初中數(shù)學動態(tài)幾何問題解題障礙與對策

【摘要】動態(tài)幾何問題是初中數(shù)學考查的難點和熱點，綜合考查學生的數(shù)學知識和幾何知識，并對學生的解題能力和解題思維提出更高的要求.鑒于當前初中學生在解題中面臨的障礙，靈活開展解題教學已經(jīng)成為一線教師研究的重點.本文簡述初中數(shù)學動態(tài)幾何問題解題中面臨的障礙，并結(jié)合解題實踐提出針對性的解題策略，具備一定的參考價值.

【關(guān)鍵詞】動態(tài)幾何；初中數(shù)學；解題策略

動態(tài)幾何是初中數(shù)學“圖形與幾何”中最為重要的組成部分之一，也是初中數(shù)學考查的熱點.就這一類問題而言，對學生的數(shù)學和幾何基礎(chǔ)知識、抽象思維能力、數(shù)學運算能力等，都提出了更高的要求.就近幾年而言，動態(tài)幾何題目中涉及的知識范圍也越來越廣，命題方向也更加多元化，綜合難度系數(shù)不斷提升.鑒于此，聚焦學生在動態(tài)幾何解題中存在的障礙，優(yōu)化解題教學策略，已成為當前亟待解決的問題.

1"初中數(shù)學動態(tài)幾何問題解題障礙研究

鑒于動態(tài)幾何問題的特點，在常規(guī)的解題教學中，學生常常面臨著“上課聽得懂，課下做不來題”“毫無頭緒”“邏輯思維混亂”等問題.具體來說，當前初中學生在解題中面臨的障礙主要來源于以下方面：

（1）對動態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位.在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，部分學生由于對動態(tài)幾何概念和性質(zhì)理解不夠到位，以至于其在解題中出現(xiàn)了讀不懂題意、無法挖掘出題目中隱含條件的問題.在這種情況下，學生在解題中常常毫無解題思路、找不到等量關(guān)系等；

（2）學生的運算能力有待加強.在動態(tài)幾何問題中，對學生的運算能力提出了更高的要求.但在實際解題中，部分學生常常因為運算能力低下，以至于其在復(fù)雜的運算中常常出現(xiàn)各種各樣的錯誤，如求解析表達式、轉(zhuǎn)換代入計算時出現(xiàn)錯誤[1].

2"初中數(shù)學動態(tài)幾何問題解題策略

2.1"依托函數(shù)性質(zhì)解決問題

最值問題是動態(tài)幾何題目中最為常見的問題.通常，學生在解決這一類型問題時，可從函數(shù)的角度出發(fā)，找到題目之間的數(shù)量關(guān)系，科學設(shè)置參數(shù)，最終根據(jù)所學的一次函數(shù)、二次函數(shù)或者反比例函數(shù)，基于函數(shù)的具體性質(zhì)，得出最終的答案.需要說明的是，在利用這一方法解決問題時，關(guān)鍵要關(guān)注自變量的取值范圍，以免出現(xiàn)錯誤.

例1"如圖1所示，已知矩形ABCD，AB=10cm，AD=6cm，E，F(xiàn)為動點，分別以1cm/s、2cm/s的速度，沿著AD，DC的方向進行運動，當運動ts之后，S△DEF+S△ABE存在最大值，則t的值為（""）

（A）2.""（B）3.""（C）7/2.""（D）11/2.

解析"這是一道常見的動態(tài)幾何題目.針對這一題目的解答，學生需要從函數(shù)的角度出發(fā)，根據(jù)題目中所給出的已知條件，得出DF=2AE，并求出AE的長度，之后即可得出S△DEF，S△ABE和AE之間的關(guān)系，對其進行整理之后，最終形成了一個關(guān)于AE的二次函數(shù)最值問題，繼而結(jié)合所學的函數(shù)問題進行解答.

