在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

摘 要：落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育工作，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，又能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平和課堂教學(xué)效果。然而，由于教師數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有待提升，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知尚不充分，使得高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)效果未能達(dá)到預(yù)期。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)明確建模教學(xué)的要求，基于教學(xué)內(nèi)容的分析確定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，通過問題分析與研究假設(shè)的提出、數(shù)據(jù)收集與變量間的關(guān)系分析、模型的構(gòu)建與模型合理性的檢驗(yàn)、模型的應(yīng)用與結(jié)果呈現(xiàn)等環(huán)節(jié)有效落實(shí)課堂教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)策略

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0091-06

2014年9月，國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》，開啟了新一輪高考改革，廣西則于2021年啟動新課程、新教材、新高考改革。新高考數(shù)學(xué)試題摒棄了傳統(tǒng)的命題框架，以靈活且科學(xué)的方式設(shè)定試題內(nèi)容與順序，進(jìn)一步強(qiáng)化了基礎(chǔ)知識的考查。同時(shí)，數(shù)學(xué)試題融入了綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的要求，突出對理性思維的考查，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的作用，旨在全面考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng)。改革的目的是引領(lǐng)一線教師將教學(xué)重心由單純解題技巧的總結(jié)，轉(zhuǎn)向全面培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，充分重視思維能力、探究能力和獨(dú)立解決問題能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模在攻克實(shí)際問題、推演科學(xué)規(guī)律及制定決策中有著關(guān)鍵作用，已成為現(xiàn)代公民不可或缺的基本素質(zhì)。將數(shù)學(xué)建模正式列入學(xué)科必修內(nèi)容，是我國高中數(shù)學(xué)課程發(fā)展中的第一次［1］13。數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動，是落實(shí)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作的重要載體。提升高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，一方面能提高學(xué)生的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，為學(xué)生提供一個(gè)“現(xiàn)實(shí)的出口”，使學(xué)生能經(jīng)歷完整、系統(tǒng)地從知識學(xué)習(xí)到應(yīng)用的過程，滿足學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的需求［1］13；另一方面能促進(jìn)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，使之貼合教育改革發(fā)展的趨勢。然而，當(dāng)前數(shù)學(xué)建模教學(xué)面臨教師素養(yǎng)不足、教學(xué)資源匱乏和學(xué)生參與度不高等問題。眾多教師對數(shù)學(xué)建模教學(xué)頗為陌生，在教學(xué)中往往傾向于讓學(xué)生解答那些現(xiàn)成的、條件設(shè)定明確的題目，導(dǎo)致學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，教學(xué)環(huán)境和教學(xué)資源的局限也導(dǎo)致學(xué)生無法深入?yún)⑴c建?；顒樱辉u價(jià)機(jī)制的不完善，也很難充分評估學(xué)生在解決實(shí)際問題和創(chuàng)新思維方面的表現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的相關(guān)要求

（一）精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)建模教學(xué)的五個(gè)關(guān)鍵要素，培育學(xué)生的建模素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，使他們能在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，進(jìn)而構(gòu)建模型、確定參數(shù)、進(jìn)行計(jì)算求解，并檢驗(yàn)結(jié)果、對模型進(jìn)行改進(jìn)，最終解決實(shí)際問題，積累豐富的實(shí)踐活動經(jīng)驗(yàn)。在開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)把握好以下五個(gè)關(guān)鍵要素：①活動內(nèi)容。解決一個(gè)有意義的現(xiàn)實(shí)問題，所選的問題應(yīng)該是真實(shí)的、具體的，用學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)知識可以解決的。②活動性質(zhì)。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思想方法，構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型從而解決實(shí)際問題。③活動形式。以課題研究的形式開展活動，包括選題、開題、做題、結(jié)題等四個(gè)環(huán)節(jié)。④活動過程。數(shù)學(xué)建?；顒又卦凇盎顒印?，即以學(xué)生活動為主，與課題研究四個(gè)環(huán)節(jié)相對應(yīng)的教學(xué)活動有確定課題、撰寫開題報(bào)告、構(gòu)建模型解決問題、撰寫研究報(bào)告、研究報(bào)告交流與評價(jià)等。⑤活動結(jié)果。學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)建?；顒拥娜^程，在獲得研究成果的同時(shí)轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，能以多樣化的方式開展學(xué)習(xí)與實(shí)踐活動，從而逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展［1］15。

