三維夾層圓柱殼平穩(wěn)隨機響應分析

關鍵詞：隨機振動；層合-功能梯度夾層材料；三維圓柱殼；統(tǒng)一級數(shù)法；虛擬激勵法 中圖分類號：O324；TB334 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202308026

Stationary random response analysis of three-dimensional sandwiched cylindricalshells

MENG Shuo ^1，2 ， ZHONG Rui1，2，WANG Qingshan1，2 （1.College of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，Changsha 41Oo83，China; 2.State Key Laboratory of Precision Manufacturing for Extreme Service Performance，Central South University， Changsha 410083，China）

Abstract：Basedonthethree-dimensionalelasticitytheory，thesmoothstochasticresponsemodelof three-dimensionalsandwiched cylindricalshelsisestablishedbyusingtheunifiedseries methodandthepseudo-excitation method（PEM）.Thecylindricalshel subdomainsaredividedaccordingtotheiterlayerpropertydiferencesoftesandwichmaterialandthekineticnergy，raineer gy，boundarypotentialenergyandsmoothrandomexcitationworkofeachsubdomainareestablished byusing threedimensional elasticitytheorycombinedwiththevirtual excitationmethod.Themechanicalcordinationconditionsbetweenthelayeredsubdo mainsareconvertedintocouplingconditionenergiesbythecouplingpenaltyfunctionmethod，ndthentheoverallenergygeneral izationofthesandwiched cylindrical shellisobtainedbysuperposingtheenergiesofeach subdomain.Thedisplacementcompo nentsof each subdomainareconstructed usingaunifiedlevel expresionand solvedbycombining theRayleigh-Ritz method toobtainthesochasticresponseofthethr-dimensionalsandwichedcylindricalshellstructure.Thecorrectnessofthestochasticesponsemodelisverifiedbycomparisonwithliteratureandfiniteelementresults.Finall，theefectsofthicknesstoradiusratio， lay-upangleoflaminated-functional gradientsandwichmaterialandpowerlawindexontherandomresponseof three-dimensional sandwiched cylindrical shell are analyzed.

Keywords：randomvibration;laminated-functional gradientsandwichmaterial; threedimensionalcylindricalshellunifiedseries method;pseudo-excitation method

夾層材料是指面層和芯層由不同材料組成的一種新型多功能復合材料。這種材料通過合理選擇面板和芯材，可以有效提高其綜合性能。相比于單一材料，夾層材料的強度、剛度較高且密度更小，因此被廣泛應用于工程領域。關于夾層結構動力學行為的研究也日趨豐富[1-3]。針對航空航天工程產(chǎn)品表面要有較高的耐熱性以及總體質(zhì)量較小的需求，本文將密度小、強度高的層合材料和耐熱性較好的功能梯度材料組成一種夾層復合材料，并以常見的圓柱殼體結構為例，深入探討其動力學特性。

圓柱殼結構在工業(yè)領域非常常見，例如火箭的艙體、油液的輸送管道等。因此，從實際設計的角度研究其振動特性至關重要。基于一階剪切變形理論和高階剪切變形理論，許多學者對薄殼結構進行了動力學分析[4-6]。然而，將三維彈性力學問題簡化為二維問題，致使結構的彈性力學方程不能全部被滿足，由此產(chǎn)生的理論性誤差將會隨著結構某一維度尺寸的增大而急劇增加。相比之下，三維彈性理論沒有對變形作出任何假設，適用于任意尺寸的結構。許多學者基于三維彈性理論對圓柱殼的動力學行為進行了大量研究。仝博等在三維彈性理論的基礎上，結合分層理論和狀態(tài)空間法，對復合材料圓柱殼的自由振動進行了分析。YE等8開發(fā)了一種基于三維彈性理論的統(tǒng)一方法，用于對彈性基礎上具有常規(guī)邊界條件的厚圓柱殼進行自由振動分析。SU等9利用變分原理結合修正傅里葉級數(shù)，得到了厚功能梯度圓錐殼、圓柱殼和環(huán)形板結構的三維振動精確解。

