一道不等式題的探究與思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16 -0036-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版）》明確指出，高考試題應(yīng)聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)與通性通法，減少對解題技巧的過度依賴，同時適度增加思維量，以有效區(qū)分不同思維層次的考生，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能[1].不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)板塊的核心內(nèi)容，一直是高考數(shù)學(xué)命題的重點方向，其考查形式豐富多樣，常與函數(shù)、數(shù)列等其他知識交叉融合，對學(xué)生的綜合思維能力提出了較高要求.本文將對一道不等式題進行多角度剖析，展現(xiàn)不同的思維路徑，以期為學(xué)生提供解題思路參考，助力其拓展思維的深度與廣度.

1題目呈現(xiàn)

題目 設(shè)實數(shù) a，b，x，ygt;0 ，且 a²+b²=1，x² +y²=5 ，則 ax+by 的最大值是

常見錯解 ，所以 ax+by 的最大值是3.

錯因分析 上述解法連續(xù)使用兩個基本不等式 和 ，但兩個等號同時成立的條件是 這會導(dǎo)致 a²+b²=x²+y² ，即 1=5 ，矛盾，所以 ax+by 的最大值并非3.在作答填空題時，很多學(xué)生因未考慮取等號的條件而犯錯.

追根溯源本題改編自2014年陜西卷的15.A題：設(shè) a，b，m，n∈R ，且 a²+b²=5，ma+nb=5 ，則 的最小值為多少 [2].這道高考題的標準答案是運用柯西不等式求解，著重考查學(xué)生的運算能力.本文的改編題在形式上更易讓人聯(lián)想到柯西不等式，但部分同學(xué)受基本不等式思維定式的影響，未驗證等號成立條件，從而得出錯誤結(jié)果.

2 題目解析

解法1 利用基本不等式.

基本不等式 如果 a，b 都為正數(shù)，則 ab?

當且僅當 a=b 時等號成立.

在求解不等式最值問題時，通常需要對式子進行適當變形以運用基本不等式

（ay=bx，

所以 ax+by 的最大值是

評注運用基本不等式求解最值問題是常見技巧，需要深入挖掘題目條件，通過平方、配湊等方式構(gòu)建使用基本不等式的條件，并嚴格驗證等號成立的條件.

解法2 利用柯西不等式.

柯西不等式 對于 a₁，b₁，a₂，b₂∈R ，有（a₁b₁+a₂b₂）²?（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²） ，當且僅當 a₁b₂ Φ=a₂b₁ 時取等號.

本題含有四個變量，從形式上可直接運用柯西不等式求解.

因為 （ax+by）²?（a²+b²）（x²+y²）， 所以 當且僅當 ，時取等號所以 ax+by 的最大值是

評注柯西不等式是數(shù)學(xué)中極為重要的不等式，它揭示了和的平方與平方和之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題中平方和的特征十分顯著，通過對所求式子進行平方處理，巧妙運用柯西不等式，能夠?qū)⒖此茝?fù)雜的最值問題迎刃而解.這一方法不僅突破了基本不等式的思維局限，而且通過仔細觀察式子特征，還能有效降低解題難度.

解法3 利用三角換元.

從方程角度看， a²+b²=1 和 x²+y²=5 分別對應(yīng)圓的方程.借助圓的參數(shù)方程形式，引入三角函數(shù)進行變量替換，將代數(shù)式問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解.

由 a²+b²=1，x²+y²=5 ，設(shè)

則

因為 |cos（α-β）|?1 ，所以 ，當且僅當 α=β 時取等號.

所以 ax + by 的最大值是√5[3].

評注在處理含兩參數(shù)的平方和關(guān)系式時，可利用三角換元法，將題目轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解代數(shù)式的最值，該方法巧妙靈活.

解法4 利用點到直線的距離公式.