（二）引導(dǎo)學(xué)生深刻理解模型的建構(gòu)邏輯，提升學(xué)生的建模能力

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模既需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，又需要對模型的建構(gòu)邏輯有深刻的理解。首先，學(xué)生必須了解具體問題中所有重要的變量要素有哪些；其次，學(xué)生需要考慮如何將這些要素以數(shù)學(xué)的形式關(guān)聯(lián)起來，這將涉及確定變量之間是否存在線性關(guān)系、非線性關(guān)系或其他復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系；最后，學(xué)生需要確定模型中的具體數(shù)值（如圖1所示）。簡而言之，數(shù)學(xué)建模即從抽象要素出發(fā)，設(shè)計(jì)模型結(jié)構(gòu)，再精確設(shè)定參數(shù)值，實(shí)現(xiàn)由抽象到具體的轉(zhuǎn)化。其間的每一步都不可忽視，唯有如此，構(gòu)建的模型方能切實(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，為決策提供堅(jiān)實(shí)可靠的依據(jù)。

高中數(shù)學(xué)模型主要分為兩類：一是具有明確依賴關(guān)系和內(nèi)部機(jī)理問題的數(shù)學(xué)建模；二是內(nèi)部機(jī)理未知問題的數(shù)學(xué)建模。建立函數(shù)模型和統(tǒng)計(jì)模型是這兩類問題數(shù)學(xué)建模的典型代表。統(tǒng)計(jì)建模的價(jià)值在于，學(xué)生在面對未知事物內(nèi)在規(guī)律時(shí)，可以通過數(shù)據(jù)收集與統(tǒng)計(jì)分析，揭示其最可能的運(yùn)行模式，從而為決策提供堅(jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)支撐。通過高中數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以有效改變學(xué)習(xí)方式，提升實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。此外，數(shù)學(xué)建?；顒舆€能使學(xué)生收獲五種重要能力：一是學(xué)會從背景中發(fā)現(xiàn)和提出問題，問題源于對現(xiàn)實(shí)的改進(jìn)；二是學(xué)會建立、選擇合適的模型，知道模型的意義和作用；三是學(xué)會運(yùn)用信息技術(shù)工具求解模型，知道統(tǒng)計(jì)模型中各參數(shù)的含義和作用；四是學(xué)會用數(shù)據(jù)說話，會用統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行推斷、預(yù)測；五是學(xué)會合作與交流，會分工協(xié)作開展建?；顒?，能進(jìn)行成果分享與交流。

（三）建立科學(xué)的課堂評價(jià)機(jī)制，發(fā)揮評價(jià)的激勵(lì)、導(dǎo)向功能

課堂評價(jià)是教師能夠迅速把握學(xué)生學(xué)習(xí)動態(tài)的重要方式；同時(shí)，它能幫助學(xué)生識別學(xué)習(xí)障礙，指明改進(jìn)學(xué)習(xí)方法的道路。作為促進(jìn)教與學(xué)的核心要素，課堂評價(jià)應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)流程。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師可通過課堂觀察、隨堂測試等方式評估學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)。評價(jià)數(shù)學(xué)建?；顒討?yīng)圍繞“四基”“四能”和“三會”展開，重點(diǎn)考查學(xué)生提出問題的多元性和差異性，以此判斷學(xué)生是否具備以數(shù)學(xué)視角審視世界的能力。在數(shù)學(xué)建模活動中，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度分析情境并建立數(shù)學(xué)模型，從而判斷他們是否能用數(shù)學(xué)思維理解世界［2］21，并用數(shù)學(xué)語言描述世界。在成果展示與交流環(huán)節(jié)，課堂評價(jià)應(yīng)關(guān)注小組匯報(bào)和討論的過程，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)觀點(diǎn)、論證時(shí)是否條理清晰、邏輯嚴(yán)密。數(shù)學(xué)建?；顒拥某晒ǔＪ茄芯繄?bào)告，教師可以通過學(xué)生間的互評來進(jìn)行教學(xué)評價(jià)，讓小組成員之間相互評價(jià)，同時(shí)教師根據(jù)數(shù)學(xué)建模報(bào)告對各小組作出評估。

