基于函數(shù)視角的高中數(shù)學隨機變量知識點教學環(huán)節(jié)設(shè)計

隨機變量是高中數(shù)學概率統(tǒng)計板塊的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，也是該板塊的重要支撐點，學生對其的學習和理解決定了對概率板塊掌握的熟練程度，為下一步解決以概率統(tǒng)計為知識點的復(fù)雜綜合題打下了基礎(chǔ)。因此，對該知識點的教學方法設(shè)計就顯得尤其重要，下面將巧妙利用學生熟知的知識點一一函數(shù)，使用引導(dǎo)和推廣等步步深人的多環(huán)節(jié)方法來展開教學，起到平穩(wěn)過渡、以舊推新的作用。

一、第一環(huán)節(jié)：掌握函數(shù)的基礎(chǔ)一映射的界定與內(nèi)涵

眾所周知，若坐標平面內(nèi)的所有點組成的集合為A，所有的有序數(shù)對組成的集合為 ，則每一點與其坐標對應(yīng)，則對于A中的每一個元素（點），都能找到 B 中的唯一元素（有序數(shù)對）與之對應(yīng)。那么，一般地，設(shè) ^A，B 是兩個非空集合，如果對于集合 A 中的每一個元素，按照某種對應(yīng)關(guān)系 f， ，都有唯一的集合 B 中的元素對應(yīng)，就稱為從集合 A 到集合 B 的映射，記為 A?B 。

根據(jù)映射定義，圖1中，（1）集合 A 中元素 y 在集合 B 中沒有對應(yīng)，所以不是映射；（2）集合A中元素 x 在集合 B 中對應(yīng)不是唯一的，所以不是映射；（3）集合 A 中元素 x 在集合 B 中對應(yīng)也不是唯一的，所以也不是映射；（4）的對應(yīng)關(guān)系符合定義，是從集合A到集合 B 的映射。

我們生活中也有很多映射的例子，如生活中的紐扣對應(yīng)是不是映射呢？（見圖2）

類似于數(shù)學中的一次函數(shù)。同樣，左右袖口各有紐扣兩粒、扣眼一個，作用是使袖口可較為彈性地扣上，則是兩個不同的值對應(yīng)到同一個 y ，是映射，但不符合“一一對應(yīng)\"關(guān)系，類似于數(shù)學中的二次函數(shù)。然而，針對袖口紐扣和扣眼，如果兩者互換，即一個扣眼對應(yīng)到兩個紐扣，則不是映射。

二、第二環(huán)節(jié)：熟識函數(shù)的內(nèi)容一一函數(shù)的定義與解析

當 ^A，B 是兩個非空集合，更進一步作為兩個非空數(shù)集時，即給定兩個非空實數(shù)集合 A 和 B ，滿足映射定義規(guī)則，則稱 為從集合A到集合 B 的一個函數(shù)，記作 y=f（x），x∈A 。其中， x 稱為自變量， y 稱為因變量，集合 A 稱為函數(shù)的定義域，函數(shù)是建立了從一個非空數(shù)集到一個非空數(shù)集的映射（見圖3）。

對于定義域中的每一個元素，由函數(shù)得到的所有函數(shù)值組成的集合稱為此函數(shù)的值域。

如圖4，根據(jù)指數(shù)函數(shù) y=a^x（agt;0，a≠1 與對數(shù)函數(shù) y=log_ax（agt;0，a≠1） 的關(guān)系知， y=a^x（agt;0，a≠1 可化為 x=log_ay ，聯(lián)想指數(shù)函數(shù)（1）的值域為 y∈（0，+∞） ，指數(shù)函數(shù)的因變量恰好是對數(shù)函數(shù)的自變量，所以對數(shù)函數(shù)（2）的定義域為 y∈（0，+∞） ，即對數(shù)函數(shù)（3）的定義域為 x∈（0，+∞） 。（1）與（3）互為反函數(shù)。