在實際工程領域，許多結構部件在使用過程中通常會受到噪聲、氣流、水波等隨機載荷的影響。隨機載荷會引起有害振動，從而導致結構疲勞破壞。近年來，學者針對板殼結構的隨機響應也開展了相關的研究。左朋等[10]將譜幾何法與虛擬激勵法結合，分析了復雜邊界條件下功能梯度圓環(huán)板的平穩(wěn)隨機響應特性?；艋鄣萚11]將虛擬激勵法與振型疊加技術結合，導出了平穩(wěn)和非平穩(wěn)激勵作用下中厚圓柱殼的隨機響應功率譜密度函數(shù)解析解。DOGAN等[12]提出了一個分析模型，用于預測隨機激勵下雙壁夾層圓柱殼的非線性響應。HUO等[13]利用離散分析方法實現(xiàn)了薄壁正交各向異性圓柱殼在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)隨機激勵下的精確基準響應。從以上文獻中可以看出，以往對于隨機振動的研究主要集中于薄壁板殼結構，而對于三維夾層圓柱殼隨機響應的研究較為少見。事實上，由于圓柱殼為典型的曲面型結構，而工程中隨機載荷通常沿著特定的方向加載，因此，需要合理地處理三維夾層圓柱殼曲面幾何與隨機載荷加載方向的匹配性問題。為此，本文通過子域劃分和載荷分解方法解決結構幾何與載荷的匹配性問題，并結合統(tǒng)一級數(shù)法與虛擬激勵法，研究三維夾層圓柱殼的平穩(wěn)隨機響應特性。

1 理論推導

1.1 三維夾層圓柱殼模型描述

三維夾層圓柱殼模型示意圖如圖1所示。圓柱殼的長度為 L ，厚度為 h ，內(nèi)半徑為 R₀ ，外半徑為 R₁ 因此 h=R₁-R₀ 。夾層圓柱殼一共有 N 層，由內(nèi)到外依次是第1層，…，第 k 層，…，第 N 層，故每層的厚度為 h/N 。圓柱坐標系的 x，θ 和 r 軸分別表示圓柱殼的軸向、周向和徑向。為了描述三維圓柱殼的變形狀態(tài)，引入一個正交曲線坐標系 （u，v，w） 分別表示殼體的軸向、周向、徑向位移。此外，通過在圓柱殼的兩端面均勻設置不同剛度 （k^u，k^v，k^w） 的邊界彈簧來表示不同的邊界條件。圖2給出了研究涉及的兩種材料分布類型的示意圖，其中，分布類型A的面層是層合材料，芯層是功能梯度材料；分布類型B的面層是功能梯度材料，芯層是層合材料。

為建立圓柱殼的整體能量泛函，本節(jié)將根據(jù)夾層材料的層間特性差異將圓柱殼劃分為 N 個子域，如圖3所示。首先建立各層子域的獨立能量泛函，再將各層子域之間的力學和位移關系轉化為耦合能量，最后組合各層子域的獨立能量泛函和耦合能量，得到整體能量泛函。

根據(jù)三維彈性理論，三維夾層圓柱殼第 k 層的應變-位移關系為：

ε^k=P^ku^k

其中：

式中， uk，vk 和 wk 分別為第 k 層在軸向、周向和徑向的位移分量； εxk，εθ，Erkk 和 γθrk，γxrk，γxθk 分別為第 k 層的法向應變和剪切應變分量。

根據(jù)廣義胡克定律，三維夾層圓柱殼第 k 層的線性本構方程為：

σ^k=Q^kε^k

其中：

σ^k=[σ_x^kσ_θ^kσ_r^kτ_θr^kτ_xr^kτ_xθ^k]^T

式中， σ_x^k，σ_θ^k，σ_r^k 和 τ_θr^k，τ_xr^k，τ_xθ^k 分別為第 k 層的法向應力和剪切應力分量； Q_ij^k（i，j=1，2，…，6） 為第 k 層的彈性剛度系數(shù)，對于層合材料和功能梯度材料， Q_ij^k 的計算公式詳見文獻[9，14]。

