單元構(gòu)建：讓深度學(xué)習(xí)在運算課堂上真正發(fā)生

【摘要】基于深度學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)能幫助教師找到一盞將運算知識學(xué)習(xí)向運算素養(yǎng)提升、運算能力增強(qiáng)轉(zhuǎn)型的指明燈.本文從整體回顧，梳理運算順序——構(gòu)建運算網(wǎng)絡(luò)；創(chuàng)設(shè)情境，明確運算對象——感知運算法則；類比經(jīng)驗，歸納運算規(guī)律——熟悉運算算理；積累技巧，發(fā)展運算經(jīng)驗——解決拓展運算；深化關(guān)聯(lián)，優(yōu)化運算策略——建立體系等方面進(jìn)行教學(xué)實踐，為教師找到一條有效提升學(xué)生運算知識廣度、深度和高度的教學(xué)新路徑.

【關(guān)鍵詞】單元構(gòu)建；深度學(xué)習(xí)；初中數(shù)學(xué)

1"引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，也指出運算能力是初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，希望在提升學(xué)生運算能力的同時，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)化思考的方式，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科學(xué)習(xí)態(tài)度.

基于深度學(xué)習(xí)，開展數(shù)學(xué)運算單元整體教學(xué)相信能幫助教師找到一盞將運算知識學(xué)習(xí)向運算素養(yǎng)提升、運算能力增強(qiáng)轉(zhuǎn)型的指明燈，能為教師找到一條有效提升學(xué)生運算知識廣度、深度和高度的教學(xué)新路徑.

2"基于深度學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)之需求

2.1"分式運算的主體地位（知識地位）

“分式”是人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十五章的內(nèi)容，雖是教材最后一章的內(nèi)容，但在整個數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中起著承前啟后的作用.“分式”是學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)、整式的加減、一元一次方程、整式的乘法與因式分解等知識的基礎(chǔ)上提出來的，同時它也為學(xué)生八下學(xué)習(xí)函數(shù)和九上學(xué)習(xí)一元二次方程的內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).

2.2"學(xué)生思維發(fā)展需求（學(xué)情分析）

此時八年級學(xué)生已經(jīng)儲備一定的數(shù)學(xué)運算知識、算理和法則，這使得學(xué)生學(xué)習(xí)“分式”單元變得更加容易；此時的學(xué)生正處于運算能力培養(yǎng)的關(guān)鍵時期，學(xué)生的抽象思維、類比思維也得到了發(fā)展，這就為分式運算單元復(fù)習(xí)活動的順利開展奠定了扎實的心理和知識基礎(chǔ).

2.3"分式運算的單元復(fù)習(xí)目標(biāo)

進(jìn)一步鞏固分式的概念、分式的基本性質(zhì)、通分、約分、分式的混合運算以及解分式方程等知識，體會類比和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)運算能力.

復(fù)習(xí)重點：分式四則運算與解分式方程.

2.4"分式運算的單元教學(xué)方法分析

單元教學(xué)時需要從分式的整體視角出發(fā)，對分式整章內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃，鼓勵學(xué)生將分式知識體系自主構(gòu)建起來，有效形成獨特的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

在單元教學(xué)前，教師通過復(fù)習(xí)回顧的環(huán)節(jié)，和學(xué)生一起梳理分式這章的知識結(jié)構(gòu)圖.

在單元教學(xué)中，以一串變式題組，巧妙地將分式的概念、基本性質(zhì)、分式四則運算及解分式方程相關(guān)知識串聯(lián)起來，讓學(xué)生以深度合作、深度探究、深度交流等方式，梳理掌握分式相關(guān)運算技能，理解算理，優(yōu)化算法，提升數(shù)學(xué)運算能力，感悟類比和化歸思想.

在單元教學(xué)后，可以輔以信息技術(shù)手段進(jìn)行互動教學(xué)，評價學(xué)生的探究和運算能力，引導(dǎo)學(xué)生遷移舊知，革新思維體系，豐富知識體系，全面提升其運算能力.

2.5"分式運算的單元教學(xué)主線

本單元的核心問題是：（1）如何理解分式及其性質(zhì)；（2）如何化簡分式；（3）如何優(yōu)化分式及分式方程的運算.為此有兩條學(xué)習(xí)主線：一是感悟類比思想，理解分式的概念、基本性質(zhì)和分式四則運算，掌握其內(nèi)在運算變化，理解算理，優(yōu)化算法.二是鼓勵學(xué)生以深度合作、深度探究、深度交流等方式，歸納解分式方程的方法、步驟及檢驗的要求，體會轉(zhuǎn)化思想.

