《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的實(shí)施,推動(dòng)課程改革的重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)向?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在新課標(biāo)理念下,教師在教學(xué)過程中需要更加注重學(xué)生的主體地位,將課堂教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閹熒餐骄俊W(xué)生小組合作與自主學(xué)習(xí)相結(jié)合的模式,讓學(xué)生可以在互動(dòng)中加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,同時(shí)也能根據(jù)自身的學(xué)習(xí)進(jìn)度和興趣展開個(gè)性化的學(xué)習(xí)。
一、教案的創(chuàng)新:學(xué)歷案教學(xué)
隨著教育領(lǐng)域?qū)W(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的日益重視,尤其是在新課程改革背景下,教育理念逐漸從單一的知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生全面發(fā)展的方向。學(xué)歷案教學(xué)模式最早由華東師范大學(xué)崔允濘教授及其專家團(tuán)隊(duì)提出,旨在打破傳統(tǒng)教學(xué)過于注重教師講解和知識(shí)灌輸?shù)木窒?,倡?dǎo)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過自主探究和任務(wù)驅(qū)動(dòng)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。學(xué)歷案教學(xué)模式的提出,正是回應(yīng)了教育界對(duì)“以學(xué)生為中心”的教學(xué)要求,體現(xiàn)了教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)學(xué)生主體性的高度尊重。
二、設(shè)計(jì)理念:基于深度學(xué)習(xí)的學(xué)歷案教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)思
深度學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生能理解知識(shí)的表面含義,還要將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化、遷移和應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)新能力以及解決復(fù)雜問題的能力。在學(xué)歷案的設(shè)計(jì)構(gòu)思中,深度學(xué)習(xí)的實(shí)施需要教師在教學(xué)過程中進(jìn)行精心的規(guī)劃與組織
一是注重任務(wù)的科學(xué)性。根據(jù)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知水平,設(shè)計(jì)一系列循序漸進(jìn)、層次分明的學(xué)習(xí)任務(wù)。其任務(wù)不僅要具有挑戰(zhàn)性,還要具備一定的開放性和探索性,鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主思考和團(tuán)隊(duì)合作。
二是注重內(nèi)容的層次性。教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注知識(shí)與技能的結(jié)合,注重從基礎(chǔ)知識(shí)到高級(jí)應(yīng)用的層層推進(jìn),促使學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),并在不斷實(shí)踐中深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。
三是注重學(xué)習(xí)過程的評(píng)估與反饋。傳統(tǒng)的評(píng)估方式往往側(cè)重學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶和再現(xiàn),而在深度學(xué)習(xí)的框架下,評(píng)價(jià)的核心應(yīng)轉(zhuǎn)向?qū)W生的學(xué)習(xí)過程、思維發(fā)展和能力培養(yǎng)。
三、教學(xué)設(shè)計(jì):以“基本不等式”教學(xué)為例
(一)教學(xué)目標(biāo)
1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維:基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求,強(qiáng)化學(xué)生思維的靈活性,特別是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的綜合性思考和批判性分析能力。通過“基本不等式”的學(xué)習(xí),學(xué)生不僅需要掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)則和公式,還要通過探索不等式的各種變換和推導(dǎo)過程發(fā)展邏輯推理能力。
2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力:教師不僅要關(guān)注不等式的解法和計(jì)算,還要引導(dǎo)學(xué)生理解不等式在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,特別是在解決數(shù)學(xué)問題、現(xiàn)實(shí)生活問題以及化學(xué)、物理等學(xué)科中的實(shí)際應(yīng)用。教師需精心設(shè)計(jì)課堂活動(dòng),促使學(xué)生學(xué)會(huì)將復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,并通過不等式的形式求解。
3.培養(yǎng)自我學(xué)習(xí)能力:學(xué)生除了掌握公式和定理的應(yīng)用,還需通過反思性學(xué)習(xí),理解每一個(gè)數(shù)學(xué)步驟的深層邏輯和推理過程。