（四）提升教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力，保障課堂教學(xué)質(zhì)量的提高

隨著教育信息化和智能化的發(fā)展，信息技術(shù)已經(jīng)成為促進(jìn)教育教學(xué)現(xiàn)代化的關(guān)鍵技術(shù)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要內(nèi)容，要求教師具備較強(qiáng)的信息技術(shù)應(yīng)用能力，以適應(yīng)新形勢下的教學(xué)需求和學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的變化。數(shù)學(xué)建模涉及大量的數(shù)據(jù)分析和模型驗(yàn)證，可借助多種軟件來提高效率和準(zhǔn)確性，因此教師要掌握專業(yè)的數(shù)據(jù)分析軟件，如MATLB、SAS、Excel、SPSS、幾何畫板、LINGO等，能夠運(yùn)用這些軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)的可視化、統(tǒng)計(jì)分析、相關(guān)性分析等，幫助學(xué)生從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和問題，為模型的建立和優(yōu)化提供參考依據(jù)，從而加深學(xué)生對建模過程的理解。使用軟件能夠減少煩瑣的手工計(jì)算，更快、更準(zhǔn)確地完成建模過程中的各項(xiàng)任務(wù)，因此提升教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力，不僅是為了提高課堂教學(xué)的質(zhì)量和效果，而且是順應(yīng)教育信息化發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際問題解決能力和創(chuàng)新思維的必然需求。

二、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐

數(shù)學(xué)建模教學(xué)地位和作用已經(jīng)受到教育界的廣泛關(guān)注，如2024年廣西普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)優(yōu)秀課例評比的指定課題之一便是《數(shù)學(xué)建?！⒔y(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測》。因此，筆者就以此教學(xué)實(shí)踐為例，談一談如何在課堂教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，提升師生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

（一）基于教學(xué)內(nèi)容的分析確定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)

“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”這一內(nèi)容安排在2019年人教A版普通高中《數(shù)學(xué)·選擇性必修》第三冊的最后一課，此專題活動綜合性強(qiáng)，涵蓋了高中數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)、函數(shù)及信息技術(shù)應(yīng)用等多個(gè)內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門學(xué)科，其研究對象主要是隨機(jī)現(xiàn)象，建立統(tǒng)計(jì)模型是探索隨機(jī)性中的規(guī)律性的重要手段。學(xué)生在學(xué)習(xí)高中統(tǒng)計(jì)知識后，通過建模實(shí)踐，運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，從而深化對統(tǒng)計(jì)思想和方法的理解，提升數(shù)據(jù)分析能力與數(shù)學(xué)建模能力，并培養(yǎng)以統(tǒng)計(jì)視角洞察現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng)?；谝陨戏治?，筆者將本課的教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置為：一是統(tǒng)計(jì)問題的提出與回歸模型的建立；二是數(shù)學(xué)建?；顒拥年P(guān)鍵環(huán)節(jié)，統(tǒng)計(jì)建模的實(shí)施步驟；三是統(tǒng)計(jì)建模活動的成果呈現(xiàn)與交流評價(jià)。

