初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

【摘要】本文探討初中數(shù)學(xué)中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略，針對(duì)典型題型進(jìn)行系統(tǒng)性分析，包括等腰三角形問(wèn)題、相似三角形問(wèn)題和平行四邊形問(wèn)題等.通過(guò)分步解析具體例題，展示了在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中應(yīng)用幾何、代數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的策略，有助于提升學(xué)生在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的解題能力和思維邏輯.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；初中數(shù)學(xué)；解題策略

1"引言

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中幾何部分的一類重要題型，考查學(xué)生對(duì)幾何圖形的理解及動(dòng)態(tài)變化的解析能力.通過(guò)研究點(diǎn)在幾何圖形中運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律，學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)模型的建立和解題策略的應(yīng)用.本文以北師大版初中數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過(guò)一系列例題展示解題步驟和思維過(guò)程，為學(xué)生提供明確的解題策略指引.

2"相關(guān)例題解題策略

2.1"動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形問(wèn)題

例1"如圖1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為長(zhǎng)方形，邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）.點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析"A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）.因此，OC的長(zhǎng)度為4，OA的長(zhǎng)度為10.D是OA的中點(diǎn)，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）.OD的長(zhǎng)度為5.接下來(lái)分兩種情況討論.

（1）當(dāng)OD作為等腰三角形的底邊時(shí)，P點(diǎn)在OD的垂直平分線與BC的交點(diǎn)上，此時(shí)OP和PD的長(zhǎng)度都不等于5，因此此情況不滿足題目條件，可以排除.

（2）當(dāng)OD作為等腰三角形的一條腰時(shí)：

①若O為兩腰交點(diǎn).P點(diǎn)位于以O(shè)為圓心，半徑為5的圓與BC的交點(diǎn)上.在Rt△OPC中，使用勾股定理計(jì)算CP的長(zhǎng)度：CP=√OP2－OC2=√52－42=3.因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）.

②若D為兩腰交點(diǎn)，P點(diǎn)位于以D為圓心，半徑為5的圓與BC的交點(diǎn)上.過(guò)D點(diǎn)作垂直于BC的線，交BC于M點(diǎn)，如圖2所示.

在Rt△PDM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算PM的長(zhǎng)度：PM=√PD2－DM2=√52－42=3.

當(dāng)P點(diǎn)位于M的左側(cè)時(shí)，CP的長(zhǎng)度為5－3=2，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）.

當(dāng)P點(diǎn)位于M的右側(cè)時(shí)，CP的長(zhǎng)度為5+3=8，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4）.

2.2"動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造相似三角形問(wèn)題

例2"如圖3，已知矩形ABCD，長(zhǎng)BC等于12厘米，寬AB等于8厘米，點(diǎn)P、Q分別是AB和BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn).若P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2厘米的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng).問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似？

解析"根據(jù)題意，P點(diǎn)從A出發(fā)沿AB方向以每秒1厘米的速度運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)從B出發(fā)沿BC方向以每秒2厘米的速度運(yùn)動(dòng).在經(jīng)過(guò)x秒后，P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為：PB=8－x（因?yàn)镻是沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)）；Q點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為：BQ=2x（因?yàn)镼是沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)）.

設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，△PBQ與△BDC相似.

由于∠PBQ=∠BCD=90°，

（1）如圖4，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，根據(jù)相似關(guān)系可得：PB/DC=BQ/BC，代入PB和BQ得到8－x/8=2x/12，解得x=24/7.

（2）當(dāng)∠1=∠3時(shí)，同理可知：PB/BC=BQ/DC，代入PB和BQ得到8－x/12=2x/8，解得x=2.

所以，經(jīng)過(guò)24/7秒或2秒，△PBQ與△BCD相似.

2.3"動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形問(wèn)題

例3"如圖5，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)M，點(diǎn)F在AD上，AF=6cm，BF=12cm，∠FBM=∠CBM.點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以2cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到第幾秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

解析"四邊形ABCD是平行四邊形，因此AD∥BC，且AD=BC.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到∠ADB=∠CBD.同時(shí)，由題意給出的條件∠FBM=∠CBM得∠FBM=∠ADB，因此線段FB和FD的長(zhǎng)度相等，即FB=FD=12cm.

已知AF=6cm，則可以求得AD的長(zhǎng)度為18cm.根據(jù)題意，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，因此CE=1/2×BC=1/2×AD=9cm.為了使點(diǎn)P、Q、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只需滿足PF=EQ即可.

設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒（0≤t≤6）時(shí)，點(diǎn)P、Q、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.根據(jù)題意的速度條件可得：點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離為6－t；點(diǎn)Q到點(diǎn)E的距離為〖JB（|〗9 － 2t〖JB）|〗.

因此，可以列出方程6－t=9－2t或6－t=2t－9，解得t=3或t=5.

3"結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的幾類常見題型進(jìn)行分析，歸納了不同題型的解題思路和步驟.研究表明，學(xué)生在掌握動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)需注重圖形特性與運(yùn)動(dòng)規(guī)律的結(jié)合.該研究為初中生提供了應(yīng)對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的系統(tǒng)性解題策略，有助于提高其數(shù)學(xué)解題能力和邏輯思維能力.

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