(二)教學(xué)重難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)
(1)教師應(yīng)通過細(xì)致的講解與引導(dǎo),幫助學(xué)生掌握不等式的基本形式、推導(dǎo)過程及其應(yīng)用范圍,使學(xué)生能夠在多樣的數(shù)學(xué)問題中靈活選用適合的不等式工具進(jìn)行分析與求解。
(2)教師需引導(dǎo)學(xué)生通過具體的例題,逐步加深對(duì)不等式應(yīng)用情境的理解,并引發(fā)學(xué)生對(duì)不等式在現(xiàn)實(shí)世界廣泛應(yīng)用的認(rèn)知。
2.教學(xué)難點(diǎn)
教師引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)不等式的潛在應(yīng)用場(chǎng)景,培養(yǎng)其分析與解題的綜合能力。
(三)教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1.聚焦教學(xué)目標(biāo),導(dǎo)人新課
在“基本不等式\"這一單元中,教材核心知識(shí)主要圍繞不等式的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用展開,具體包括以下幾個(gè)方面:(1)基本不等式的定義與理解;(2)不等式的證明方法;(3)基本不等式的應(yīng)用;(4)基本不等式在解題中的技巧。通過對(duì)這些核心知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí),學(xué)生逐步掌握不等式的定義、性質(zhì)、證明技巧及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用,從而為深入探討和解決更多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。
明確教學(xué)目標(biāo)后,教師需要設(shè)計(jì)具體的導(dǎo)入情境,將學(xué)生帶人與“基本不等式\"相關(guān)的實(shí)際問題中。教師可以從一個(gè)貼近學(xué)生生活的問題入手:假設(shè)某公司需要在限定的預(yù)算下采購(gòu)原材料,以使生產(chǎn)成本最小化,同時(shí)滿足質(zhì)量要求。如何在預(yù)算限制內(nèi)選擇最優(yōu)的采購(gòu)方案?教師可以提出一個(gè)優(yōu)化問題,如:“某工廠在有限的生產(chǎn)時(shí)間內(nèi),需要安排多個(gè)生產(chǎn)任務(wù),如何安排才能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成最多的生產(chǎn)任務(wù)?\"以這些情境問題,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)工具(如不等式)在解決實(shí)際問題中的重要作用。在這一過程中,學(xué)生會(huì)逐步認(rèn)識(shí)到,問題的關(guān)鍵不僅在于尋找最優(yōu)方案,還在于如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),尤其是“不等式\"這一工具,來確保方案的可行性和最優(yōu)化。
2.自主探究,構(gòu)建新知
在\"學(xué)歷案\"教學(xué)模式中,自主探究環(huán)節(jié)是學(xué)生主體性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵組成部分。在這一環(huán)節(jié),學(xué)生要進(jìn)行主動(dòng)探索、思考和合作,逐步提升理解深度并獲得更高層次的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。具體來說,“自主探究”不僅注重學(xué)生對(duì)新知的探索過程,還強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)、討論交流等方式對(duì)知識(shí)的內(nèi)化和應(yīng)用。
(1)確定學(xué)習(xí)任務(wù)與預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)目標(biāo)
教師為學(xué)生設(shè)定具體的問題情境或探究任務(wù),并通過合理的任務(wù)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生深入理解“基本不等式\"的核心內(nèi)容。這些任務(wù)要符合學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知水平,并能夠挑戰(zhàn)學(xué)生的思維能力,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,推動(dòng)他們積極參與探究過程。
具體任務(wù)設(shè)計(jì)如下:
任務(wù)一:基本不等式的內(nèi)容及定義
學(xué)生通過預(yù)習(xí)教材,理解基本不等式這一概念,明確不等式的定義及其形式。教師設(shè)置相關(guān)問題,如:“基本不等式如何定義?它包含哪些重要信息?”并引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)習(xí)的過程中通過討論或合作學(xué)習(xí),逐步形成對(duì)不等式的理解。
任務(wù)二:不等式的證明方法
教師引導(dǎo)學(xué)生思考并列出證明“基本不等式\"常見的幾種方法,如直接證明法、反證法、歸納法等。教師設(shè)置開放性問題:“你能提出一種證明基本不等式的方法嗎?為何選擇這種方法?”這一任務(wù)旨在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,幫助學(xué)生掌握多種數(shù)學(xué)證明方法。
任務(wù)三:基本不等式的應(yīng)用
學(xué)生應(yīng)在實(shí)際問題中探討“基本不等式”的應(yīng)用,如通過不等式求解函數(shù)的最值、解代數(shù)式的優(yōu)化問題等。教師可以提供一些具體的數(shù)學(xué)應(yīng)用情境,要求學(xué)生嘗試通過不等式進(jìn)行求解,如:“如何通過基本不等式解決最大最小值的問題?”