根據(jù)此前的教學(xué)，學(xué)生已學(xué)習(xí)了高中統(tǒng)計(jì)的全部知識，初步掌握了撰寫研究報(bào)告的基本要求，并了解數(shù)學(xué)建模的基本流程（如圖2所示）。但是學(xué)生在如何將統(tǒng)計(jì)知識運(yùn)用于數(shù)學(xué)建模活動之中，缺乏必要的經(jīng)驗(yàn)和能力。特別是在線性回歸、線性模型的分析與應(yīng)用上，學(xué)生還缺少相應(yīng)的參數(shù)檢驗(yàn)的方法；對復(fù)雜事件，學(xué)生也缺乏將內(nèi)部機(jī)理不清楚的實(shí)際問題抽象為統(tǒng)計(jì)問題的經(jīng)驗(yàn)和能力，以及缺乏數(shù)據(jù)收集的有效方法?；谝陨戏治?，筆者將本課的難點(diǎn)設(shè)置為：一是從實(shí)際背景中提煉統(tǒng)計(jì)問題；二是統(tǒng)計(jì)建模活動的步驟和方法；三是回歸方程中參數(shù)的確定；四是統(tǒng)計(jì)軟件的運(yùn)用。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)與常規(guī)教學(xué)均應(yīng)遵循素養(yǎng)導(dǎo)向，但在細(xì)節(jié)上有所不同。特別是知識與技能方面，數(shù)學(xué)建模教學(xué)不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的鞏固與應(yīng)用，而且強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷問題解決的過程［2］20。因此，筆者將“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”建?；顒拥慕虒W(xué)目標(biāo)設(shè)置為：一是能夠針對實(shí)際問題進(jìn)行深入背景分析，并提出恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)研究課題（開題與選題階段）；二是根據(jù)研究的問題選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占瘮?shù)據(jù)，能根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立回歸模型，能求解所建立的統(tǒng)計(jì)模型（答題階段）；三是能運(yùn)用回歸模型解決實(shí)際生活的預(yù)測問題，能對模型進(jìn)行評估和修訂，能撰寫統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告，并能進(jìn)行交流和評價(jià)（結(jié)題階段）；四是通過統(tǒng)計(jì)建?；顒樱M(jìn)一步加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)思維，掌握運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的基本原理和方法，提高運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思想方法解決實(shí)際問題的能力。

（二）基于學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成開展教學(xué)活動

環(huán)節(jié)一：問題分析與研究假設(shè)的提出

統(tǒng)計(jì)建模中學(xué)生感到困難的問題之一是從實(shí)際背景中提煉統(tǒng)計(jì)問題，對現(xiàn)實(shí)問題的抽象是統(tǒng)計(jì)建模的起點(diǎn)。教師可以構(gòu)思一個(gè)貼近生活的實(shí)際問題場景，引導(dǎo)學(xué)生深入分析問題背景中的相關(guān)因素，清晰界定研究的對象與目的，并鼓勵(lì)學(xué)生提出合理的研究假設(shè)，從而為統(tǒng)計(jì)模型的構(gòu)建奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教學(xué)中，筆者參考2019年人教A版普通高中《數(shù)學(xué)·選擇性必修》內(nèi)容，設(shè)計(jì)了以下教學(xué)情境。大氣污染物PM2.5（大氣中直徑小于或等于25μm的顆粒物）的濃度超過一定限度會影響人的身體健康。為研究PM2.5的濃度是否受到汽車流量、氣候狀況等因素的影響，研究人員選擇了24個(gè)社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相近的城市，在每個(gè)城市選擇一個(gè)交通點(diǎn)建立監(jiān)測點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)24小時(shí)內(nèi)過往的汽車流量（單位：輛），同時(shí)在低空相同的高度測定每個(gè)監(jiān)測點(diǎn)該時(shí)間段的平均氣溫（單位：℃）、風(fēng)速（單位：m/s）、空氣濕度（絕對濕度，單位：g/m3）以及空氣中PM2.5的平均濃度（單位：μg/m3），得到如下頁表1所示數(shù)據(jù)。

根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，影響空氣中PM2.5濃度的主要因素有汽車尾氣、燃料燃燒、氣溫、風(fēng)速、空氣濕度等。因此，筆者指導(dǎo)學(xué)生全面梳理相關(guān)因素，逐一列出并深入分析各因素間的內(nèi)在聯(lián)系，從中甄選出關(guān)鍵要素，進(jìn)而提出科學(xué)假設(shè)：汽車尾氣排放與PM2.5濃度之間存在顯著相關(guān)性。