一般地，設(shè) ^A，B 分別為函數(shù) y=f（x） 的定義域和值域，如果由函數(shù) y=f（x） 可解得唯一 x=φ（y） 也是一個函數(shù)（即對任意一個 y∈B ，都有唯一的 x∈A 與之對應(yīng)，也就是函數(shù)中的“一一對應(yīng)\"關(guān)系），那么就稱x=φ（y） 是函數(shù) y=f（x） 的反函數(shù)，記作 x=f^-1（y） 。在 x=f ¹（y） 中， y 是自變量， x 是 y 的函數(shù)，習慣上改寫成 y=f ¹（x）（x∈B，y∈A ）的形式。

舉例說明，函數(shù) y=2^x 與 y=log₂x ，按照上述規(guī)則，符合反函數(shù)定義，則兩者互為反函數(shù)，且圖象如下（見圖5）：

由上圖可知，互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱。

三、第三環(huán)節(jié)：推廣函數(shù)的應(yīng)用一引出隨機變量定義

自然界中存在一種現(xiàn)象，在一定條件下，每次發(fā)生的結(jié)果可能相同，也可能不同，這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象。對某隨機現(xiàn)象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗。在隨機試驗中發(fā)生的各種可能結(jié)果稱為樣本點，用 ω 表示，稱包含所有可能結(jié)果（樣本點）的集合為樣本空間，用 Ω 表示。樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。

函數(shù)是建立了從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射；隨機變量是建立了從試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集合的映射（見圖6）。

一般地，對于隨機試驗樣本空間 Ω 中的每個樣本點 ω ，都有唯一的實數(shù) X（ω） （相當于函數(shù)意義下的 f（x） ）與之對應(yīng)，則稱 X 為隨機變量。從本質(zhì)上來說，無論函數(shù)還是隨機變量，都是映射的特例，兩者映射的“象\"都是實數(shù)；不同的是，函數(shù)的“原象”也是實數(shù)，而隨機變量的“原象”是樣本點，也就是隨機試驗可能結(jié)果。因此，隨機變量的定義域為樣本空間，值域為實數(shù)集，即 X（ω）∈R 。隨機變量就是建立在 Ω 到 R 的單值對應(yīng)，樣本空間 Ω 相當于函數(shù)的定義域，不同的是 Ω 未必是數(shù)集，即：

因為隨機變量對應(yīng)法則比較難以理解，不像函數(shù)那樣，如 f（x）=2x ，清晰容易理解，所以引用幾個實例來具體理解一下。例如，

（1）擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，樣本空間為 ，用 x+y 表示“兩顆骰子向上的點數(shù)之和”，那么樣本點 （x，y） 就與 X（x，y）=x+y 對應(yīng)。

（2）拋擲一枚硬幣，將試驗結(jié)果“正面向上\"用1表示，“反面向上”用0表示，那么樣本點“正面向上”“反面向上\"就與 X （正面向上） （反面向上） =0 對應(yīng)。

（3）接聽一個電話，那么樣本點“通話時長\"就與X （通話時長） ]對應(yīng)。

（4）明天的降雨，那么樣本點“降雨量\"就與 X （降水量）= 1（l∈[0，+∞） ）對應(yīng)。

像（1（2）取值為離散的數(shù)值的隨機變量稱為離散型隨機變量，而（3（4）取值為連續(xù)的實數(shù)區(qū)間，具有這種特點的隨機變量稱為連續(xù)性隨機變量。

四、第四環(huán)節(jié)：類比函數(shù)的性質(zhì)一推導(dǎo)隨機變量的概率分布與類比

既然隨機事件可以用隨機變量表示，隨機變量也就可以將隨機事件數(shù)量化，同時用隨機變量取值的概率來替換隨機事件發(fā)生的概率，也就得到了隨機變量的概率分布，見圖7。

概率分布是建立了一個從隨機變量所有取值的集合到取值的概率的集合的映射。

為了清楚表示概率分布的映射特性，以拋硬幣為例，在上述隨機試驗（2）中“拋擲一枚硬幣”，結(jié)果有兩個：正面向上和反面向上，引入隨機變量 X ，用 X （正面向上） 1=1 表示“正面向上\"這個事件，用 X （反面向上 1=0 表示“反面向上\"這個事件。于是，事件“拋擲一枚硬幣，正面向上\"可以表示為 （正面向上） 1=1 1簡寫為 ，其概率可以表示為 ，事件‘拋擲一枚硬幣，反面向上\"可以表示為 （反面向上） ，簡寫為 ，其概率可以表示為 。更進一步，通常將P（{X=1}），分別簡記為P（X=1）， P（X=0） ，結(jié)果見圖8。

