巧用三角形的中位線解題

【摘要】三角形的中位線是初中幾何中的一個(gè)重要概念，具有獨(dú)特的性質(zhì).本文深入探討如何巧妙運(yùn)用三角形的中位線解決各類幾何問題，通過實(shí)例詳細(xì)闡述其在有關(guān)圓的問題、生活實(shí)際問題以及復(fù)雜幾何圖形中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生深入理解三角形中位線的性質(zhì)，提高解題能力和思維的靈活性.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角形；中位線；解題

三角形的中位線在初中數(shù)學(xué)的幾何領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位，它不僅是一個(gè)基礎(chǔ)的幾何概念，更是解決眾多幾何問題的有力工具.熟練掌握并巧妙運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)，能夠幫助學(xué)生簡(jiǎn)化問題、開拓思路，從而更高效地解決各種幾何難題.

1"用三角形的中位線處理圓的問題

例1"已知：如圖1，⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．請(qǐng)你按照步驟完成以下作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）①連接OP，以O(shè)為圓心，OP長(zhǎng)為半徑作大圓O；②OP交小圓O于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作小圓O的切線交大圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方）；③連接AO交小圓O于M，連接PM．

（1）請(qǐng)證明PM是小圓O的切線；

（2）延長(zhǎng)AO交大圓O于C，連接CN，若OA=2，OM=1，求CN的長(zhǎng)．

解析"（1）證明 "如圖2.

由題意得OA=OP，ON=OM，

因?yàn)锳B為小圓的切線，

所以O(shè)N⊥AB，

所以∠ANO=90°，

在△PMO和△ANO中，

OP=OA∠POM=∠AONOM=ON，

所以△PMO≌△ANO（SAS），

所以∠PMO=∠ANO=90°，

所以O(shè)M⊥PM，

因?yàn)镺M為小圓的半徑，

所以PM是小圓的切線.

（2）連接BC，如圖3.

因?yàn)镺M=ON，OM=1，

所以O(shè)N=1，

因?yàn)锳B為小圓的切線，

所以O(shè)N⊥AB，

因?yàn)锳C為大圓的直徑，

所以∠ABC=90°，

所以AB⊥BC，

所以O(shè)N∥BC，

因?yàn)镺A=OC，

所以O(shè)N是△ABC的中位線，

所以BC=2ON=2，

因?yàn)锳N=√OA2－ON2=√22－12=√3，

所以BN=AN=√3，

在Rt△BCN中，由勾股定理得：

CN=√BC2+BN2=√22+（√3）2=√7，

所以CN的長(zhǎng)為√7．

點(diǎn)評(píng)"本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．可見，運(yùn)用三角形的中位線定理能巧妙處理有關(guān)圓的問題.

2"用三角形的中位線解決生活實(shí)際問題

例2"如圖4是雨傘的結(jié)構(gòu)示意圖．OP是傘柄，OM，AB，CD是傘骨．已知點(diǎn)A，C分別是OM，AB的中點(diǎn)．CD=√7（dm）．點(diǎn)B，D在OP上滑動(dòng)時(shí)，可將雨傘打開或收攏．當(dāng)OP與水平面垂直時(shí)打開雨傘，雨傘能罩住的水平面大小可近似地看成一個(gè)圓．如圖5，當(dāng)雨傘完全打開時(shí)，∠ABD=90°；再將雨傘收攏到如圖6，此時(shí)B′D′=1（dm），且點(diǎn)C′到OP的距離恰好等于圖5中BD的長(zhǎng)．則傘骨AB的長(zhǎng)為_____（dm），設(shè)圖5中能罩住的水平面面積是S1，圖6中能罩住的水平面面積是S2，則S1/S2=_____．

解析"作MN⊥OP于點(diǎn)N，連接AN，如圖5.

因?yàn)椤螦BD=90°，

所以AB∥MN，

因?yàn)辄c(diǎn)A是線段OM的中點(diǎn)，

所以AN=OA=AM，

因?yàn)锳B⊥OP，

所以點(diǎn)B是ON的中點(diǎn)，

所以AB是△OMN的中位線，

在Rt△BCD中，BC=√CD2－BD2=√6，

因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

所以AB=2BC=2√6，

所以MN=2AB=4√6，

過點(diǎn)A和C′作OP的垂線，垂足分別為E′和F′，如圖7，

由題意得C′F′=1，

同理C′F′是△AB′E′的中位線，

所以AE′=2C′F′=2，

同理MN′=2AE′=4，

所以S1/S2=π·（4√6）2/π·42=6.

點(diǎn)評(píng)"利用勾股定理求得BC=√6后，再利用三角形中位線定理求得AB和MN的長(zhǎng)，中位線定理在解決此類問題中發(fā)揮了重要作用.

3"結(jié)語(yǔ)

三角形的中位線性質(zhì)在初中幾何解題中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.巧妙運(yùn)用中位線，可以輕松解決有關(guān)圓的問題、生活實(shí)際問題以及復(fù)雜圖形中的相關(guān)問題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)深入理解中位線的概念和性質(zhì)，注重培養(yǎng)觀察、分析和推理能力，將中位線的知識(shí)與其他幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合，從而提高解決幾何問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).總之，巧用三角形的中位線解題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)重要技能，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并靈活運(yùn)用，在數(shù)學(xué)的海洋中暢游無(wú)阻.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊再發(fā).用三角形中位線解題的常見情形[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2018（04）：13-14+31.

[2]徐彩娣.巧用“中位線”，構(gòu)架解題橋梁[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（08）：77+79.