環(huán)節(jié)二：數(shù)據(jù)收集與變量間的關(guān)系分析

研究假設(shè)是理論上的猜測，教師需要考慮提出的假設(shè)是否符合實(shí)際，思考如何證明其合理性，以及需要哪些數(shù)據(jù)支撐這些假設(shè)，而數(shù)據(jù)收集和關(guān)系分析是將假設(shè)轉(zhuǎn)化為模型的必要路徑。氣溫、濕度及風(fēng)速作為自然因素，可通過氣象監(jiān)測中心獲取相關(guān)數(shù)據(jù)。至于汽車尾氣，由于直接收集難度較大，筆者采取模型假設(shè)的方式，對問題進(jìn)行合理簡化，以確保模型的實(shí)用性。假設(shè)每一輛汽車排出的尾氣量是相等的，可以根據(jù)監(jiān)測所得汽車流量來估計(jì)尾氣排放量。根據(jù)表1中24個(gè)城市的公開數(shù)據(jù)，通過可視化工具分析變量間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可能的趨勢，以此確定統(tǒng)計(jì)模型的形式。如，將汽車流量和PM2.5的濃度看成成對的樣本數(shù)據(jù)，汽車流量看作自變量，PM2.5的濃度看作因變量繪制散點(diǎn)圖（如圖3所示）。我們通過觀察散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，PM2.5濃度隨著汽車流量的增加，呈線性增長趨勢。而對某些城市，盡管它們的汽車流量數(shù)據(jù)接近，但是PM2.5濃度卻有很大差別。這說明PM2.5的濃度除了受到汽車流量的影響，還受到許多其他因素（如風(fēng)速、空氣溫度、濕度等因素）的影響。因此，PM2.5濃度與汽車流量之間是一種相關(guān)關(guān)系。通過R軟件計(jì)算汽車流量與PM2.5濃度計(jì)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)，表明樣本數(shù)存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，這為模型的構(gòu)建提供了明確的方向。

環(huán)節(jié)三：模型的構(gòu)建與模型合理性的檢驗(yàn)

首先，模型的構(gòu)建（如圖4所示）。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量之間的相關(guān)關(guān)系，并能夠?qū)⑵溆脭?shù)學(xué)形式建立模型時(shí)，這一過程既能幫助他們掌握數(shù)學(xué)知識和方法，又能有效培養(yǎng)他們在理解復(fù)雜現(xiàn)象、分析和解決問題、評估模型、批判性思考、創(chuàng)新和跨學(xué)科應(yīng)用等方面的能力，為他們未來在各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和決策提供了堅(jiān)實(shí)的能力基礎(chǔ)。學(xué)生根據(jù)回歸分析知識，可以構(gòu)建一元線性回歸模型[Y=bx+a+eE（e）=0，D（e）=σ2]，模擬汽車流量對PM2.5濃度的影響［3］，并把其他因素作為隨機(jī)誤差，然后通過最小二乘法計(jì)算模型參數(shù)a，b。但由于樣本數(shù)據(jù)復(fù)雜，較難實(shí)際操作，學(xué)生可借助信息技術(shù)工具進(jìn)行計(jì)算。筆者通過現(xiàn)場演示在R軟件中輸入：1m（w$PM2.5濃度～w$汽車流量），運(yùn)行后可算出截距參數(shù)（即a估計(jì)值）為[a=-99.69]，斜率參數(shù)（即b的估計(jì)值）為[b=138.60]。得到一元線性回歸方程為[y=138.60x-99.60]。由[b=138.60]研究顯示，隨著汽車流量的增加，空氣中PM2.5的濃度呈現(xiàn)線性增長趨勢。例如，在24個(gè)城市的研究中，汽車流量每增加100輛，PM2.5濃度預(yù)計(jì)增加13.86μg/m3。這一發(fā)現(xiàn)支持了通過控制汽車流量來預(yù)測和降低大氣中PM2.5濃度的決策。