基于這些任務(wù)設(shè)計(jì),教師引導(dǎo)學(xué)生從概念的學(xué)習(xí)、證明方法的掌握到實(shí)際應(yīng)用的探究,逐步完成從知識(shí)傳授到知識(shí)應(yīng)用的轉(zhuǎn)化。
(2)小組合作探究:集體智慧,互助學(xué)習(xí)
為了促進(jìn)學(xué)生之間的合作與思維碰撞,教師可以將學(xué)生分成若干小組,每組圍繞特定的學(xué)習(xí)任務(wù)展開探究活動(dòng)。小組合作探究不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與感,還能夠激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力,并在討論與分享中增強(qiáng)理解的深度。
在本節(jié)課中,小組合作探究任務(wù)可以圍繞以下幾個(gè)方面展開:
任務(wù)一:基本不等式的證明探討
每個(gè)小組選擇一種不等式的證明方法,進(jìn)行詳細(xì)的討論與推導(dǎo),最后形成完整的證明過程。在小組討論過程中,學(xué)生應(yīng)分享自己對(duì)不等式證明方法的理解,并結(jié)合教材中的相關(guān)例題進(jìn)行討論,探討如何運(yùn)用不同的策略完成基本不等式的證明。
任務(wù)二:不等式應(yīng)用問題的解決
在小組合作中,每個(gè)小組選擇一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題,如函數(shù)最值問題、優(yōu)化問題等,探討如何通過不等式解決實(shí)際問題。小組成員根據(jù)自己掌握的知識(shí),互相補(bǔ)充和修正,最終提出完整的解決方案。這一環(huán)節(jié)不僅能夠提升學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力,還能激發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的興趣。
在自主探究環(huán)節(jié),教師需要通過課堂互動(dòng)的設(shè)計(jì),促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的深度理解。教師可以設(shè)計(jì)一系列問題或情境,激發(fā)學(xué)生的思考和探究,讓學(xué)生在不斷的互動(dòng)和反饋中深化對(duì)基本不等式的理解,并鞏固其應(yīng)用能力。
任務(wù)一:運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題
活動(dòng)1:教師呈現(xiàn)例題,引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件,明確解題思路
例題:已知正實(shí)數(shù) x 和 y 滿足條件 x+y=10 ,求x2+y2 的最小值。
教師引導(dǎo)學(xué)生逐步分析題目,使其注意到最值問題的關(guān)鍵在于如何從給定的條件出發(fā),通過不等式構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。在分析過程中,教師可以詢問:
“這個(gè)問題的條件是什么?有哪些已知量?”
“你能想到什么不等式與這個(gè)問題相關(guān)?如何將條件轉(zhuǎn)化為不等式?”
“如何運(yùn)用基本不等式來尋找最小值?”
