小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階水平探究與應(yīng)用

空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的核心素養(yǎng)之一，培育學(xué)生空間觀念有助于其理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是學(xué)生形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)[?；谂囵B(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的連續(xù)性和進(jìn)階性，下面，下面筆者所在的教學(xué)團(tuán)隊(duì)對(duì)空間觀念在圖形運(yùn)動(dòng)中的一致性、階段性和層次性的進(jìn)階水平進(jìn)行了實(shí)踐與創(chuàng)新。筆者從確定小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”空間觀念的進(jìn)階變量、水平劃分和教學(xué)應(yīng)用三個(gè)方面闡述“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的教學(xué)策略。

一、“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階變量

褚宏啟教授認(rèn)為，“素養(yǎng)是知識(shí)、技能、態(tài)度的超越和統(tǒng)整，是人在真實(shí)情境中做出某種行為的能力或素質(zhì)\"[2]。核心素養(yǎng)是可教、可學(xué)、可評(píng)價(jià)的，筆者基于行為的視角分解空間觀念在小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"中的具體表現(xiàn)，以知識(shí)、技能和態(tài)度為分解依據(jù)，確定理解、想象、表達(dá)和應(yīng)用為“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的進(jìn)階變量。

1.旋轉(zhuǎn)的理解

旋轉(zhuǎn)的理解是指學(xué)生新獲得的旋轉(zhuǎn)知識(shí)與原有心理圖式和認(rèn)知框架的整合，借助解釋、舉例、分類(lèi)、總結(jié)、推斷和比較等理解旋轉(zhuǎn)，這是一個(gè)知識(shí)同化的過(guò)程。旋轉(zhuǎn)的概念在小學(xué)階段沒(méi)有具體的界定，可分為旋轉(zhuǎn)經(jīng)驗(yàn)理解、旋轉(zhuǎn)整體理解和旋轉(zhuǎn)元素理解。

2.旋轉(zhuǎn)的想象

旋轉(zhuǎn)的想象是指學(xué)生根據(jù)刺激頭腦中變換空間的信息，模擬旋轉(zhuǎn)的動(dòng)作，建構(gòu)具體的旋轉(zhuǎn)表象，它是一個(gè)不需要實(shí)際旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，是學(xué)生需要掌握的一項(xiàng)心理技能。旋轉(zhuǎn)的想象可分為二維旋轉(zhuǎn)和三維旋轉(zhuǎn)，筆者將二維平面圖形旋轉(zhuǎn)的想象分為感知旋轉(zhuǎn)表象、形成旋轉(zhuǎn)表象、加工旋轉(zhuǎn)表象。

3.旋轉(zhuǎn)的表達(dá)

旋轉(zhuǎn)的表達(dá)是指學(xué)生對(duì)接收到的旋轉(zhuǎn)信息進(jìn)行處理后，表現(xiàn)出的較為直接的語(yǔ)言表征和操作表征，介于技能和態(tài)度之間[3]。學(xué)生要具備旋轉(zhuǎn)表達(dá)的技能，更要產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)表達(dá)的內(nèi)在需要。根據(jù)表達(dá)的精準(zhǔn)程度可將旋轉(zhuǎn)的表達(dá)簡(jiǎn)單地分為粗糙的表達(dá)和精準(zhǔn)的表達(dá)，根據(jù)表達(dá)的維度可將精準(zhǔn)表達(dá)細(xì)化為單一表達(dá)、多元表達(dá)和表達(dá)互譯。

4.旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用

旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是指學(xué)生將所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識(shí)、技能綜合運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題，是較為復(fù)雜的態(tài)度呈現(xiàn)階段。旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)象可分為運(yùn)用旋轉(zhuǎn)一種運(yùn)動(dòng)解決單個(gè)圖形的變式問(wèn)題和解決組合圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；根據(jù)關(guān)聯(lián)程度可分為運(yùn)動(dòng)內(nèi)部（即旋轉(zhuǎn)與平移、軸對(duì)稱(chēng)）之間的勾連和圖形運(yùn)動(dòng)與其他領(lǐng)域知識(shí)（圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量等）的關(guān)聯(lián)。

二、“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的水平劃分

筆者圍繞“理解、想象、表達(dá)和應(yīng)用”四個(gè)進(jìn)階變量，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)不同學(xué)段的具體要求和學(xué)生學(xué)習(xí)空間觀念時(shí)表現(xiàn)出的特點(diǎn)，確定小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”的空間觀念的階段與水平劃分。

1.分階依據(jù)

（1）學(xué)段要求

小學(xué)階段的“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"描述為“三要素\"（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度），初中階段更精準(zhǔn)地描述為“二要素\"（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角）。初中階段會(huì)對(duì)“旋轉(zhuǎn)\"進(jìn)行概念定義，但小學(xué)階段的旋轉(zhuǎn)是在格子圖上的過(guò)程性描述。小學(xué)階段的“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"的教學(xué)要求具體分為三個(gè)層次。

