一道高三橢圓試題的解法與推廣

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

解答圓錐曲線中角度最值考題的核心思路，在于巧妙利用三角函數(shù)的單調(diào)性，通過建立合理的關(guān)系式，反求角的取值范圍.基于這一關(guān)鍵認(rèn)識，我們將從代數(shù)運算、幾何性質(zhì)、向量工具等多個視角深入探究考題的解法，并進(jìn)一步歸納總結(jié)，將結(jié)論推廣到一般情形，挖掘問題本質(zhì)規(guī)律.

1考題呈現(xiàn)

題目 已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F(xiàn)₂ ，橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ^2，P 為直線 x=2b 上的任意一點，則 ∠F₁PF₂ 的最大值為（ ）：

2 試題解答

分析1 根據(jù)題意求出 ?a，b，c 的值，設(shè)直線 x 文章編號：1008-0333（2025）16-0064-04=26 與 x 軸的交點 M ，并設(shè) ∣PM∣=t ，利用直角三角形的邊角關(guān)系將 ∠PF₁M 和 ∠PF₂M 的正切值分別表示為 χ_t 的式子，然后利用三角形外角定理，把∠F₁PF₂ 表示為兩個角的差角，再運用差角的正切公式把 tan∠F₁PF₂ 表示為 χ_t 的關(guān)系，結(jié)合基本不等式并利用正切函數(shù)的單調(diào)性求解.

解法1 根據(jù)題意可知 所以 設(shè)直線 x=2 與 x 軸的交點為 M ，設(shè) ∣PM∣=t（t ），則有 所以 tan∠F₁PF₂=tan（∠PF₂M-∠PF₁M）

當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.因為 所以 tan∠F₁PF₂ 單調(diào)遞增.所以∠F，PF≤可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析2設(shè)出點 P 的坐標(biāo)，用其分別表示 PF₁ 與 PF₂ 的斜率，利用到角的正切公式，并用點 P 的坐標(biāo)表示 tan∠F₁PF₂ ，再結(jié)合基本不等式求出正切值的取值范圍，最后利用正切函數(shù)的單調(diào)性求解角度的最值.

解法2 由解法1可得橢圓 F₁（δ-1，0），F(xiàn)₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.

如圖1，設(shè) P（2，y₀） ，不妨設(shè) y₀gt;0 ，則

結(jié)合橢圓的對稱性可知當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.因為 所以 tan∠F₁PF₂ 單調(diào)遞增.所以 可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析3設(shè)出點 P 的坐標(biāo)，然后構(gòu)造向量，再利用向量夾角公式將 cos∠F₁PF₂ 用點 P 的坐標(biāo)表示出來，通過合理變形后換元、配湊并運用基本不等式求出余弦值的取值范圍，最后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解角度的最值.

解法3 由解法1可得橢圓 F₁（ε-1，0），F(xiàn)₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.設(shè) P（2，y₀） ，則 （204號

令 ，則

當(dāng)且僅當(dāng) 6+t=-6+3t ，即 t=6 ，結(jié)合橢圓的對稱性可知當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.因為 （20所以 cos∠F₁PF₂ 單調(diào)遞減.所以∠F，PF≤可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析4設(shè)出點 P 的坐標(biāo)，然后構(gòu)造向量，利用向量夾角公式將 cos∠F₁PF₂ 用點 P 的坐標(biāo)表示出來，通過合理變形后換元、配湊并運用二次函數(shù)知識求出余弦值的取值范圍，最后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解角度的最值.

當(dāng)且僅當(dāng) 即 t=6 ，結(jié)合橢圓的對稱性可知當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.下同解法3.

分析5 本題是求解最大角問題，這里挖掘試題中隱含的米勒定理模型，運用米勒定理及平面幾何知識求解，則思路簡潔，使考題獲得快速求解[1].

米勒定理 已知 ^A，B 是 ∠MON 的邊ON上的兩定點， C 是邊 oM 上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點 C 時， ∠ACB 最大.

解法5 由解法1可得橢圓 F₁（ε-1，0），F(xiàn)₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.

如圖2，設(shè)直線 x=2 與 x 軸的交點 M ，由米勒定理可知，當(dāng)點 P 為過 F₁，F(xiàn)₂ 的圓與直線 x=2 相切時的切點時， ∠F₁PF₂ 最大，此時根據(jù)圓的切割線定理可知 ∣MP∣²=∣MF₁∣?∣MF₂∣

因為 ∣MF₁∣=2-（α-1α）=3 ，

∣MF₂∣=2-1=1

所以 ∣MP∣²=3×1=3

即 ：

所以在 RtΔF₁MP 中，

所以 1

在 RtΔF₂MP 中，

所以

所以 由此 ∠F₁PF₂ 的最大值為

故選D.

3推廣探究

把上述考題的結(jié)論推廣到一般橢圓情形，可有：

結(jié)論1已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F(xiàn)₂，P 為直線 x=m（mgt;） a ）上的任意一點，則tan ∠F₁PF₂ 的最大值為

證明過程可按上述考題解法5的思路，利用米勒定理來證明.

證明設(shè) 如圖2，設(shè)直線 x=m（mgt;a） 與 x 軸的交點 M ，由米勒定理可知，當(dāng)點 P 為過 F₁，F(xiàn)₂ 的圓與直線 x=m 相切時的切點時， ∠F₁PF₂ 最大，此時根據(jù)圓的切割線定理可知 ∣MP∣²=∣MF₁∣?∣MF₂∣

因為 ∣MF₁∣=m-（μ-c）=m+c ，

∣MF₂∣=m-c，

所以 ∣MP∣²=（m+c）（m-c）=m²-c². （2號

即

在 RtΔF₁MP 中，

在 RtΔF₂MP 中，

所以 tan∠F₁PF₂=tan（∠F₁PM-∠F₂PM）

根據(jù)橢圓的對稱性，同樣有：

結(jié)論2已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F(xiàn)₂，P 為直線 x=m（mlt;-a） 上的任意一點，則tan ∠F₁PF₂ 的最大值為

結(jié)論2的證明可仿照結(jié)論1的證明進(jìn)行，這里從略.

4 結(jié)束語

做題貴在少而精.許多經(jīng)典數(shù)學(xué)試題蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想、方法與規(guī)律，值得深入研究與發(fā)掘.因此，在日常解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從多個視角分析思考、展開聯(lián)想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維保持靈動通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生能夠感悟解題本質(zhì)，嘗試不同路徑解決問題.長此以往，不僅能培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)，激發(fā)其探索精神與創(chuàng)新意識，還能切實提升數(shù)學(xué)學(xué)科能力與素養(yǎng)[2].

參考文獻(xiàn)：

[1］劉恒.以米勒定理為背景的數(shù)學(xué)試題解析[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2024（08）：19-20.

[2]朱彬，胡曉靜.對一道橢圓聯(lián)考題的解法與延伸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（07）：56-58.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]