng)險過程一般假設(shè)保費收人過程是時間的線性函數(shù)[12]，但現(xiàn)實中，風(fēng)險過程常在隨機環(huán)境下進行的，即保費收人可能會是一隨機過程，故經(jīng)典風(fēng)險模型需要優(yōu)化和改善。

經(jīng)典的風(fēng)險模型?？紤]索賠過程是復(fù)合泊松風(fēng)險過程[9，13-17]，泊松分布的期望等于方差，但事實上由于投保人和保險公司提高了風(fēng)險認(rèn)識，保險公司常常會設(shè)置無賠款折扣和免賠制度，當(dāng)事故發(fā)生時，投保人會權(quán)衡利弊而決定其是否尋求索賠，所以事故次數(shù)往往大于索賠次數(shù)，即索賠次數(shù)方差往往大于均值。文獻[3-8，10-12]對該問題進行了相關(guān)的研究，考慮索賠為復(fù)合Poisson-Geometric的風(fēng)險過程。文獻[3]考慮了具有投資收益的雙復(fù)合Poisson-Geometric模型并得到其破產(chǎn)概率;文獻[4]研究了隨機投資的雙復(fù)合Poisson-Geometric過程，獲得無限時和有限時生存概率的微積分方程;文獻[5]研究了帶干擾的復(fù)合Poisson-Geomet-ric模型，得到風(fēng)險過程的生存概率;文獻[6]考慮復(fù)合Poissn-Geometric風(fēng)險下帶無風(fēng)險資本的投資組合-比例再保-閾值分紅問題，得到并求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程;文獻[7]建立混合保費下有擾動的雙復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型，得到破產(chǎn)概率的一般表達式和Lundberg不等式;文獻［10-12]研究了復(fù)合Pois-son-Geometric 風(fēng)險模型，得到破產(chǎn)概率表達式等相關(guān)結(jié)論;文獻[8-9]考慮了借貸利率的風(fēng)險模型，即當(dāng)保險公司發(fā)生財政赤字時，充許其通過借錢來繼續(xù)開展它的業(yè)務(wù)，并通過后期的保費及投資收入償還債務(wù)，并獲得了模型破產(chǎn)概率的積分微分方程。

本文在上述工作和實際需要的基礎(chǔ)上，對風(fēng)險模型進行了推廣，建立了更加符合實際的風(fēng)險模型。構(gòu)建了混合保費的風(fēng)險模型，即保費收取為固定保費和隨機保費的雙險種模型，同時用布朗運動描述不確定的付款和收益的影響，考慮借貸和投資因素，即研究混合保費收取模式下帶借貸、投資及干擾因素的復(fù)合Poisson-Geometric模型。

1相關(guān)知識簡要回顧及模型的建立

定義 1^[10] 稱母函數(shù) 所對應(yīng)的分布為復(fù)合Poisson-Geometric分布，記為 PG（λt，ρ） ，其中 λgt;0，0?ρlt;1 。

引理 1^[10] 當(dāng) ρ=0 時， PG（λt，ρ） 是參數(shù)為 λ 的Poisson分布。

引理2[]當(dāng)tgt;O時，若N（t）服從PG（λt，p）分布，則E[（t）-p。

引理 3^[10] 若 {N_i（t）;t?0} ，是參數(shù)為 λ_i，ρ_i 的Poisson-Geometric 過程，記 λ（1-pi）（若p：=0，則取（204號 α_i=λ_i） ，則當(dāng) Φ_t 足夠小時有

