順其自然，方顯智慧

【摘要】本文聚焦于中考高頻考點(diǎn)“兩線段之和最短問題”，深入剖析利用軸對(duì)稱性質(zhì)、垂線段最短性質(zhì)及勾股定理的解題策略與技巧，旨在顯著提升學(xué)生.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；線段之和；解題技巧

“兩線段之和最小化”為中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn).此類題型考查幾何性質(zhì)掌握及抽象問題圖形化能力.本文整理三種解題技巧：軸對(duì)稱性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理，提升邏輯思維與問題解決能力.

1"利用“軸對(duì)稱的性質(zhì)”解題

在解決“兩線段之和最短問題”時(shí)，深入運(yùn)用軸對(duì)稱的幾何特性，其核心理論依據(jù)為“兩點(diǎn)之間線段最短”的公理.此策略適用于“兩定一動(dòng)”“兩動(dòng)一定”乃至更為復(fù)雜的“兩動(dòng)兩定”場(chǎng)景.

例1"如圖1，已知∠AOB=30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部任意一點(diǎn)，在OA、OB上分別確定點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長最小，并求△PMN的周長最小時(shí)∠MPN的度數(shù)；當(dāng)OP=5時(shí)，求△PMN的周長最小值.

解析"如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連按CD分別交OA、OB于點(diǎn)M、N.

因?yàn)镻和C關(guān)于OA對(duì)稱，

所以O(shè)A垂直平分線段PC，

所以MP= MC.

同理ND=NP，

△PMN的周長為：PM+MN+NP=CM+MN+ND=CD.

由兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)△APM的周長最小，如圖3，連接OP，則OP=5.

因?yàn)镺A垂直平分線段PC，

所以O(shè)C=OP，且PC⊥OA，

所以∠COA=∠POA，∠OCP=OPC.

因?yàn)镸C=MP，

所以∠MCP=∠MPC，

所以∠OCP-∠MCP=∠OPC-∠MPC，

所以∠3=∠1.

同理：OD=OP，∠DOB=∠POB，∠4=2，

所以∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB

=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB=2×30°=60°.

又因?yàn)镺C=OD=OP=5，

所以△OCD是等邊三角形，

所以CD=OC=5，∠3=∠4=60°，

所以∠MPN=∠1+∠2=∠3+∠4=60°+60°=120°.

即△PMN周長最小時(shí)，∠MPN=120°，當(dāng)OP=5時(shí)，周長最小值為5.

2"利用“垂線段最短”解題

垂線段最短原理要求解題者敏銳地識(shí)別問題中的對(duì)稱結(jié)構(gòu)與直線元素，通過構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)并連接相關(guān)線段，來定位使線段和達(dá)到最小的關(guān)鍵點(diǎn).

例2"如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AC、AB上的動(dòng)點(diǎn).連接EP、EF，求EP+EF的最小值.

解析"如圖5，將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)N處，AN交CD于點(diǎn)G，

點(diǎn)P落在CN上的點(diǎn)Q處.連接EQ，則EP=EQ.

連接FQ，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M.

則EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM.

易證△ADG≌△CNG.

設(shè)DG=x，則AG=4-x.

在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理可得，AG2=DG2+AD2，

即（4-x）2=x2+32，

解得x=7/8，

即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.

所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.

所以QM=CQsin=∠GCN+CB=3/2×7/25+3=171/50.

所以EP+EF的最小值為171/50.

3"利用“勾股定理”解題

在涉及直角三角形或可通過構(gòu)造直角三角形來簡化問題的場(chǎng)景中，勾股定理能夠提供直接的邊長關(guān)系信息，幫助判斷或證明線段之間的和差關(guān)系，進(jìn)而求解最短路徑問題.

例3"如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（0，4），B（1，0），P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于射線OP的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC，求線段AC的最小值.

解析"如圖7，連接OC，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

所以O(shè)A=4，OB=1.

因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于OP對(duì)稱，

所以O(shè)P垂直平分線段BC，

所以O(shè)B=OC =1.

在△AOC中，

ACgt;OA-OC=OA-OB=4-1=3，

即ACgt;3.

如圖8，當(dāng)點(diǎn)C落在OA上時(shí)，

AC=OA-OC=OA-OB=4-1=3，

所以AC≥3，

即AC的最小值為3.

4"結(jié)語

在實(shí)際解題過程中，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇并綜合運(yùn)用原理，以提高解題的準(zhǔn)確性.