其次，回歸模型的檢驗(yàn)。對上述得到的一元線性回歸模型，我們需要檢驗(yàn)其合理性與可靠性，回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)可以幫助學(xué)生判斷每個(gè)自變量對因變量的影響是否顯著。在多元回歸模型中，通過比較不同自變量的回歸系數(shù)及其顯著性，學(xué)生可以了解各個(gè)自變量對因變量影響的相對大小和重要程度，從而確定哪些因素是主要影響因素、哪些是次要影響因素，為進(jìn)一步研究提供依據(jù)。教學(xué)中，通常使用F檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)來評估模型的有效性和參數(shù)的顯著性。

在R語言中，通過T檢驗(yàn)可以評估汽車流量對PM2.5濃度影響的顯著性。T檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于比較兩組樣本均值是否有顯著差異，其結(jié)果有助于學(xué)生理解變量間的相關(guān)性。設(shè)定原假設(shè)為“回歸系數(shù)為零”，計(jì)算得到的T值與臨界值進(jìn)行比較，以判斷汽車流量是否顯著影響PM2.5濃度。根據(jù)T檢驗(yàn)結(jié)果，若回歸系數(shù)顯著不為零，可以得出結(jié)論：汽車流量對PM2.5濃度有顯著影響。這一結(jié)論與專家觀點(diǎn)一致，機(jī)動車對PM2.5的影響度在10.00%—50.00%之間。此外，具體研究也表明，在非采暖期，機(jī)動車排放的PM2.5是天津市道路兩側(cè)環(huán)境空氣中顆粒物污染的主要來源之一。F檢驗(yàn)則用于評估整體回歸模型的擬合優(yōu)度，通過分析車流量與PM2.5濃度之間的關(guān)系，判斷車流量是否對PM2.5濃度有顯著的共同影響。通過計(jì)算F值并與臨界值進(jìn)行比較，如果F值顯著，表明該模型整體有效，回歸方程能夠較好地預(yù)測PM2.5濃度。

在通過T檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)確認(rèn)模型的有效性后，教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)回歸模型的優(yōu)化和修正。此時(shí)，教師可檢查回歸模型的殘差，即實(shí)際觀測值與擬合值的差異，如果殘差的分布表現(xiàn)出某種模式（非隨機(jī)分布），說明線性模型可能不適用。另外，在具體實(shí)踐中，盡管課本沒有引入非線性模型進(jìn)行比較，但學(xué)生可以通過殘差圖的分析，發(fā)現(xiàn)模型可能需要進(jìn)一步修正和完善。

環(huán)節(jié)四：模型的應(yīng)用與結(jié)果呈現(xiàn)

在該環(huán)節(jié)教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)回歸模型的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)解釋，并結(jié)合實(shí)際問題提出建議。如，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問題：①我國規(guī)定空氣中PM2.5濃度的安全標(biāo)準(zhǔn)為年平均濃度35μg/m3，24小時(shí)平均濃度75μg/m3，那么當(dāng)汽車流量為1 300輛和2 300輛時(shí)，計(jì)算PM2.5的濃度并判斷是否需要采取預(yù)警和干預(yù)措施？②某城市為使PM2.5濃度平均值在60—120μg/m3，擬對汽車流量作適當(dāng)控制，請用所得的回歸模型，計(jì)算該城市24小時(shí)的汽車流量的取值范圍，并提出政策建議。根據(jù)問題，學(xué)生能夠利用多元回歸模型，根據(jù)特定的汽車流量預(yù)測PM2.5濃度的變化趨勢，為交通管理或環(huán)境保護(hù)政策提供數(shù)據(jù)支持。