由 ax+by 的形式可聯(lián)想到直線的一般表達式Ax+By+C=0 ，平面上點 P（x₀，y₀） 到直線 Ax+By +C=0 的距離公式為 ，則 （20

設(shè)直線 l_：ax+by=0，x²+y²=5 表示以 o 為圓心， 為半徑的圓，圓上任意一點 P（x，y） 到直線 ξ_l 的距離為 由于 a²+b²=1 ，所以點 P 到直線 ξ_l 的距離為 ∣ax+by∣

直線 l 過圓心，那么圓上點 P 到直線 l 的距離最大值為圓的半徑 ，即 的最大值是

所以 ax+by 的最大值是

評注平方和結(jié)構(gòu)的式子常與圓方程相關(guān)聯(lián)，本題所求式子的形式與直線表達式相關(guān)，從幾何角度出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為圓上點到直線距離的最大值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

解法5 利用向量的數(shù)量積

由 ax+by 可聯(lián)想到向量數(shù)量積的坐標表達式，a²+b²=1 和 x²+y²=5 的形式類似向量模的平方，因此，可將所求式子看作兩個向量的數(shù)量積，利用數(shù)量積的性質(zhì)求解.

設(shè) u=（a，b），ν=（x，y） ，則

根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)， ∣u?ν∣?∣u∣?∣ν∣ 可得 ，即 ，當且僅當 u，v 同向時等號成立.

所以 ax+by 的最大值是

評注平面向量知識體系中蘊含著與不等式相關(guān)的內(nèi)容，柯西不等式可通過向量的相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)得出.在解題時，可借助向量數(shù)量積的坐標表達式和模的計算方法，將問題轉(zhuǎn)化為向量問題，再利用向量數(shù)量積的性質(zhì)進行求解，這種思路新穎獨特.

解法6 構(gòu)造函數(shù).

構(gòu)造二次函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過湊出含 ax+by 的式子來求最大值.

令 f（t）=t²+2（ax+by）+5 ，由 a²+b²=1 和x²+y²=5，f（t）=（a²+b²）t²+2（ax+by）+（x²+by）， +y²） ，整理，得 f（t）=（at+x）²+（bt+y）²

顯然 ?_I（?_t）?0 對任意實數(shù) Ψ_t 恒成立[4]

所以二次函數(shù)的判別式 Δ=[2（ax+by）]²-4 ×5?0 恒成立，即 （ax+by）²?5 業(yè)

所以 故 ax+by 的最大值是

評注在不等式問題的求解中，構(gòu)造函數(shù)是一種常用的解題策略.然而，當面對變量較多、函數(shù)特征不明顯的題目時，常規(guī)方法往往難以奏效.本題另辟蹊徑，通過將變量視為系數(shù)，對表達式進行巧妙變形，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立的經(jīng)典模型，進而利用判別式實現(xiàn)求解.這種解法突破了常規(guī)構(gòu)造函數(shù)的思維定式，充分彰顯了創(chuàng)新意識與對數(shù)學(xué)知識的靈活運用能力.

3 結(jié)束語

通過探究這道不等式題的多種解法可以發(fā)現(xiàn)，同一數(shù)學(xué)問題從不同思維角度切入，能夠衍生出多樣化的解決途徑.在解題過程中，不同的思維方法各展所長：基本不等式的靈活變形、柯西不等式的直接運用、三角換元的巧妙轉(zhuǎn)化、點到直線距離公式與向量數(shù)量積的創(chuàng)新應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)的獨特策略等這些解法不僅體現(xiàn)了不等式與高中數(shù)學(xué)各章節(jié)知識的緊密關(guān)聯(lián)，更充分展示了數(shù)學(xué)知識間的相互滲透與融合之美.

不等式最值問題的求解要求學(xué)生綜合運用多種數(shù)學(xué)知識和方法，這對于培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力、知識遷移能力和創(chuàng)新精神具有重要意義.希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，面對不等式問題時能夠積極嘗試從不同角度思考，靈活運用各種數(shù)學(xué)方法，不斷拓展自己的思維空間，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2］唐佳媚.柯西不等式的教學(xué)實踐研究[D].長沙：湖南師范大學(xué)，2019.

[3]裴柏順.淺析如何挖掘錯題資源實現(xiàn)變“錯”為寶[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（33）：47-49.

[4]黃清波.2014年高考陜西卷理科第15題的解法賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（10）：32-33.

[責任編輯：李慧嬌]