3"基于深度學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)實踐與探索

通過對分式單元的梳理和整合，讓學(xué)生從大單元和全系統(tǒng)的角度重新認(rèn)識了分式及其相關(guān)運算知識，幫助學(xué)生打通了分式運算前后知識的聯(lián)系，讓已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗為新知識的學(xué)習(xí)奠基，幫助學(xué)生深刻討論、深刻領(lǐng)悟和深刻體會分式及分式方程的運算方法、法則和技巧，深刻感悟數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度運算，以有效提高運算能力.

3.1"整體回顧，梳理運算順序——構(gòu)建運算網(wǎng)絡(luò)

引例1"計算2/x－x2－1/x÷x－1/2，其中x=（－2）－2.

思考"運算順序是什么？運算時涉及哪些知識點？

設(shè)計意圖"通過本題能喚醒學(xué)生對分式混合運算相關(guān)知識的回憶，為接下來的復(fù)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ).在具體進(jìn)行混合運算時，一要先判斷運算順序：先乘除，再加減，有括號的先算括號；二要熟練掌握運算法則，能因式分解的，先因式分解，還要利用分式的基本性質(zhì)對分式進(jìn)行約分和通分，從而順利解題.

3.2"創(chuàng)設(shè)情境，明確運算對象——感知運算法則

從標(biāo)有x，x－1，x2－1，2的卡片中任選兩個，分別放在分子、分母的位置上，你能組成哪些式子？

基于以上式子，思考以下問題：

題組訓(xùn)練1"分式及其基本性質(zhì).

（1）哪些是分式？什么是分式？

（2）2/x－1，x－1/x2－1有意義的條件：_____；

（3）x2－1/x－1=0則x =_____；

（4）2/x－1，x－1/x2－1是最簡分式嗎？

（5）已知分式2x/x+y的值等于3，若把x，y的值都擴(kuò)大到原來的3倍，此時分式值為_____.

設(shè)計意圖"通過題組訓(xùn)練1，讓學(xué)生深刻理解分式的概念、分式有無意義、分式值為0、最簡分式等相關(guān)知識，并在此基礎(chǔ)上理解分式基本性質(zhì)，特別關(guān)注所乘（除）的那個數(shù)（式）要不等于0，這就為提高分式混合運算正確率奠定了基礎(chǔ).

題組訓(xùn)練2"分式方程及其解.

（1）下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（""）

（A）1/1－x=1－2/x.""（B）x－1/7=x/2.

（C）x/π+1=1－x/2."（D）1－x/2=1－x2/5.

（2）要把分式方程2/3y－6－5/3y=0化為整式方程，方程兩邊同乘以_____.

（3）若x=0是分式方程2/x+a=1/x－1的解，則a的值是_____.

設(shè)計意圖"通過題組訓(xùn)練2復(fù)習(xí)了分式方程，去分母和方程的解等相關(guān)知識，為解分式方程的復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.3"類比經(jīng)驗，歸納運算規(guī)律——熟悉運算算理

題組訓(xùn)練3"化簡（x/2）－1－x2－1/x÷x－1/2+x/x+1，并從0，1，2三個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為x的值代入求值.

設(shè)計意圖"本題組的化簡求值訓(xùn)練，其實就是利用分式基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，在遵循運算順序，正確運用運算法則的同時，學(xué)生還需要領(lǐng)悟分式的運算技巧，先化簡再求值，從而有效地提高學(xué)生的運算能力.此外，在進(jìn)行化簡求值時，還需要考慮使分式有意義的條件.

3.4"深化關(guān)聯(lián)，優(yōu)化運算策略——建立體系

梳理一下本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容，思考：復(fù)習(xí)什么內(nèi)容？有什么學(xué)習(xí)技巧？涉及哪些思想方法？

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設(shè)計意圖"通過以上知識梳理，讓學(xué)生理解以6個核心概念、1個重要性質(zhì)、2個關(guān)鍵運算和多個實際問題組成了一個非常緊密的分式知識網(wǎng)絡(luò)，理解分式這一章主要分為分式定義、性質(zhì)、解法和應(yīng)用四個板塊.當(dāng)學(xué)生完整建立了這一知識網(wǎng)絡(luò)，相信就可以非常輕松地解決生活中常見的行程問題、工程問題和銷售問題.

