中學(xué)生數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的形成研究

【摘要】數(shù)形結(jié)合與分類討論思想屬于數(shù)學(xué)的八大思想.數(shù)形結(jié)合思想的核心是代數(shù)與幾何的對(duì)立統(tǒng)一和完美結(jié)合，就是要把握好運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題、運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題的最佳時(shí)機(jī).數(shù)形結(jié)合是指通過(guò)圖形來(lái)表示數(shù)的性質(zhì)和關(guān)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種非常有效的教學(xué)方法.對(duì)于絕對(duì)值，可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)直觀表示.分類討論是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思維方式，它將問(wèn)題根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行分類并進(jìn)行研究與討論，通過(guò)分類對(duì)問(wèn)題的不同情況進(jìn)行分析，找出規(guī)律，從而更好地解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；分類思想；初中數(shù)學(xué)

數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合是一個(gè)有趣而有力的思想，它強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與幾何之間的緊密聯(lián)系[1]〖BP（〗REF_Ref4248rh〖BP）〗.通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可以用幾何圖形來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，也可以用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題.這種思維方式不僅增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的理解，還使學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)數(shù)軸將具體的點(diǎn)放在數(shù)軸上，然后通過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的距離確定絕對(duì)值.數(shù)形結(jié)合為學(xué)生打開(kāi)了一扇通向數(shù)學(xué)奇境的大門(mén).本文以湘教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第一章的“絕對(duì)值”的探究課為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)初中生數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想.

1"研究背景

絕對(duì)值是湘教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第一章的內(nèi)容.學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)數(shù)軸，并且知道了相反數(shù)的概念，能夠用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù)，也已經(jīng)知道數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.絕對(duì)值是學(xué)生所認(rèn)識(shí)的第一個(gè)非負(fù)數(shù)，是初中生體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法的開(kāi)始，在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷觀察、體驗(yàn)、歸納、比較、交流等一些解決簡(jiǎn)單現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要性；同時(shí)，在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力.

絕對(duì)值知識(shí)是解決有理數(shù)比較大小、距離等問(wèn)題的重要依據(jù)，同時(shí)它也是學(xué)生后面學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ).借助數(shù)軸引出對(duì)絕對(duì)值的概念，并通過(guò)計(jì)算、觀察、交流、發(fā)現(xiàn)絕對(duì)值的特征，讓學(xué)生直觀理解絕對(duì)值的含義.雖然絕對(duì)值的相關(guān)考點(diǎn)不會(huì)很難，但是對(duì)絕對(duì)值的探究能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲.通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐漸形成數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，對(duì)以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有很大的引導(dǎo)作用.基于以上思考，筆者在教學(xué)過(guò)程中重新對(duì)“絕對(duì)值”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了整理.

2"教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1"教學(xué)目標(biāo)

（1）借助于數(shù)軸，初步理解絕對(duì)值的概念，能求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

（2）通過(guò)從數(shù)和形兩個(gè)角度理解絕對(duì)值的意義，初步了解數(shù)形結(jié)合的思想方法.通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)絕對(duì)值的意義.

（3）通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲.

設(shè)計(jì)意圖"目標(biāo)的制定是建立在學(xué)生具備了數(shù)軸的知識(shí)儲(chǔ)備基礎(chǔ)上的.絕對(duì)值就是反映數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，因此對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，只要明白這一點(diǎn)進(jìn)行絕值的探究就不難了.通過(guò)數(shù)軸一類一類地引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)、歸納規(guī)律的能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲.

2.2"教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1"咱們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸，那同學(xué)們還記得數(shù)軸的三要素是什么嗎？

問(wèn)題2"什么樣的數(shù)是相反數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖"復(fù)習(xí)已有知識(shí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供知識(shí)的遷移基礎(chǔ).

問(wèn)題情境"在生活中，有時(shí)無(wú)需關(guān)注一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，比如出租車司機(jī)每天來(lái)回接送客人，他關(guān)注的只是走過(guò)的路程，而不是方向.于是，我們需要學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——絕對(duì)值.

設(shè)計(jì)意圖"提出問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

探究1"（1）小組合作畫(huà)一條數(shù)軸，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出4，-4，0，2，-2.

（2）小組討論這些數(shù)到原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度.

（3）請(qǐng)小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)總結(jié)小組的結(jié)論.

定義"一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離.

為了簡(jiǎn)便，常用“|a|”表示一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值.

絕對(duì)值的性質(zhì)"正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；

0的絕對(duì)值是0.

追問(wèn)"互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等嗎？

結(jié)論"互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.

典型例題"例1"求下列各數(shù)的絕對(duì)值.

0.36， 12， -7.5，0.

變式"分別求出3，3.14，-2.8的絕對(duì)值.