其中， A_kⁱ（t）=ρ_i^k+（k-1）[ρ_i（1+α_it）]^k-2，o（t） 與 k 無關(guān)，且 （t）一致收斂， i=1，2 。

在概率空間 （Ω，F(xiàn)，P） 上，考慮保險公司盈余過程為

$$

其中， （1）u 是初始準(zhǔn)備金， A 是投資額， l 是單位時間投資收益率， ∣c∣ 是單位時間征收的保險費率；（2）{X，X_i，i=1，2，…} 是期望為 ?μ 的獨立同分布的非負(fù)隨機變量序列， X 表示隨機保費額，其分布函數(shù)為 R（x） ，概率密度函數(shù)為 r（x），S₁（t） 是一隨機過程，稱為隨機保費收入過程; （3）{M（t），t?0} 是參數(shù)為 λ 的Poisson過程，表示到時刻 Φ_t 為止所收到隨機保費的保單數(shù)； 是期望為 的獨立同分布的非負(fù)隨機變量序列， Y 表示第一種險種的理賠額，其分布函數(shù)為 G（x） ，概率密度函數(shù)為 g（x） ，且 G^*k（x），g^*k（x） 分別為 G（x） ，g（x） 的 k 重卷積， 是 G^*k（x） 的尾函數(shù)， S₂（t） 是一隨機過程，稱為第一種險種的索賠過程； 是參數(shù)為 Φ（λ₁，ρ₁） 的Poisson-Geometric過程，表示到時刻 Φ_t 為止第一種險種理賠發(fā)生的次數(shù); 是期望為 μ₂ 的獨立同分布的非負(fù)隨機變量序列， Z 表示第二種險種的理賠額，其分布函數(shù)為 F（x） ，概率密度函數(shù)為 f（x） ，且 F^*k（x），f^*k（x） 分別為 F（x），f（x） 的 k 重卷積， 是F^*k（x） 的尾函數(shù)， S₃（t） 是一隨機過程，稱為第二種險種的索賠過程; （7）{N₂（t），t?0} 是參數(shù)為 （λ₂，ρ₂） 的Pois-son-Geometric過程，表示到時刻 χ_t 為止第二種險種理賠發(fā)生的次數(shù)； 是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，表示不確定的付款和收入， σ 是一常數(shù)，表示付款和收入的不確定性對保險公司盈余的影響程度；（9）由于各個保險過程和理賠是相互獨立的，設(shè) {N₂（t），t?0} 以及 {B_ι，t?0} 是相互獨立的。

為了使模型更具有實際意義，我們假設(shè)當(dāng)保險公司財政赤字時，即盈余是負(fù)的，可以允許其以利息力 δgt; 0進行借貸并繼續(xù)經(jīng)營其業(yè)務(wù)，保險公司通過它的保費和投資收入來償還其債務(wù)，然而當(dāng)公司的盈余低于c + IA+μ時，絕對破產(chǎn)出現(xiàn)。

混合保費下帶借貸和投資及干擾的雙復(fù)合Poisson-Geometric模型風(fēng)險過程，即

dU_δ（t）=（c+lA+δU_δ（t）I（U_δ（t）lt;0））dt+σdB_t+dS₁（t）-dS₂（t）-dS₃（t）U_δ（0）=u， 其中 ，I（A） 是集合 A 上的示性函數(shù)，設(shè) T_δ 表示風(fēng)險模型（2）的破產(chǎn)概率， T_δ=inf{t≥0 且約定 表示模型（2）中初始資本為 u 的無限時破產(chǎn)概率，即

當(dāng)盈余處于不同水平時，破產(chǎn)概率符合不同的積分微分方程，為了研究問題的方便，當(dāng) u?0 時，記 當(dāng) 時，記 ψ（u）=ψ_-（u）

設(shè) T 表示風(fēng)險模型（1）的破產(chǎn)時刻， T=inf{t?0;U（t）lt;0};?（u） 表示風(fēng)險模型（1）中初始資本為 u 的無限時破產(chǎn)概率，即 ，顯然當(dāng) u?0 時， T?T_δ，0lt;ψ₊（u）??（u）lt;1 且

由[2，8]可知，導(dǎo)致破產(chǎn)出現(xiàn)有兩種可能，一種是由于索賠引起的， ψ_s（u） 表示破產(chǎn)是由索賠引起的破產(chǎn)概率，另一種是由于擾動引起的， ψ_d（u） 表示破產(chǎn)是由擾動引起的破產(chǎn)概率，因此無限時破產(chǎn)概率有以下分解：

