指向深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)高階思維

【摘要】利用相似三角形計算線段比例關(guān)系是中考數(shù)學(xué)的高頻考點，其難度也較大，此類問題涉及初中平面幾何，著重考查學(xué)生的幾何素養(yǎng)，要求學(xué)生能夠靈活運用輔助線構(gòu)造相似三角形，實現(xiàn)線段間的數(shù)量轉(zhuǎn)換.本文通過兩道典型例題展示此類問題的解題思路.

【關(guān)鍵詞】相似三角形；比例關(guān)系；初中數(shù)學(xué)

1"引言

利用構(gòu)造相似三角形的方式來解決線段比例關(guān)系問題解題方式較為靈活，不只有一種解題方法.相似三角形的常見類型有“8字”型、“A字”型、“手拉手”型等.在解題時，需要根據(jù)題目已知條件構(gòu)造合適的相似模型，以轉(zhuǎn)化問題便于求解.

2"中考數(shù)學(xué)線段比例關(guān)系型問題之“8字”型與“A字”型解題思路

例1"如圖1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG∥AB，BG分別交AD，AC于E，F(xiàn)，若EF/BE=a/b，那么GE/BE=_____.

解題指導(dǎo)

方法1"分別延長GC、AD相交于點T，連接BT，如圖2所示.

因為CG∥AB，

所以∠BAE=∠ETG.

在△ABE與△TGE中，∠BAE=∠ETG，

∠AEB=∠TEG（對頂角相等），

所以△ABE∽△TGE，

所以GE/BE=ET/EA.

在△ABC中，因為AB=AC，

所以△ABC為等腰三角形.

又因為AD⊥BC，

所以∠BAD=∠CAD.

又∠BAE=∠ETC，

所以∠CAD=∠ETC，

所以△ATC為等腰三角形，故可知AC=TC.

又因為AB=AC，

所以AB=TC.

在四邊形ABTC中，AB∥TC且AB=TC，故四邊形ABTC為平行四邊形，

所以AF∥BT，

所以∠EAF=∠ETB.

在△AEF和△TEB中，∠EAF=∠ETB，

∠AEF=∠TEB（對頂角相等），

所以△AEF∽△TEB，

所以GE/BE=ET/EA=BE/EF=b/a.

分析"本法通過延長C平行線構(gòu)造兩個正“8字”型相似三角形，將未知線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知線段比例關(guān)系，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.本題的突破點即為作輔助線構(gòu)造相似三角形，這也是解答此類型題目的難點，學(xué)生需要進(jìn)行深入思考，發(fā)散思維，熟練掌握平面幾何的變換.

方法2"連接EC，如圖3所示.

在△ABC中，因為AB=AC，

所以△ABC為等腰三角形.

又因為AD⊥BC，

所以∠BAD=∠CAD.

在△ABE和△ACE中，AB=AC，

∠BAE=∠CAE，AE=AE，

所以△ABE≌△ACE，

所以BE=CE，∠ABE=∠ACE.

又因為CG∥AB，所以∠ABE=∠G，

所以∠ACE=∠G.

在△EFC和△ECG中，∠FCE=∠G，

∠FEC=∠CEG，

所以△EFC∽△ECG，

所以GE/BE=GE/CE=CE/EF=BE/EF=b/a.

分析"本法是從條件EF/BE=a/b入手，根據(jù)實際情況對BE進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把所求線段比例關(guān)系放進(jìn)一個三角形中，除了“8字”型以外，若想得到兩個三角形相似，發(fā)現(xiàn)EF、BE在同一條直線上，不太容易構(gòu)造相似，但是△ABC是等腰三角形，可以將BE轉(zhuǎn)化為CE，從而發(fā)現(xiàn)GE/BE=GE/CE=CE/EF=BE/EF，問題便可迎刃而解.學(xué)生在審題之后要動腦思考，構(gòu)造相似三角形，發(fā)散思維，找尋最簡便的解題方法.

3"中考數(shù)學(xué)線段比例關(guān)系型問題之“手拉手”型解題思路

例2"如圖4，在等邊△ABC中，D，E分別是BC，AB邊的中點，F(xiàn)是BA延長線上一點，過點D作DG⊥DF交EC的延長線于點G，則AF∶CG=_______.

解題指導(dǎo)"如圖5，連接AD，因為△ABC為等邊三角形，D，E分別是BC，AB邊的中點，

所以AD、CE分別垂直平分BC、AB，

所以∠BAD=1/2∠BAC=30°，

∠BCE=1/2∠BCA=30°，

故∠FAD=∠GCD=150°.

因為∠ADC=∠FDG，

所以∠ADC－∠FDC=∠FDG－∠FDC，

故∠ADF=∠CDG，即得△ADF∽△CDG，

所以AF∶CG=AD∶CD=√3∶1.

分析"本題也需要通過構(gòu)造相似三角形來求解，主要突破點為作輔助線構(gòu)造“手拉手”型的兩個三角形相似，其中定會有一對角是以兩個相等的角減去一個相同的角得出.例如，在本題中便是由∠ADC－∠FDC=∠FDG－∠FDC得出∠ADF=∠CDG.學(xué)生需要掌握此解題技巧，培養(yǎng)高階思維.

4"結(jié)語

通過構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系是一種有效的解決線段比例關(guān)系型問題的方法.運用此方法，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的幾何思維能力，對于如何巧妙地添加輔助線要有獨特的想法，在解題過程中學(xué)生往往需要進(jìn)行深入思考，這能夠促使他們的思維能力得到顯著提升，同時提升解決問題能力.