4"基于深度學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)感悟

在分式運算的單元學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過分式的四則運算、求解分式方程等知識的學(xué)習(xí)，掌握了運算法則、運算數(shù)理、正確的運算順序，提升了運算技巧，同時也培養(yǎng)了數(shù)感.可見，分式單元學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富，學(xué)習(xí)主線清晰，思想方法豐盈，學(xué)習(xí)地位重要，有助于幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

為了凸顯分式運算知識的整體性和系統(tǒng)化，在單元復(fù)習(xí)時采用運算串設(shè)計的形式，僅僅通過幾個式子完成了整章分式運算內(nèi)容的復(fù)習(xí)，從給出幾個代數(shù)式，到添加符號使之成為化簡題，再到添加條件完成分式求值和分式方程求解，環(huán)環(huán)相扣，層層深入.單元教學(xué)不僅有效地實現(xiàn)前后運算知識的聯(lián)系，系統(tǒng)規(guī)劃運算內(nèi)容，促進(jìn)運算知識連貫構(gòu)建，匹配學(xué)生運算認(rèn)知水平，強(qiáng)化運算學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)向，還能夠提升深度學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，助力深度學(xué)習(xí)策略創(chuàng)新，促進(jìn)評價與反饋優(yōu)化以及整合運算課程資源與活動，更幫助學(xué)生對整個單元的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法形成一個整體感知，有利于數(shù)學(xué)思想方法的形成和核心素養(yǎng)的發(fā)展.

4.1"深刻理解重組教材，促進(jìn)教材煥發(fā)新活力

開展單元復(fù)習(xí)不能簡單地再現(xiàn)教材內(nèi)容、例題、習(xí)題，可以利用一個章節(jié)結(jié)構(gòu)圖、一組復(fù)習(xí)題，對教材進(jìn)行重新開發(fā)和利用，引導(dǎo)學(xué)生以一個全新角度閱讀全章內(nèi)容，重新審視和反思之前所學(xué)的知識和方法，如本課例在單元復(fù)習(xí)前通過梳理和理解教材，發(fā)現(xiàn)分式這一章是按照分式概念－性質(zhì)－運算－應(yīng)用這條知識主線展開學(xué)習(xí)的，為此在復(fù)習(xí)時圍繞這條知識主線靈活地整合教材和重組教材，展開了一系列高效復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，以促進(jìn)深度復(fù)習(xí)的有效開展，使學(xué)生深刻理解分式核心運算知識主干.

4.2"變式拓展思考關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生感受緊密聯(lián)系

開展單元復(fù)習(xí)應(yīng)積極追求數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)度、貫通度，并注重數(shù)學(xué)知識之間的深度、廣度和高度.本課通過一個貫穿始末的變式題組，把分式概念、分式有無意義、分式值為0、最簡分式、分式基本性質(zhì)、分式方程及其解等知識聯(lián)系和統(tǒng)領(lǐng)起來，并凸顯運算的多樣性和豐富性，本課例中的變式題組設(shè)計不但加深運算知識之間內(nèi)在聯(lián)系，還不斷拓寬運算知識的寬度，讓學(xué)生在整節(jié)課都能感受到運算問題在形式上的關(guān)聯(lián)，問題在解法、變式等角度上的本質(zhì)相通.

4.3"優(yōu)化素養(yǎng)構(gòu)建體系，促進(jìn)知識系統(tǒng)深入理解

深度學(xué)習(xí)追求的是盡可能多地把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引入到課堂上的問題中來，從上面的課例可知，設(shè)計了大量的變式和追問，目的是促進(jìn)學(xué)生的課堂參與、思維“卷入”，從而促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)生和提升，引導(dǎo)學(xué)生對知識的深刻理解和靈活運用，還要凸顯追問的角度和形式的多樣化，高層次和綜合性，以促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展和思想培養(yǎng)，還要幫助學(xué)生回顧復(fù)習(xí)過程，構(gòu)建整個單元的知識網(wǎng)絡(luò)圖，為數(shù)學(xué)思想方法滲透和核心素養(yǎng)提升做好充分準(zhǔn)備.

5"結(jié)語

可見，在剛才單元建構(gòu)的復(fù)習(xí)課上，學(xué)生在類比運算中感受分式基本性質(zhì)的產(chǎn)生，在性質(zhì)探究中了解分式運算本質(zhì)，在感悟運算時確定運算順序，優(yōu)化算法，運用了聯(lián)系的思維，呈現(xiàn)了發(fā)展的觀點，優(yōu)化了分式的知識結(jié)構(gòu)，使深度學(xué)習(xí)目標(biāo)在數(shù)學(xué)課堂得以落地生根，真正提升學(xué)生的抽象能力、運算能力和推理能力，因此要充分發(fā)揮單元教學(xué)的優(yōu)勢，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓學(xué)生真正獲益.

【基金項目：1.廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2024年度重點課題《指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)設(shè)計研究》，課題編號：202315858；2.越秀區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃2022年度立項課題《“雙減”政策下初中數(shù)學(xué)智慧運算作業(yè)優(yōu)化設(shè)計的策略研究》，課題編號：越教類［2022］30號】

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