而且，

類似地，當(dāng) u?0 時，記 ψ_s+（u）=ψ_s（u），ψ_d+（u）=ψ_d（u） 當(dāng) 時，記 ψ_d-（u）=ψ_d（u）

同樣地，定義有限時所有變量 ψ（u，t），ψ_s（u，t），ψ_d（u，t），ψ_s-（u，t），ψ_s+（u，t），ψ_d-（u，t），ψ_d+（u，t）_∞=0

為了保證保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營，需要假設(shè)保險公司的營收總和期望值大于支出總和期望值，由此定義安全負(fù)荷條件為：c+IA+μgt;1-pi

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè) 是二次連續(xù)可微的，當(dāng) u?0 時， 符合下面積分微分方程：

當(dāng) _c+A+λμ

邊界條件為：

其中

證明：

當(dāng) u?0 時，令 則 H（0）=u 且 dH（t）=（Al+c）dt+σdB_t° 由伊藤積分公式有

即

所以

在充分小的時間段 （0，t] 內(nèi)，考慮（2）式定義的風(fēng)險過程 U_δ（t） 。既然 M（t） 是Poisson過程， ??N₁（t） 和 N₂（t） （20都是Poisson-Geometric過程，則在 （0，t] 有以下五種可能情況：

（1）M（t），N₁（t） 和 N₂（t） 都沒有跳躍，即隨機保費沒有保單到達，兩類索賠也都沒有發(fā)生，其發(fā)生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t））

η（2）M（t） 沒有跳躍， N₁（t） 至少有一跳躍，且 N₂（t） 沒有跳躍，即隨機保費沒有保單到達，第1類索賠至少發(fā)生k（k?1） 次，第2類索賠發(fā)生0次，其發(fā)生的概率為

（3） M（t） 和 N₁（t） 都沒有跳躍，且 N₂（t） 至少有一跳躍，其發(fā)生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+

η（4）M（t） 有一跳躍，且 N₁（t） 和 N₂（t） 都沒有跳躍，其發(fā)生的概率為 λt（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t）） （5）其它情況發(fā)生的概率為 o（t） 。

整理可得

在（7）式兩邊同時除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時利用（6）式則有

所以（3）式成立。

當(dāng) 時，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 及 dY（t）=（uδe^δt+lA+c）dt+ σdB_t. ，由伊藤積分公式有：

整理可得

經(jīng)計算可得：

在（9）式兩邊同時除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時利用（8）式則有（4）式成立。

在（4）式中，令u↓_c+lA+λμ ，得邊界條件（5）式中的第（2）式。

注1：當(dāng) l=0，λ=0 時，（3）式、（4）式分別退化為文獻[8]中的（3）式、（4）式。

定理2假設(shè) ψ_d（u） 是二次連續(xù)可微的，當(dāng) u?0 時， 符合下面積分微分方程： 當(dāng) 髙時 ψ_d（u） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理1。

注2：當(dāng) l=0，λ=0 時，（10）式、（11）式分別退化為文獻[8]中的（10）式、（11）式。

推論1在定理1和定理2的條件下，當(dāng) u?0 時 ψ（u） 符合下面積分微分方程：

當(dāng) _c+A+μ

邊界條件為：

其中

證明：

ψ_i（u）+ψ_s（u）=ψ（u）ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），

因此，根據(jù)（3）式和（10）式，得（13）式，根據(jù)（4）式和（11）式，得（14）式，根據(jù)（5）式和（12）式，得（15）式。

注3：當(dāng) l=0，λ=0 時，（13）式、（14）式及（15）式分別退化為文獻[8]中的（13）式、（14）式及（15）式。

定理3假設(shè) 是對 u 二次連續(xù)可微的，對 Φ_t 一次連續(xù)可微的.當(dāng) u?0 時 ，ψ_s（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) 氣時 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：

當(dāng) u?0 時，令 H（t）=u+（Al+c）t+σB_t ，則 H（0）=u 且 dH（Δ）=（Al+c）dΔ+σdB_Δ 由伊藤積分公式有

所以

在充分小的時間段 （0，Δ] 內(nèi)，考慮（2）式定義的風(fēng)險過程。首先研究索賠引起的有限時破產(chǎn)概率ψ_s（u，t） ，由全概率公式并整理可得：

在（20）式兩邊同時除以 Δ ，令 Δ0 ，同時利用（19）式得（16）式.