特別地，本文所涉及的功能梯度材料由陶瓷和金屬組成，假設其材料特性在厚度方向上呈現(xiàn)連續(xù)梯度變化，相應的楊氏模量、泊松比和密度可以分別表示為：

E_z（z）=（E_c-E_m）V_c（z）+E_m

μ_z（z）=（μ_c-μ_m）V_c（z）+μ_m

ρ_z（z）=（ρ_c-ρ_m）V_c（z）+ρ_m

式中， E_?μ 和 ρ 分別表示楊氏模量、泊松比和密度，

下標\"c\"和\"m\"分別表示陶瓷和金屬。陶瓷體積分數(shù) V_c（z） 由四參數(shù)冪律分布得到[6]：

式中，冪律指數(shù) p 和參數(shù) ?，b，c 決定了功能梯度材料在厚度方向上的屬性變化。

根據(jù)動能定理，三維夾層圓柱殼第 k 層的動能T^k 可表示為：

式中， V 表示第 k 層圓柱殼的體積。

第k層的應變能 U_v^k 可表示為：

第k層存儲在兩端面彈簧中的彈性勢能 可表示為：

式中， b₀=[k₀^uk₀^vk₀^w] 和 k_L=[k_L^uk_L^v （20 k_L^w] 分別為 x= 0和 x=L 時邊界彈簧的剛度值； S_A 表示第 k 層圓柱殼兩端面的面積。

根據(jù)虛擬激勵法，基礎加速度載荷的虛擬激勵可表示為：

式中， 為功率譜密度； ω 為圓頻率。

本文中隨機載荷沿著 θ=90^° 加載于夾層圓柱殼結構，通過柱坐標系下載荷的矢量分解使之與結構幾何相匹配，此時隨機外部載荷對圓柱殼第 k 層所做的功可描述為：

為了將各層之間的力學協(xié)調(diào)條件轉化為耦合能量，本文采用耦合罰函數(shù)法描述夾層圓柱殼的耦合邊界，其耦合勢能可表示為：

式中，k和k為相鄰層之間引入的罰因子，為了得到合理的收斂解， k_b 和 k_t 取為 10^15[14] S_B 表示第 k 層圓柱殼的側面積。

1. 3 求解方法

本文采用統(tǒng)一級數(shù)法描述三個方向的位移函數(shù)。因此，圓柱殼第層的位移形式可表示為：

u^k（x，r，θ，t）=?^k（x，r，θ）A^k（t）

其中：

式中， T 為多項式級數(shù)，包括切比雪夫多項式、勒讓德多項式、正交多項式和改進傅里葉級數(shù)等，根據(jù)以往的研究[15]，這幾種多項式級數(shù)都可以用于描述結構的位移函數(shù)，并且能夠達到相似的計算效率與求解精度，本文使用改進傅里葉級數(shù)進行后續(xù)計算分析； P 和 Q 分別為 x 和 r 方向的多項式截斷數(shù)； n 為周向波數(shù)； A 為未知系數(shù)，上標“c\"和“s\"分別對應周向波數(shù)展開的余弦項和正弦項； B^k（t） 或 C^?（t） 與 A^k（t） 的形式類似，只需將 A 改成 B 或 C

本文采用瑞利-里茲法進行求解，圓柱殼的能量泛函可表示為：

L=U_v+U_p+U_c-T+W

將位移函數(shù)代入能量泛函，并對每個未知系數(shù)求偏導，使其導數(shù)為0，可以得到圓柱殼的運動方程：

（K-ω²M）G=F

其中：

K=diag（K¹，…，K^k，…，K^N）+

diag（K_c^1，2，…，K_c^k-1，k，…，K_c^N-1，N）

M=diag（M¹，…，M^k，…，M^N）

F=[F¹…F^k…F^N]^T

式中， K^k 為第 k 層的剛度矩陣； K_c^k-1，k 為第 k-1 層與第 k 層的耦合剛度矩陣； M^k 為第 k 層的質(zhì)量矩陣； G^k 為第 k 層的位移矢量； F^k 為第 k 層虛擬激勵的載荷矢量。