例2"若|a|=8.7，求a的值.

師"|a|=8.7其實(shí)就是說(shuō)數(shù)軸上的點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離是8.7，這樣的點(diǎn)a表示的數(shù)是什么？

生"8.7.

師"（結(jié)合具體的數(shù)軸向?qū)W生解釋）數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離是8.7的點(diǎn)還有嗎？

生"-8.7.

師"以后凡是絕對(duì)值都要考慮正負(fù)兩方面，這樣在數(shù)軸上就非常容易找到了，并且不容易漏掉某些數(shù).

設(shè)計(jì)意圖"讓學(xué)生明白最基本的數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，借助數(shù)軸工具，讓學(xué)生能夠更為直觀地理解“與某個(gè)點(diǎn)的距離是定值”有左右兩種情況，為往后的學(xué)習(xí)作鋪墊.

探究2"（1）|5|=_______，|-5|=_____；

（2）|0|=_______.

討論"如果a表示一個(gè)數(shù)，那么|a|等于多少呢？

結(jié)論"當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，|a|=a；

當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0；

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，|a|=-a.

設(shè)計(jì)意圖"通過(guò)具體的例子培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想；通過(guò)思考、觀察、歸納培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力、觀察能力和歸納能力，使學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)探索的學(xué)習(xí)品質(zhì).

探究3"絕對(duì)值的幾何意義.

（1）∣x∣的幾何意義：數(shù)軸上的點(diǎn)x到原點(diǎn)O的距離.

（2）∣x-1∣的幾何意義：數(shù)軸上的點(diǎn)x到1的距離.

（3）∣x+1∣的幾何意義：數(shù)軸上的點(diǎn)x到-1的距離，其實(shí)∣x+1∣就是∣x-（-1）∣.

絕對(duì)值的問(wèn)題往往可以通過(guò)分類討論來(lái)解決.對(duì)于表達(dá)式 “|a + b|”，可以根據(jù) “a” 和“b” 的符號(hào)進(jìn)行分類討論：① 當(dāng) “a” 和“b” 都是正數(shù)或都是負(fù)數(shù)時(shí)，|a + b| = |a| + |b|.②當(dāng) “a” 和“b” 異號(hào)時(shí)，|a + b| = |a| - |b|（這里假設(shè)|a|大于或等于|b|）.這種分類討論的方法在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)非常有效.

設(shè)計(jì)意圖"引導(dǎo)學(xué)生歸納：數(shù)軸上的點(diǎn)x到某個(gè)點(diǎn)的距離一定是x減去某個(gè)數(shù)的形式，如果是x加上某個(gè)數(shù)也要變成x減去某個(gè)數(shù)的形式.

例3"求∣x-1∣+∣x-3∣的最小值.

（1）當(dāng)x在1的左邊時(shí).

（2）當(dāng)x在1和3之間時(shí).

（3）當(dāng)x在3的右邊時(shí).

綜上所述，最小值為第（2）種情況，最小值為2.

設(shè)計(jì)意圖"通過(guò)數(shù)形結(jié)合與分類討論的方法，學(xué)生可以更好地理解絕對(duì)值的概念和性質(zhì)，從而在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)更加得心應(yīng)手，在解決類似問(wèn)題時(shí)有更合理的思維方向.

3"結(jié)語(yǔ)

對(duì)于從沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)類似知識(shí)的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，接受起來(lái)有點(diǎn)難和慢，尤其在理解絕對(duì)值的意義方面有一定的難度.因此，教學(xué)開(kāi)始時(shí)，讓學(xué)生理解絕對(duì)值的概念，掌握絕對(duì)值的意義，會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，借助數(shù)軸工具，讓學(xué)生能夠更為直觀地理解絕對(duì)值的意義.本節(jié)課借助數(shù)軸的直觀性理解絕對(duì)值及幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并在后續(xù)練習(xí)中加以運(yùn)用.通過(guò)觀察、思考及合作交流，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力，并感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.情境引入中，引導(dǎo)學(xué)生將東西向的路看成一條數(shù)軸，將位置看成數(shù)軸上的點(diǎn).實(shí)際問(wèn)題中比較路程，忽略方向，只看距離，抽象成數(shù)軸上忽略數(shù)的符號(hào)，只考慮點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.最后，又回歸到實(shí)際生活問(wèn)題中，體會(huì)絕對(duì)值在生活中的應(yīng)用，助力學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

參考文獻(xiàn)：

[1]林佩芬.數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微——談“以形助數(shù)”的考查及應(yīng)用[J].考試周刊，2011（72）：4-6.

[2]劉玉丹.初中生數(shù)學(xué)分類討論方法運(yùn)用的個(gè)案研究[D].南充：西華師范大學(xué)，2017.