當(dāng) 時，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 無及藍(lán) dY（Δ）=（uδe^δΔ+lA+c）dΔ （20+σdB_Δ°

由伊藤積分公式有：

經(jīng)計算可得：

在（22）式兩邊同時除以 Δ ，令 Δ0 ，同時利用（21）式得（17）式。

注4： ，當(dāng) t?∞ 時，式（16）即為（3）式、（17）式即為（4）式。

注5：當(dāng) l=0，λ=0 時，式（16）式（17）分別退化為文獻[8]中的式（16）式（17）。

定理4假設(shè) ψ_d（u，t） 對 u 是二次連續(xù)可微的，對 Φ_t 是一次連續(xù)可微的.當(dāng) u?0 時， ψ_d（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) _c+A+λμ

（204號 邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理3。注6： 當(dāng) t?∞ 時，式（23）即為（10）式、（24）式即為（11）式。注7：當(dāng) l=0，λ=0 時，式（23）式（24）分別退化為文獻[8]中的式（23）式（24）。

推論2在定理3和定理4條件下，當(dāng) u?0 時 ，ψ（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) 氣時 ψ（u，t） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：類似于推論1。

注8 ，當(dāng) t?∞ 時，（25）式即為（13）式、（26）式即為（14）式。

注9：當(dāng) l=0，λ=0 時，（25）式、（26）式分別退化為文獻[8]中的（25）式、（26）式。

參考文獻：

[1]CAIJ，Ainerubdosrosdeterestfciedbilit）819-835.

[2]CAIJ，YHLOepoitoofthouteprbilirbedpodsousprocs ithtet[J].Annals of Operations Research，2014，212（1）：61-77.

[3]宋鑫，廖基定，王琳，等.具有投資收益的雙險種雙復(fù)合Poison-Geometric過程風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J].南華大學(xué)學(xué)報，2023，37（2）：91-96.

[4]許灝，魏芝雅，彭旭輝.具有隨機投資組合的雙復(fù)合Poison-Geometric保險風(fēng)險模型的研究率[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2022，39（6）875-885.

[5］侯致武，高磊.一類帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型的生存概率[J].沈陽大學(xué)學(xué)報，2022，34（1）：71-76.

[6]孫宗岐，楊鵬，吳靜，等.復(fù)合P-G風(fēng)險下最優(yōu)投資組合-便宜再保-閾值分紅問題[J].西南大學(xué)學(xué)報，2022，44（7）：96-105.

[7]覃利華.混合保費收取下帶有擾動雙復(fù)合Poisson-Geometric過程的雙險種風(fēng)險模型[J].井岡山大學(xué)學(xué)報，2022，37（2）：7-12.

[8]王月明，魏廣華，郭楠，等.帶借貸利率和干擾的雙Poisson-Geometric風(fēng)險過程模型[J].西南大學(xué)學(xué)報，2019，41（9）：54-63.

[9]魏廣華，高啟兵，劉國祥，等.帶借貸利率及干擾的雙到達過程風(fēng)險模型[J].西南大學(xué)學(xué)報，2015，37（9）：82-93.

[10]毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poissn-Geometric過程的風(fēng)險模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，28（3）：419-428.

[11]熊雙平.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的常利率風(fēng)險模型[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2006，23（1）：15-18.

[12]甘柳，晏小兵，彭朝暉.一類常利率下的復(fù)合Poisson-Geometric過程風(fēng)險模型[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2010，30（1）：9-16.

[13］魏廣華，高啟兵.常利力下雙復(fù)合泊松風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的上界[J].南京師范大學(xué)學(xué)報，2009，32（1）：30-34.