將式（22）中得到的位移矢量 G 代入式（16）中，可以得到虛擬位移響應，從而得到三維圓柱殼在隨機激勵作用下的隨機響應PSD：

式中，“*\"表示復共軛； 和 分別為位移、速度和加速度響應自功率譜函數(shù)。

2 數(shù)值結果和討論

本節(jié)將通過一些數(shù)值算例驗證本文方法對于分析三維夾層圓柱殼自由和隨機振動的有效性和精確性，并探究不同參數(shù)對隨機響應PSD的影響。除非特別說明，本文所有算例將使用以下參數(shù)進行計算：對于層合材料，其材料屬性為： E₁=150GPa，E₂= E₃=10GPa μ₁₂=μ₁₃=0.3 μ₂₃=0.4;ρ=1600kg/m³ ：剪切模量 G₁₂=G₁₃=6GPa ， G₂₃=5GPa 。對于功能梯度材料，采用氧化鋯陶瓷和鋁金屬的組合，其材料屬性為： E_c=168GPa ， E_m=70GPa ·μ_c=0.3 ， μ_m= 0.3； ρ_c=5700kg/m³ ， ρ_m=2700kg/m³ a=1 ， b=0 ，p=1 。圓柱殼的尺寸參數(shù)為： R₀=1m，R₁=1.5m ，L=3m 。此外，通過改變邊界彈簧剛度值，可以獲得各種邊界條件[14]： k^u=k^v=k^w=0（F） ： k^u=0，k^v= k^w=10¹⁵（S）;k^u=k^v=k^w=10¹⁵（C） 。

2.1 有效性分析

為了驗證本文方法的有效性和精確性，將本文方法的計算結果與文獻[9，14]和有限元法得到的結果進行對比。表1為S-S邊界條件下，周向波數(shù) n 取1和2時，三維層合材料圓柱殼的前8階固有頻率，層合材料的鋪設方式為 [0^°/90^°/0^°] ，材料屬性為：E₁=80GPa ， E₂=E₃=2 GPa; μ₁₂=μ₁₃=μ₂₃=0.25 ：ρ=1500kg/m³;G₁₂=1.2GPa，G₁₃=G₂₃=1GPa 模型幾何參數(shù)為： R₀=0.75m，R₁=1.25m，L=2m， 。對比結果表明，本文方法對層合材料固有頻率的計算是有效的，并且最大偏差僅為 0.017% ，具有較高的精確度。表2為F-F和C-S邊界條件下，不同冪律指數(shù)和厚徑比的三維功能梯度材料圓柱殼的基頻。模型幾何參數(shù)為： R₀=1m，L=2m 。從表2中可以看出，當冪律指數(shù) p 為 0.5，1，5 以及厚徑比 h/R₀ 為0.5、1.0時，本文方法與文獻[9]均保持較好的一致性。通過本文方法與文獻[9，14]的對比，證實了本文方法對于分析三維層合材料和功能梯度材料圓柱殼振動特性的有效性。

為了驗證本文方法對于考慮兩種材料分布類型的圓柱殼的振動特性分析的有效性和精確性，將本文方法與有限元方法得到的結果進行對比。其中，有限元方法采用ABAQUS軟件進行建模，通過分層法對功能梯度材料屬性沿厚度方向的梯度變化進行近似表征，其基本思想是將功能梯度材料沿厚度方向劃分為多層，每層的材料屬性不同，但同一層的材料屬性保持相同，當層數(shù)足夠多時就能夠近似模擬出功能梯度材料。經(jīng)過多次建模計算，當層數(shù)大于30時，計算結果開始收斂，為了保證精度，將功能梯度層劃分為50層。網(wǎng)格類型為六面體實體網(wǎng)格。表3給出了本文方法和有限元方法得到的C-C邊界條件下的三維夾層圓柱殼的前7階固有頻率。從表3中可以看出，隨著網(wǎng)格尺寸的減小，有限元法計算的固有頻率非常接近。鑒于計算速度的限制，將網(wǎng)格尺寸為 5cm×5cm×5cm 的有限元結果與本文方法進行對比，可以看出兩種材料分布類型的固有頻率最大偏差均未超過 1% 。圖4為隨機激勵作用下，兩種材料分布類型的三維夾層圓柱殼的位移、速度和加速度響應PSD對比。假設圓柱殼體承受有限頻帶為［20，1200] Hz 的基礎加速度載荷，使用 S₀=1g²/Hz 的PSD函數(shù)，頻率步長設置為 5Hz 阻尼比取為 0.05 ?？梢钥闯觯?20～1200Hz 頻率范圍內(nèi)，通過本文方法得到的PSD曲線與通過有限元方法得到的PSD曲線均保持較好的吻合。綜合以上所有對比結果，表明了本文方法對于分析三維夾層圓柱殼振動特性的有效性和精確性。