圖8函數(shù)、隨機變量和概率分布關(guān)聯(lián)圖這一結(jié)果也可以用下表來描述（見表1）。

一般地，隨機變量 X 有 n 個不同的取值，它們分別是 x₁，x₂，…，x_n ，且

P（X=x_i）=p_i，i=1，2，…，n

稱（1）式為隨機變量 X 的概率分布列，簡稱為 X 的分布列。（1）式也可以用列表法表示，見表2。

此表稱為隨機變量 X 的概率分布表。它和（1）都稱為隨機變量 X 的概率分布，其實就是將概率“1\"分割給所有的取值，也就是每一個可能的結(jié)果，其中p_i?0，i=1，2，…，n，p₁+p₂+^…+p_n=1 。進一步將 p₁x₁+ p₂x₂+…+p_nx_n 稱為隨機變量 X 的數(shù)學期望或均值，記為 E（X） 或 μ 。數(shù)學期望的含義就是對隨機變量取值（x_i） 進行帶有權(quán)重 （p_i） 的加權(quán)平均，其中，權(quán)重是該取值的概率，也就是衡量輕重作用的數(shù)值，加權(quán)平均是根據(jù)每一個數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)重，再計算若干個數(shù)量的平均數(shù)。

五、第五環(huán)節(jié)：應(yīng)用隨機變量的性質(zhì)一典型例題析解

題目1：每個路口有紅、綠、黃三色信號燈，假設(shè)各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率： “三個都是紅燈” “全紅”； B=^? 全綠”； “全黃”； D= “無紅”； ‘無綠”；F=^′ “三次顏色相同”； G= “顏色全不相同”； H= “顏色不全相同”。

【答案】解：

【點評】用古典概型的計算公式計算概率 P（A） 等于 A 所包含的基本事件數(shù)除以基本事件的總數(shù)；本例中直接計算事件的概率比較麻煩，不如通過它的對立事件 的概率來計算方便些，這是概率計算中常用的方法。

【考查內(nèi)容和難易程度】本題考查概率用到的排列組合、對立事件計算等基礎(chǔ)知識，并考查求解運算

能力，難易程度為中檔。

題目2：袋中有 Ψ_a 個白球和 b 個黑球，從中任意地接連取出 k 個球（ 1?k?a+b ），如果將球取出后不放回，試求最后取出的一球是白球的概率。

【答案】解：設(shè)A表示“最后取出的一球是白球”，把 個白球和 b 個黑球都看作是不同的球（例如設(shè)想把它們進行編號等），從 a+b 個球中任取出 k 個球排成一排，總數(shù)為 P_a+b^k ，第 k 次取出的白球是從 個白球里任取的一個，有 Ψ_a 種取法，其余 k-1 次是從 ^a+ b-1 球里任取的，有 P_a+b-1^k-1 種取法，由乘法原理可知，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 a×P_a+b-1^k-1 ，因此

【點評】此結(jié)果與 k 無關(guān)！這與我們?nèi)粘５纳罱?jīng)驗是一致的，如在體育比賽中進行抽簽，各隊機會均等，與抽簽的先后次序無關(guān)。

【考查內(nèi)容和難易程度】本題結(jié)合實際生活中的常見概率問題，考查高考數(shù)學中經(jīng)常使用的逆向和發(fā)散思維，解決實際問題的能力，難易程度為中檔。

六、隨機變量知識點教學方法總結(jié)

綜上所述，在整個教學過程中，隨機變量作為具有函數(shù)本質(zhì)特征的推廣，將樣本空間映射成為實數(shù)集，為概率統(tǒng)計使用常規(guī)數(shù)學工具（微分、積分等）奠定了堅實的基礎(chǔ)。同時，利用函數(shù)視角展開教學也使離散隨機變量的概率分布問題“跳出了\"古典概率的思維，“取消了\"概率統(tǒng)計問題等可能的約束，進一步推動了概率統(tǒng)計相關(guān)理論的快速發(fā)展，同時方便了學生的理解和掌握。

（作者單位：南通市小海中學）

編輯：常超波