圓柱螺旋線的雙重魅力

你見過旋轉(zhuǎn)樓梯嗎？例如：老洋房一圈圈盤旋而上的階梯，或者教堂尖塔那螺旋攀升的輪廓，極像豆角藤蔓繞著桿子爬。這種一圈圈升高的曲線，在數(shù)學里叫作“圓柱螺旋線”。

旋轉(zhuǎn)樓梯的每一級臺階高度一致、轉(zhuǎn)角均勻，既符合人體工學，又能讓視線沿曲線自然上移，形成視覺引導的“舒適弧線”，具有獨特的美學價值。

建筑中的點睛之筆

圓柱螺旋線的魅力在于，將數(shù)學的精確性與建筑的美學完美結(jié)合：一方面，它遵循嚴格的數(shù)學規(guī)律，確保結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性；另一方面，它創(chuàng)造出流暢的空間動線，賦予建筑獨特的藝術(shù)表現(xiàn)力。從古典的歐式建筑到現(xiàn)代的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計，圓柱螺旋線始終是建筑師鐘愛的設(shè)計語言。

旋轉(zhuǎn)樓梯比普通樓梯更節(jié)省空間和材料，也會增加建筑的藝術(shù)性，是非常受歡迎的建筑美學設(shè)計方案。意大利威尼斯市的一座旋轉(zhuǎn)樓梯，因形似蝸牛背上的殼而被稱作“蝸牛樓梯”；早在我國明朝永樂年間，用來裝飾宮殿的石柱——華表柱就已經(jīng)應用了圓柱螺旋線，柱身雕刻著一條盤繞的巨龍，古人借石龍纏繞飛天之勢表達了向往自由遨游云天之感。

圓柱螺旋線既有美的一面，也有實用的一面，為我們的生產(chǎn)生活提供了便利。

豆角藤蔓的旋轉(zhuǎn)上升

在生活中，不知道大家有沒有細心觀察過豆角藤蔓的生長過程？實際上，豆角藤蔓的生長需要借助一根細竹竿或是木棍，讓藤蔓繞著細竹竿不斷向上爬，無論遇到什么阻礙，這種攀爬都不會停止。而遠觀豆角藤蔓，我們會看到其植株形成一條類似于圓柱螺旋線的曲線。

豆角之所以纏繞著細竹竿生長是有原因的。植物的生長離不開陽光，藤蔓長得越快，爬得越高，就越能獲得足夠的陽光。也就是說，豆角藤蔓的螺旋式攀爬可以讓植株用最節(jié)能的方式將莖延伸到陽光充足的地方。

以圓柱螺旋線狀生長的植株具有一定的彈性，這種彈性能使藤蔓牢牢附著在細竹竿或木棍上，不會因為風吹或外力干擾而被拉斷。等到無外力作用時，這種彈性又能保障豆角的莖葉回到原來的位置。

藤蔓的爬繞形狀是否規(guī)則取決于支撐物的形狀。要想讓豆角“爬”出完美的圓柱螺旋線，供其攀爬的支撐物必須粗細均勻、表面光滑，否則螺旋線就會不規(guī)則。

圓柱螺旋線的數(shù)學原理

早在公元前3世紀，阿基米德與他的老師柯農(nóng)就已經(jīng)開始研究螺旋線的數(shù)學性質(zhì)了。他們發(fā)現(xiàn)的螺旋線被稱作阿基米德螺線（等速螺線）。

如今，圓柱螺旋線在數(shù)學上的具體定義為：一個動點沿圓柱面的母線（指連接圓柱體兩個底面上相對點的直線段，母線的長度通常表示圓柱體的高度）運動，同時該母線繞圓柱的軸（指圓柱體的中心線，即圓柱體的旋轉(zhuǎn)對稱軸）進行旋轉(zhuǎn)，并且該運動為勻速。在這種綜合運動的過程中，動點所描繪的軌跡即構(gòu)成圓柱螺旋線。

圓柱螺旋線由3個基本參數(shù)組成：直徑、導程和旋向。其中，圓柱的直徑指底面圓的直徑，通常用字母D表示。圓柱螺旋線的導程就是在該圓柱底面上的任意一點旋轉(zhuǎn)一周，其沿軸上升的高度，一般用S表示。如若該動點只旋轉(zhuǎn)一周就到圓柱頂，這圓柱的高即為圓柱螺旋線的導程；若動點旋轉(zhuǎn)多圈到頂，則導程小于圓柱的高（若螺旋升角定為α，則導程通常為πD×tanα）。

圓柱螺旋線的旋向是該動點運動旋轉(zhuǎn)的方向。螺旋線可分為左、右螺線，其方向我們通?？缮斐鲆恢皇謥砼袛唷Ｈ绻覀兩斐鲇沂?，發(fā)現(xiàn)右手四指所指為螺旋方向，大拇指指向螺旋運動方向，則被稱為右螺旋線；如果我們伸出左手，發(fā)現(xiàn)螺旋方向順著左手四指，大拇指指向螺旋運動方向，則為左螺旋線。

我們經(jīng)常提到的最短路徑問題，圓柱體就是其中一個模型，圓柱螺旋線就是解題的突破口。一般解題方法是將圓柱體展開為平面圖形，再將兩點之間連線求出最短路徑。

例如，一只螞蟻在圓柱體底面上的任意一點，開始繞圓柱體表面向上爬行，那么，怎樣才能使螞蟻到達圓柱體的頂面圓上一點（起點和終點同側(cè)）的爬行距離最近？

兩點之間，線段最短，那這里的線段在哪里呢？答案是：當螞蟻的爬行軌跡是1條圓柱螺旋線，即導程S為圓柱的高時，其爬行距離最短。為什么呢？當我們把圓柱體沿母線展開，會發(fā)現(xiàn)圓柱的側(cè)面實際是一個長方形，這個長方形的對角線就是螞蟻軌跡路線起點和終點間連接的線段（不信？拿一張長方形的A4紙卷個圓柱體試試），也就是那條最短距離線。通常在圓柱體表面的最短路徑問題需要以此為原型思考。

回到前面我們所提到的豆角藤蔓上。如果細竹竿底面圓周長為5厘米，豆角藤蔓從A點到B點升高了12厘米，假設(shè)豆角藤蔓盤旋了兩次，請問豆角藤蔓的爬行距離是多少呢？

我們還是需要先將圓柱展開為長方形，參考右圖可見，展開后，AD為底面周長，長5厘米；AB等于DC，為豆角的升高距離，長12厘米；AC就是豆角藤蔓生長的長度。由勾股定理可得：

AC2 = AD2+DC2

AC2 = 52+122

? AC=13（cm）

梁啟超先生在《論中國學術(shù)思想變遷之大勢》中寫道：“故其學界為螺線形，雖千變?nèi)f化，殆皆一線所引也。”其意思是說，雖然學術(shù)界瞬息萬變，但所有的變化都源于一個基本的原則或理念，也就是將學術(shù)界比喻為一條螺旋線，雖然學術(shù)形式不斷變化，但始終是圍繞一個中心點旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱螺旋線在工程、科學及技術(shù)領(lǐng)域都有著廣泛的應用，DNA分子中的雙螺旋結(jié)構(gòu)也是一種螺旋線。圓柱螺旋線的奧秘不止于此，我們對曲線秘密的探討也不止于此，還有很多更有趣的曲線等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和挖掘。

（責任編輯 / 趙鶴立" 美術(shù)編輯 / 周游）