2.2 參數(shù)化分析

本節(jié)將研究一些參數(shù)對三維夾層圓柱殼隨機響應特性的影響規(guī)律。所研究的參數(shù)主要包括厚徑比、夾層材料的鋪設角和冪律指數(shù)。為了簡便起見，后續(xù)算例中所加隨機激勵與2.1節(jié)中相同。

圖5給出了在C-C邊界條件下，不同厚徑比對三維夾層圓柱殼隨機響應PSD的影響。從圖5中可以看出，隨著厚徑比的逐漸增大，速度響應峰值和加速度響應峰值逐漸向高頻移動，這是因為厚度的增大導致圓柱殼結構的彎曲剛度和質(zhì)量逐漸增大，從而使結構的固有頻率也逐漸增大，因此隨機響應PSD曲線整體向高頻移動。此外，從高頻段的響應曲線來看，相比于厚殼，薄殼的隨機響應受厚徑比的影響更大。

圖6給出了在C-C邊界條件下，不同鋪設角對三維夾層圓柱殼位移響應PSD的影響。圖6（a）和6（b）的共同點是，鋪設角距離45越近，位移響應峰值越小，并且峰值對應的頻率越高。當兩個鋪設角的和為 90^° 時，其響應曲線也很相似。這是因為，層合材料的彈性剛度系數(shù)與鋪設角的正弦值和余弦值有關，當兩個銳角的和為 90^° 時，其正弦值和余弦值相等。

圖7給出了在C-C邊界條件下，夾層材料的不同冪律指數(shù)對三維夾層圓柱殼加速度響應PSD的影響。為了得到更明顯的變化趨勢，本次算例采用楊氏模量更大的氧化鋁陶瓷。其材料屬性為：E_c=380GPa;μ_c=0.3;ρ_c=3800kg/m³ 。其余參數(shù)同上。從圖7中可以看出，隨著冪律指數(shù) ? 的增大，圓柱殼的加速度響應峰值逐漸向低頻移動。這是由于冪律指數(shù) ? 增大會導致陶瓷體積分數(shù) V_c（z） 減小，金屬體積增大，從而使結構剛度降低，固有頻率降低。

3結論

本文基于三維彈性理論，利用統(tǒng)一級數(shù)法和虛擬激勵法建立了三維夾層圓柱殼的平穩(wěn)隨機響應模型。三維夾層圓柱殼由層合材料和功能梯度材料組成，并考慮了兩種材料分布類型。通過與文獻[9，14]結果和有限元結果進行對比，驗證了本文所提方法的有效性和精確性。最后分析了厚徑比、鋪設角和冪律指數(shù)對三維夾層圓柱殼隨機響應的影響，得到如下結論：

（1）厚徑比 h/R₀ 的增加會增大結構的彎曲剛度，從而使結構的固有頻率增大，隨機響應PSD曲線整體向高頻移動，并且薄殼所受到的影響更大。（2）鋪設角 θ 越靠近 45^° ，其位移響應峰值越小，峰值頻率越高。當兩個鋪設角的和為 90^° 時，其響應曲線也相似。

（3）冪律指數(shù) p 越大，陶瓷含量越低，金屬含量越高，從而使結構剛度降低，響應曲線向低頻移動。

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第一作者：孟碩（1999一），男，碩士研究生。 E-mail：223712132@csu.edu.cn

通信作者：王青山（1989一），男，博士，副教授。 E-mail：qingshanwang@csu.edu.cn