層次1：讓學(xué)生感知生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象是圍繞著點(diǎn)（軸）做運(yùn)動(dòng)，其在大小、形狀上沒(méi)有發(fā)生變化。

層次2：讓學(xué)生用三要素精準(zhǔn)描述圖形的旋轉(zhuǎn)，能在格子圖上畫(huà)出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)圖形。

層次3：讓學(xué)生感悟圖形的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)上就是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，即所有點(diǎn)都做相同的旋轉(zhuǎn)。

學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”的要求為：對(duì)概念理解以感性認(rèn)識(shí)的積累為主，形成初步表象，并認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)。

（2）學(xué)生特點(diǎn)

小學(xué)階段不同年齡層次的學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的理解、操作、想象、表達(dá)、應(yīng)用的水平不一樣，可以分為低段、中段、高段三個(gè)階段。低段（1＼～2年級(jí)）的學(xué)生對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)不是空白的，具備較強(qiáng)的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)轉(zhuǎn)圈、找軌跡獲得過(guò)旋轉(zhuǎn)的非正式運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)。中段（3＼～4年級(jí)）的學(xué)生以具體形象思維為主，能將生活經(jīng)驗(yàn)抽象為數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，具備簡(jiǎn)單分析的能力。在圖形運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已具備關(guān)注平移、軸對(duì)稱(chēng)圖形運(yùn)動(dòng)中的變與不變和聯(lián)系旋轉(zhuǎn)時(shí)圖形中的變與不變進(jìn)行辨析圓周、非圓周的運(yùn)動(dòng)的能力。高段（5＼～6年級(jí)）的學(xué)生已經(jīng)具備從整體感知走向元素的分析和在格子圖中感受運(yùn)動(dòng)特征的經(jīng)驗(yàn)，能進(jìn)行平移和軸對(duì)稱(chēng)的描述和刻畫(huà)，能從點(diǎn)元素的角度分析旋轉(zhuǎn)中的特征，并通過(guò)想象、刻畫(huà)、描述、分析稍復(fù)雜的圖形變化和圖案設(shè)計(jì)。

小學(xué)階段的空間觀念主要是一種直觀的感悟和整體的操作[4]，通過(guò)對(duì)生活現(xiàn)象的辨析感悟，發(fā)展到借助工具格子圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的刻畫(huà)、描述，讓學(xué)生能夠在頭腦中對(duì)圖形進(jìn)行變換比較，形成解決問(wèn)題的能力。結(jié)合連續(xù)性的知識(shí)與技能、階段性的思維與方法，可以將不同學(xué)段學(xué)生的特點(diǎn)分為三個(gè)層次。

層次1：學(xué)生有著豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，能借助具身參與、實(shí)物模擬的方式理解旋轉(zhuǎn)都是繞著一個(gè)點(diǎn)或軸做運(yùn)動(dòng)。

層次2：學(xué)生基于軸對(duì)稱(chēng)、平移的學(xué)習(xí)積累了大量的感悟圖形運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，具備借助格子圖進(jìn)行精準(zhǔn)描述特殊角度（如 90^°，180^° 等）的能力。

層次3：關(guān)聯(lián)化理解三種運(yùn)動(dòng)之間的變與不變、本質(zhì)勾連，借助運(yùn)動(dòng)解決相關(guān)圖形和其他知識(shí)領(lǐng)域的問(wèn)題。

2.水平表現(xiàn)

基于劉曉玫教授提出的“完全直觀想象階段、直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象階段和直觀想象與復(fù)雜分析階段”[5]三階段理論，筆者結(jié)合旋轉(zhuǎn)的學(xué)段要求和學(xué)生學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，梳理了小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"空間觀念的具體表現(xiàn)。

（1）完全直觀想象階段

如表1所示，本階段對(duì)應(yīng)小學(xué)第一次學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)，學(xué)生已經(jīng)具備豐富的旋轉(zhuǎn)經(jīng)驗(yàn)，能借助原有的體驗(yàn)從數(shù)學(xué)的角度重新認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，這是由生活常識(shí)化轉(zhuǎn)向水平數(shù)學(xué)化的階段。

（2）直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象階段

如表2所示，本階段對(duì)應(yīng)小學(xué)第二次學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)，學(xué)生已經(jīng)積累了大量的初識(shí)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，能借助格子圖從元素的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，這是一個(gè)水平數(shù)學(xué)化結(jié)合垂直數(shù)學(xué)化的階段。

（3）直觀想象與復(fù)雜分析階段

如表3所示，本階段對(duì)應(yīng)小學(xué)高年級(jí)階段的圖形運(yùn)動(dòng)解決問(wèn)題，基于知識(shí)的學(xué)習(xí)、經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生借助關(guān)聯(lián)三種圖形運(yùn)動(dòng)、關(guān)聯(lián)旋轉(zhuǎn)與不同知識(shí)領(lǐng)域解決問(wèn)題，是一個(gè)從數(shù)學(xué)到生活的階段。

