“構(gòu)造輔助圓”在初中平面幾何解題中的應(yīng)用

【摘要】“構(gòu)造輔助圓”是初中數(shù)學(xué)平面幾何解題的重要工具，可以將各種幾何難題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，并利用圓的性質(zhì)求解，這種方法能夠簡(jiǎn)化解題過程，提升解題效率.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

平面幾何作為初中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵組成部分，既是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn).在解決平面幾何問題時(shí)，需要運(yùn)用多種解題技巧和方法，其中，“構(gòu)造輔助圓”是一種非常有效的解題策略，它能夠?qū)?fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的問題，并利用圓的幾何特性進(jìn)行求解.本文深入分析了“輔助圓”在線段長(zhǎng)度求解和角度求解中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生更好地掌握解題技巧，降低解題難度.

1"“輔助圓”在線段長(zhǎng)度求解中的應(yīng)用

在求解線段長(zhǎng)度的問題時(shí)，可以通過利用具有相同端點(diǎn)的線段來構(gòu)造輔助圓，即以該端點(diǎn)所在位置為圓心，選取與該線段長(zhǎng)度相等或?yàn)槠湟话氲木€段作為直徑或半徑，構(gòu)建輔助圓后，根據(jù)圓的基本性質(zhì)來求解線段的長(zhǎng)度[1].

例1"如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，且CF=4，CE=2，若點(diǎn)M，N分別在線段AB和AD上運(yùn)動(dòng)，P為線段MF上的點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持∠PEB=∠PFC，則線段PN的最小值為_____．

解析"結(jié)合題干信息需要先證明C、E、P、F四點(diǎn)共圓，取EF的中點(diǎn)O為圓心，以EF為直徑作⊙O，如圖1所示，連接OP和ON，可知當(dāng)ON最小，且O、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，PN最小.

因?yàn)椤螾EB=∠PFC，∠PEC+∠PEB=180°，所以∠PEC+∠PFC=180°．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以∠BCD=90°，∠EPF=360°－180°－90°=90°，

因?yàn)椤鱁FC和△EPF為直角三角形，取EF的中點(diǎn)為O，所以O(shè)P=OE=OF=OC，所以C、E、P、F四點(diǎn)共圓．

因?yàn)镻N≥ON－OP，OP為定值，所以當(dāng)ON最小，且O、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，PN最?。?/p>

過O作OH⊥BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HO交⊙O于P′，交AD于N′，而CE=2，所以EH=1/2CE=1．

因?yàn)椤螮CF=90°，而CF=4，所以EF=√CE2+CF2=2√5，所以O(shè)E=√5．

因?yàn)椤螼HE=90°，所以O(shè)H=√OE2－EH2=√5－1=2，所以O(shè)N′=HN′－OH=CD－OH=6－2=4，所以P′N′=ON′－OP′=4－√5．

2"“輔助圓”在角度求解中的應(yīng)用

在求解平面幾何中的角度問題時(shí)，可以將公共點(diǎn)作為頂點(diǎn)，構(gòu)造三角形的外接圓.在構(gòu)建輔助圓的過程中，需要清晰地明確三角形與輔助圓之間的幾何關(guān)系.

例2"已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，△DEB是等邊三角形．

如圖2，若∠ACB=60°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，且點(diǎn)E、D、C三點(diǎn)共線，連接DC，DA，當(dāng)DC/AD的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠DAC的值．

解析"根據(jù)△DEB為等邊三角形，可以得出∠BDC=120°，推導(dǎo)出點(diǎn)D的軌跡是△BDC的外接圓，如圖3所示.

因?yàn)椤鰾DE為等邊三角形，所以∠BDE=60°．因?yàn)辄c(diǎn)E、D、C三點(diǎn)共線，所以∠BDC=120°，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，過B、D、C作圓，延長(zhǎng)AD交圓于點(diǎn)P，連接CP、BP，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，證明△ACD∽△APC，得出比例式DC/AD=PC/AC，因?yàn)锳B=AC，∠ACB=60°，所以△ABC為等邊三角形．因?yàn)椤螪BC+∠DCB=60°，∠DCB+∠ACD=60°，所以∠DBC=∠ACD．因?yàn)椤螦=∠A，所以△ACD∽△APC．當(dāng)DC/AD最大時(shí)，即PC/AC的值最大．因?yàn)锳C為定值，所以當(dāng)PC為直徑時(shí)為最大值.所以∠PDC=∠PBC=90°，所以∠ADC=∠ACP=90°．因?yàn)椤螧DC=120°，所以∠BPC=60°，所以tan∠DAC=PC/AC=PC/BC=2√3/3.

3"結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)“構(gòu)造輔助圓”在平面結(jié)合解題中的應(yīng)用展開討論，發(fā)現(xiàn)其在解幾何問題中的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生更好地挖掘集合圖形中隱藏條件，將原本分散、復(fù)雜的幾何關(guān)系集中起來，簡(jiǎn)化解題過程，提升解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]許芝娟.“圓”來如此簡(jiǎn)單——利用輔助圓求線段的最值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2023（22）：7-9.