解鎖代數(shù)推理題型，簡化長度面積算法

【摘要】在中考數(shù)學(xué)中，代數(shù)推理題的題目形式多樣，既包含有傳統(tǒng)類型的數(shù)學(xué)問題，又常常結(jié)合幾何圖形進(jìn)行考查.這類題目不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定要求，更是對他們邏輯思維和問題解決能力的全面檢驗，因此，在解答幾何圖形題時，合理運(yùn)用代數(shù)推理解決問題就顯得十分重要.本文對一道中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的解題過程進(jìn)行綜合分析，揭秘代數(shù)推理題的巧妙解題方式，體會幾何求數(shù)值相關(guān)問題的解題思路以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；動點(diǎn)問題；解題技巧

1"引言

求邊長、面積的幾何題是中考數(shù)學(xué)常見的考查內(nèi)容.面對復(fù)雜多樣的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)其中隱藏的特殊圖形，并利用圖形性質(zhì)以及代數(shù)推理方法來尋求最優(yōu)的解題思路十分考驗學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在運(yùn)用代數(shù)推理方法進(jìn)行計算時，準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想可以幫助學(xué)生在不同類型題目中實現(xiàn)知識的遷移應(yīng)用.下面以一道中考數(shù)學(xué)幾何求數(shù)值相關(guān)問題為例進(jìn)行探究.

2"中考數(shù)學(xué)幾何綜合題解析

例"如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，D為線段BC上一動點(diǎn)，將△ACD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為F，E，DF與AB交于點(diǎn)O.

（1）如圖1，設(shè)EF與AB交于點(diǎn)P，點(diǎn)D到AC與AB兩邊的距離相等.

①DE的長為_______，點(diǎn)O到BC邊的距離為_______；

②求四邊形DOPE的面積；

（2）如圖2，點(diǎn)D運(yùn)動過程中，DE與AB交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GR∥EF交DF于點(diǎn)R，記點(diǎn)O到GR的距離為h1，點(diǎn)O到DB的距離為h2，當(dāng)h1－h(huán)2=1/4時，求CD的長.

解題指導(dǎo)

（1）①求線段DE的長，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知DE=DC，因此我們只需在△ABC中找到或者構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可.此題較簡單，可以對△ABC進(jìn)行單獨(dú)分析（如圖3）.而求點(diǎn)O到邊BC的距離則需要利用三角函數(shù)知識，通過代數(shù)推理解得.

如圖3，過點(diǎn)D作DH垂直于AB于點(diǎn)H，設(shè)CD=x，則CD=DH=x，BD=8－x，所以Rt△ACD≌Rt△AHD，所以AC=AH=6，因為AB=√AC2+BC2=10，所以BH=AB－AH=4，在Rt△BDH中，由勾股定理得BD2=DH2+BH2，所以（8－x）2=42+x2，解得x=3，所以DE=CD=3；

求解點(diǎn)O到BC邊的距離，需要我們過點(diǎn)O作OM⊥CB于點(diǎn)M（如圖4），故點(diǎn)O到BC的距離即為OM.設(shè)OM=y，因為∠CDE=∠DEF=90°，所以BC∥EF，所以得到∠DFE=∠ODM，那么tan∠ODM=tan∠DFE=DE/EF=1/2，所以在Rt△ODM中，DM=OM/tan∠ODM=2y，在Rt△OBM中，BM=OM/tan∠OBM=4/3y，因為BD=5，所以2y+4/3y=5，解得y=3/2，即點(diǎn)O到BC邊的距離為3/2.

分析"解題的關(guān)鍵在于巧妙運(yùn)用直角三角形的性質(zhì).求DE的長度主要運(yùn)用直角三角形的三邊關(guān)系，即勾股定理；求點(diǎn)O到邊BC的距離則是利用求三角函數(shù)知識，這里主要涉及正切函數(shù)，利用相同角的正切值相等，通過代數(shù)及等量關(guān)系進(jìn)行計算.

② 求不規(guī)則四邊形DOPE的面積，一般情況下我們會采用拼湊、割補(bǔ)的方法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形的和差關(guān)系來解決.顯然此題的目標(biāo)四邊形既在△EDF中，又在梯形EPBD中，我們對相關(guān)圖形進(jìn)行單獨(dú)分析（如圖5）可以發(fā)現(xiàn)兩者都只需要減去多余的三角形面積就可以得到目標(biāo)圖形的面積，雖然△OBD的面積能夠很容易算出，但梯形的上底并不好算，所以只能用S△DEF－S△POF.通過證明△BOD與△POF全等，再利用題①的計算結(jié)果和部分結(jié)論就可以得出答案.

由①得，BC∥EF，∠DFE=∠ODM，因為點(diǎn)O到BC邊的距離為3/2，而DE=3，所以點(diǎn)O到PF的距離為3/2，所以點(diǎn)O是BP與DF的中點(diǎn)（平行線分線段成比例），所以O(shè)B=OP，OD=OF，又因為∠POF=∠BOD，所以△BOD≌△POF（SAS），所以BD=PF=5，所以S△POF=1/2×5×3/2=15/4，S四邊形DOPE=S△DEF－S△POF=1/2×3×6－15/4=21/4（和差法求不規(guī)則圖形面積）.

分析"解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)O是BP與DF的中點(diǎn)，并能證明△BOD≌△POF，算出△POF的面積，再通過和差法就能得到目標(biāo)圖形的面積.

（2）在這一問中，D點(diǎn)的位置是不固定的，這無疑需要我們利用代數(shù)推算，而題目給出的新條件有GR∥EF，點(diǎn)O到GR的距離h1減去點(diǎn)O到DB的距離h2為1/4，h1和h2其實類似于上題提到的點(diǎn)O到PF的距離和點(diǎn)O到DB的距離（OM），由平行能得到h1和h2的比例與三角形邊長之比相等，再利用正切函數(shù)與其對應(yīng)的代數(shù)式建立等式關(guān)系，求CD的值.

設(shè)CD=t，則BD=8－t，GD=3/4（8－t），

所以GR=GD·tan∠GDR=GD·tan∠ADC=3/4（8－t）×6/t=9（8－t）/2t，

所以h1/h2=GR/BD=9/2t，所以h1/h1+h2=9/2t+9，

h2/h1+h2=2t/2t+9，

所以h1/h1+h2－h(huán)2/h1+h2=h1－h(huán)2/h1+h2=9－2t/2t+9，

所以h1－h(huán)2=9－2t/2t+9（h1+h2）=1/4，

因為h1+h2=GD=3/4（8－t），

所以9－2t/2t+9×3/4（8－t）=1/4，

解得t1=23/6，t2=9（舍去），

所以當(dāng)h1－h(huán)2=1/4時，CD的長為23/6.

分析"解決此題的關(guān)鍵在于利用直角三角函數(shù)得到GR的代數(shù)式，后通過相似三角形的高之比等于邊長之比得到h1和h2的比例關(guān)系，最后通過代數(shù)推理將h1/h2轉(zhuǎn)化為h1－h(huán)2，這一點(diǎn)不容易想到，是此題的難點(diǎn)所在.

3"結(jié)語

幾何求數(shù)值相關(guān)問題常常會涉及特殊圖形的性質(zhì)、三角函數(shù)、全等相似等知識，是一類綜合性較強(qiáng)的題型，此時如果合理運(yùn)用代數(shù)推理，能夠幫助我們拓寬思路.在解決這一類題型時，需要仔細(xì)審題，明確已知條件和要求證明的結(jié)論之間的聯(lián)系，結(jié)合實際情況進(jìn)行分析，確保每一步推理都嚴(yán)謹(jǐn)無誤.