設(shè)AE的長度為x，

則S△ABE=1/2×AB×AE=5x，

S△DEF=1/2×DE×DF=1/2×（6－x）×2x=（6－x）x=6x-x2，

則S△DEF+S△ABE=6x-x2+5x=－x2+11x（0＜x＜6）.

令y=－x2+11x=－（x－11/2）2+121/4（0＜x＜6），

因此，當x=11/2時，在其取值范圍之內(nèi)，S△DEF+S△ABE存在最大值，

又AE的速度為1cm/s，則t=11/2，故（D）選項是正確的.

2.2"基于圖形性質(zhì)解答問題

在解答初中數(shù)學動態(tài)幾何問題時，依托圖形基本性質(zhì)進行解答是最為常用的一種方法.通常情況下，學生在解答這一問題時，可靈活借助所學的三角形、正方形、圓形、菱形等圖形的性質(zhì)進行解答.但學生在利用這一解題方法時，必須具備極強的圖形思維、抽象思維，還應(yīng)熟練掌握各種圖形的性質(zhì)[2].

例2"如圖2所示，已知A的坐標為（-1，0），點B在直線y=x上運動，已知直線y=x與x軸的夾角為45°，當線段AB最短時，則點B的（""）

（A）（0，0）.""""（B）（√2/2，-√2/2）.

（C）（-1/2，-1/2）.""（D）（-√2/2，-√2/2）.

解析"這一動態(tài)幾何題目，具備一定的綜合性.學生在認真分析和挖掘題目隱含條件的過程中，即可發(fā)現(xiàn)：過A點作AP⊥OB，∠AOP=45°，進而得到一個等腰直角三角形△PAO，之后根據(jù)“點到直線的距離中垂線段最短”這一圖形性質(zhì)進行解答.

過A點作AP⊥OB，因為A的坐標為（-1，0），OA=1，點B在直線y=x上運動，得知∠AOP=45°，因此△PAO為等腰直角三角形.此時，學生即可根據(jù)“垂線段最短”圖形性質(zhì)得出：當B，P兩點重合時，AB距離最短，即B的坐標為（-1/2，-1/2）.因此（C）選項是正確的.

2.3"基于圖形關(guān)系解決問題

在解答動態(tài)幾何問題時，學生常常可借助角度、線段之間的關(guān)系，或者是三角形相似、三角形全等、線段平行等關(guān)系進行解答.通常，學生在利用這一方式解決問題時，必須熟練掌握圖形的基本性質(zhì)，并基于題目分析，正確作輔助線，進而完成題目的解答.

例3"如圖3所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A，C分別在x，y軸上，當A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動的過程中，點B到原點的最大距離是多少？

解析"這一題目難度系數(shù)比較小，學生只要讀懂題目，找出其中的隱含條件，即可從圖形關(guān)系的角度出發(fā)，通過作輔助線的方式，利用“三角形三邊關(guān)系”這一圖形關(guān)系進行解答.

取AC的中點D，連接OD，BD，

則OD=CD=1/2AC=1/2×4=2.

在Rt△BCD中，

BD=√BC2+CD2=√22+22=2√2，

因此，當O，D，B三點共線時，B到原點O的距離最大，為2+2√2.

3"結(jié)語

綜上所述，動態(tài)幾何題目作為高頻考點和難點，對學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握、數(shù)學思維、綜合能力均提出了更高的要求.鑒于當前學生在解題中面臨的困境，教師必須基于動態(tài)幾何題目的特點，科學選擇針對性的題目，帶領(lǐng)學生從多個角度探究尋解題方案，以便于學生在解題實踐中，真正提升其解題能力.

參考文獻：

[1]王強.初中數(shù)學動態(tài)幾何問題的解題技巧[J].數(shù)理天地（初中版），2024（21）：16-17.

[2]關(guān)麗娟.初中數(shù)學動態(tài)幾何問題常用解題技巧分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（20）：56-57.

[3]焦多琛.初中動態(tài)幾何教學難點問題與對策[J].基礎(chǔ)教育論壇，2022（09）：50-51.