接下來,教師可以引導(dǎo)學(xué)生注意到,通過基本不等式 (x+y)2≥4xy ,可以從中提取數(shù)學(xué)關(guān)系,進(jìn)而利用這一關(guān)系推導(dǎo)出解題思路。教師要強(qiáng)調(diào),不等式的轉(zhuǎn)換和簡(jiǎn)化過程對(duì)于解決最值問題至關(guān)重要。
活動(dòng)2:學(xué)生獨(dú)立完成例題解答,并進(jìn)行小組討論,交流不同的解題方法
在學(xué)生理解了如何應(yīng)用基本不等式后,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成該例題的解答。這一階段,學(xué)生將在個(gè)人思考和實(shí)際操作中運(yùn)用所學(xué)知識(shí),體會(huì)基本不等式的應(yīng)用技巧。在學(xué)生完成解答后,教師組織小組討論。在小組討論中,學(xué)生可以自由分享自己的解題思路、方法與步驟。如讓學(xué)生互相對(duì)比不同的解法,討論哪一種方法更加簡(jiǎn)潔或更加直觀;鼓勵(lì)學(xué)生探討在解題過程中遇到的困難,幫助他們相互解答疑問。這種小組合作的學(xué)習(xí)方式不僅能提高學(xué)生的解題能力,還能使學(xué)生在合作中學(xué)會(huì)有效溝通與表達(dá),進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。
任務(wù)二:將基本不等式與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合解決綜合性問題
活動(dòng)1:教師呈現(xiàn)綜合性例題,引導(dǎo)學(xué)生分析題目中涉及的知識(shí)點(diǎn),尋找解題突破口
為了進(jìn)一步提升學(xué)生的綜合能力,教師需要設(shè)計(jì)綜合性問題,讓學(xué)生將基本不等式與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合解決更具挑戰(zhàn)性的問題。教師展示如下例題:
例題:已知實(shí)數(shù) a,b,c,c 滿足 a+b+c=9a ,且 ab+ bc+ca=20 ,求 a2+b2+c2 的最小值。
在這一問題中,學(xué)生不僅需要應(yīng)用基本不等式,還需要運(yùn)用二次代數(shù)知識(shí)和函數(shù)最值等概念。教師可引導(dǎo)學(xué)生分析題目,明確哪些條件可以直接應(yīng)用不等式,哪些需要借助代數(shù)技巧。
“在給定條件下,如何通過代數(shù)變形簡(jiǎn)化問題?”
“你是否可以通過不等式將條件中的兩個(gè)部分結(jié)合起來?”
“解答這道題時(shí),是否需要使用其他數(shù)學(xué)工具,如平方和公式等?”
教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考:如何將基本不等式與代數(shù)恒等式、函數(shù)最值等知識(shí)結(jié)合,以形成解題的有效路徑。
活動(dòng)2:學(xué)生分組合作,共同探討解題思路,并嘗試解決問題
在小組討論時(shí),學(xué)生可以交換解題思路、分享自已的計(jì)算過程,并提出不同的解題假設(shè)或觀點(diǎn)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生之間互動(dòng),激發(fā)他們的創(chuàng)造力和探究精神。教師可以提出問題引導(dǎo)學(xué)生反思,如“如何利用給定條件進(jìn)行代數(shù)變形?”“如何從不等式的角度出發(fā)推導(dǎo)解答?”
在學(xué)生獨(dú)立思考和小組討論的過程中,教師應(yīng)注意巡視并給予適時(shí)的幫助,解決學(xué)生遇到的難點(diǎn),確保每個(gè)學(xué)生都能夠積極參與到討論中。
活動(dòng)3:教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生的解題過程,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)將基本不等式與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合解決綜合性問題的策略
在小組合作完成討論后,教師應(yīng)組織全班學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)與總結(jié)。每個(gè)小組可以展示自已的解題思路,并分享其解決問題的策略。在匯報(bào)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):如何將其他數(shù)學(xué)知識(shí),如代數(shù)恒等式、函數(shù)最值等,與基本不等式結(jié)合進(jìn)行問題求解?在實(shí)際應(yīng)用中,如何靈活調(diào)整解題策略,應(yīng)對(duì)不同的數(shù)學(xué)問題?