三、“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”空間觀念的教學(xué)應(yīng)用

如圖1所示，筆者以“認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)”“圖形的旋轉(zhuǎn)”以及“圖形旋轉(zhuǎn)練習(xí)課\"（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為\"課1\"\"課2\"\"課3\"）三節(jié)課為例培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。課1以箭頭作為素材，考慮到學(xué)生的層次性，讓學(xué)生通過(guò)做一做、畫(huà)一畫(huà)和說(shuō)一說(shuō)直觀感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。課2搜集了學(xué)生課前在格子圖上繪制的線段 _AB 旋轉(zhuǎn)的典型作品，讓學(xué)生通過(guò)比一比、寫(xiě)一寫(xiě)感悟旋轉(zhuǎn)的特征。課3以直角坐標(biāo)系中的笑臉為素材，讓學(xué)生通過(guò)旋轉(zhuǎn)將笑臉圖還原。筆者以序列化的學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生圍繞核心問(wèn)題“怎么旋轉(zhuǎn)\"遞進(jìn)式推進(jìn)對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解與應(yīng)用。

1.清晰性數(shù)學(xué)觀察

數(shù)學(xué)觀察是指學(xué)生有目的、有計(jì)劃、有選擇的持久的數(shù)學(xué)感知[6。旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象在生活中很常見(jiàn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并觀察平面圖形在二維空間中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

三節(jié)課實(shí)現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)情境的觀察對(duì)象進(jìn)階，從學(xué)具模型到格子圖的觀察工具進(jìn)階，從整體直觀感知到元素抽象感悟的觀察目的進(jìn)階。課1教師先引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察生活實(shí)例的共性，形成旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的統(tǒng)一感知；然后借助學(xué)具箭頭初步感悟旋轉(zhuǎn)的有關(guān)要素；最后對(duì)變式的不滿(mǎn)一圈進(jìn)行進(jìn)一步觀察辨析，在觀察“變與不變\"中直觀感知認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)。課2教師引導(dǎo)學(xué)生在格子圖中觀察圖形旋轉(zhuǎn)在變化過(guò)程中元素的“變與不變”，通過(guò)對(duì)比觀察旋轉(zhuǎn)前后圖形的終點(diǎn)位置，基于元素的視角感悟圖形的旋轉(zhuǎn)。課3教師引導(dǎo)學(xué)生從零碎的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到整體性的把握，借助觀察、想象圖形旋轉(zhuǎn)前后的變化，進(jìn)一步加深對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解。學(xué)生通過(guò)清晰性的數(shù)學(xué)觀察，能為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定觀察的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

2.深刻性數(shù)學(xué)表達(dá)

數(shù)學(xué)表達(dá)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（刻畫(huà)），嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔、有邏輯地將自己的理解、思路、情感表達(dá)出來(lái)的能力。不同學(xué)段的學(xué)生在軸對(duì)稱(chēng)、平移的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)驗(yàn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)將抽象的理解深刻地體現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解。

課1的數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)以學(xué)生的具身參與為主，讓學(xué)生通過(guò)將指針模型進(jìn)行實(shí)際的旋轉(zhuǎn)操作，畫(huà)出指針的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)指針的旋轉(zhuǎn)，強(qiáng)調(diào)其“五感\(zhòng)"的參與。課2的數(shù)學(xué)表達(dá)側(cè)重對(duì)線段 _AB 的精準(zhǔn)刻畫(huà)與表達(dá)，需要學(xué)生闡明旋轉(zhuǎn)的三要素，強(qiáng)調(diào)操作表征和語(yǔ)言表征之間的互譯。課3需要教師引導(dǎo)學(xué)生從單塊板的旋轉(zhuǎn)走向組合板塊的旋轉(zhuǎn)，多種表達(dá)打通比較。序列化的三節(jié)課，能讓學(xué)生從粗糙的數(shù)學(xué)表達(dá)走向精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)，對(duì)旋轉(zhuǎn)有更深刻的理解。

3.全面性系統(tǒng)關(guān)聯(lián)

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)思維教學(xué)可分為兩個(gè)階段，小學(xué)階段主要為第一階段的教學(xué)，“幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維，從而改進(jìn)他們的思維，特別是由日常生活逐步形成的各種思維習(xí)慣和思維方式”。筆者認(rèn)為，“記少憶多\"關(guān)聯(lián)化的學(xué)習(xí)是義務(wù)教育階段學(xué)生需要的理性思維。

課1教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)三者運(yùn)動(dòng)的變與不變，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是大小不變、形狀不變只是位置發(fā)生變化，對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)有了系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)。課2教師突破了原有的三要素教學(xué)，通過(guò)變化旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)圖形，全面破解旋轉(zhuǎn)教學(xué)難點(diǎn)。課3教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)二次比較軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)三種運(yùn)動(dòng)歸根結(jié)底都是圖形上所有點(diǎn)的共同運(yùn)動(dòng)。

空間觀念在旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的錨定細(xì)化讓教學(xué)有了適當(dāng)?shù)姆较蚝湍繕?biāo)，有利于教師在“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)\"教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

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