通過教師點(diǎn)評(píng),學(xué)生能夠清晰地看到自己的解題思路是否全面,哪些地方需要進(jìn)一步強(qiáng)化。
4.總結(jié)反思,提升認(rèn)知
教師需要通過不同教學(xué)環(huán)節(jié)的有機(jī)銜接與精心設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生在探索和解決實(shí)際問題的過程中逐步深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,可以從以下幾個(gè)維度來審視教學(xué)效果。
(1)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況
在本次教學(xué)過程中,教學(xué)目標(biāo)主要集中在應(yīng)用基本不等式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解題能力,同時(shí)在此過程中注重學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。分析教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況,可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探究新知和合作交流環(huán)節(jié),可以逐步掌握基本不等式的應(yīng)用技巧,尤其是在解決最值問題時(shí),學(xué)生能夠靈活運(yùn)用不等式進(jìn)行求解,這表明目標(biāo)的設(shè)定符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與認(rèn)知發(fā)展。然而,教師也發(fā)現(xiàn),部分學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)的掌握上存在一定困難,尤其是在不等式的推導(dǎo)與應(yīng)用過程中,出現(xiàn)理解不深、運(yùn)算不熟練的情況。說明在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí),教師除了注重知識(shí)的應(yīng)用外,還需要更多關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)技能的培養(yǎng),尤其是在概念理解與公式應(yīng)用的熟練度上進(jìn)行加強(qiáng)。
(2)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性分析
教學(xué)設(shè)計(jì)的核心在于能夠根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際需求合理規(guī)劃教學(xué)活動(dòng)。在本次設(shè)計(jì)中,“導(dǎo)學(xué)聚焦”“自主探究”“合作交流\"和“總結(jié)反思”等環(huán)節(jié)相輔相成,可有效地促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作思維。尤其是在“自主探究\"和“合作交流\"環(huán)節(jié),學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式和解題方法,還要通過解決實(shí)際問題,鍛煉分析問題、獨(dú)立思考以及團(tuán)隊(duì)合作能力。此外,通過課堂互動(dòng)與即時(shí)反饋的設(shè)計(jì),教師能夠及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并給予有效的指導(dǎo),從而促進(jìn)學(xué)生從表面理解到深層次理解的轉(zhuǎn)變,使學(xué)習(xí)不再是單向的知識(shí)傳遞,而是師生之間的互動(dòng)與合作。
教學(xué)過程中仍存在一些值得改進(jìn)之處。例如,在“自主探究\"環(huán)節(jié),雖然教師設(shè)計(jì)了引導(dǎo)性問題,但部分學(xué)生可能會(huì)因?yàn)槿狈皶r(shí)的引導(dǎo)而陷入困惑。在未來的教學(xué)設(shè)計(jì)中,教師可以考慮提供更為細(xì)化的學(xué)習(xí)支持,尤其是在關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的講解與過渡時(shí),避免學(xué)生對(duì)問題的理解過于片面。
(3)學(xué)生參與度與認(rèn)知深化
從學(xué)生的參與情況來看,課堂中的互動(dòng)設(shè)計(jì)極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,尤其是小組合作討論和自主探究環(huán)節(jié)。學(xué)生在課堂中積極參與,通過分享自己的解題思路與解決方案,不僅提高了數(shù)學(xué)解題能力,也鍛煉了團(tuán)隊(duì)合作與溝通技巧。尤其是在解決最值問題與綜合性問題時(shí),學(xué)生能夠更加自如地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析與推理。盡管在課堂中有較為深入的探討,但對(duì)于一些高階問題,如將基本不等式與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)結(jié)合使用,一些學(xué)生可能會(huì)遇到諸多難題。在教學(xué)過程中,教師需要更加關(guān)注學(xué)生思維方式的引導(dǎo),尤其是幫助學(xué)生從“知道\"到“理解”,從“理解\"到“應(yīng)用”的逐步深化。
(作者單位:中山市古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué))
編輯:曾彥慧