三、“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”一課教學(xué)反思

本課以“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”為主題，圍繞PM2.5濃度與汽車流量之間的相關(guān)關(guān)系展開，構(gòu)建并優(yōu)化回歸模型，讓學(xué)生掌握統(tǒng)計(jì)建模的核心方法，同時(shí)培養(yǎng)其數(shù)據(jù)分析能力與邏輯推理能力。在課堂實(shí)施中，教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體，注重知識應(yīng)用與核心素養(yǎng)提升，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成。然而，在回顧教學(xué)過程時(shí)，仍有一些值得總結(jié)與改進(jìn)的地方。以下，筆者將從教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的成功經(jīng)驗(yàn)及不足之處展開反思，為未來教學(xué)優(yōu)化提供參考。

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的亮點(diǎn)

一是目標(biāo)明確且注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”是以數(shù)據(jù)驅(qū)動為核心，通過構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型解決實(shí)際問題的課堂，教學(xué)目標(biāo)聚焦于學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維的培養(yǎng)與實(shí)際應(yīng)用能力的提升。在本課中，筆者借助具體案例分析，引導(dǎo)學(xué)生深入理解統(tǒng)計(jì)建模的基本方法，并學(xué)會在實(shí)際問題中靈活應(yīng)用統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與預(yù)測。在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握了統(tǒng)計(jì)模型的核心概念及其構(gòu)建方法，深入理解了變量篩選、數(shù)據(jù)擬合及結(jié)果驗(yàn)證等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，且能將所學(xué)理論靈活應(yīng)用于解決簡單的預(yù)測知識。通過這些課堂實(shí)踐活動，學(xué)生提高了數(shù)據(jù)分析能力與問題解決能力，尤其是使用工具構(gòu)建模型和解釋預(yù)測結(jié)果的能力得到了鍛煉，發(fā)展了數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二是教學(xué)方法科學(xué)且多樣化。教學(xué)中，筆者采取任務(wù)驅(qū)動法、案例教學(xué)法和合作學(xué)習(xí)法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對統(tǒng)計(jì)模型構(gòu)建與優(yōu)化的深入理解。第一，利用案例教學(xué)法激發(fā)興趣。通過生活實(shí)例的導(dǎo)入，筆者將抽象的統(tǒng)計(jì)模型概念具體化，引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)際問題背后的數(shù)據(jù)邏輯，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣和主動性。第二，利用任務(wù)驅(qū)動法增強(qiáng)實(shí)踐性。課堂上，通過分階段設(shè)計(jì)的建模任務(wù)，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下有條不紊地完成了數(shù)據(jù)整理、模型搭建及預(yù)測驗(yàn)證等步驟，這一過程極大地增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)的實(shí)踐性。第三，利用互動教學(xué)法提升學(xué)習(xí)深度。筆者將教學(xué)重心從單純講授理論知識轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，教師不再是課堂的主導(dǎo)者，而是學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，通過問題引導(dǎo)使學(xué)生思考和討論，并在此過程中逐步深入理解統(tǒng)計(jì)建模的邏輯與應(yīng)用場景，讓學(xué)生通過動手實(shí)踐和合作學(xué)習(xí)獲得知識，提升學(xué)生的解決問題能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和創(chuàng)新能力。

三是課堂活動高效且參與度高。在本課中，課堂活動的設(shè)計(jì)充分考慮了學(xué)生的參與性和實(shí)際操作性，從而提高了課堂的效率與學(xué)生的參與度。通過任務(wù)驅(qū)動與小組合作學(xué)習(xí)模式，學(xué)生踴躍參與統(tǒng)計(jì)模型的構(gòu)建與數(shù)據(jù)分析，實(shí)踐中迅速領(lǐng)悟建模方法與技巧。每名學(xué)生都能在小組中扮演重要角色，負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)整理、模型構(gòu)建或模型檢驗(yàn)等任務(wù)，這種分工合作的方式確保了每名學(xué)生都能積極參與，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。此外，課堂教學(xué)融入現(xiàn)代信息技術(shù)工具，能夠幫助學(xué)生實(shí)踐數(shù)據(jù)分析與模型構(gòu)建。通過這些技術(shù)手段，學(xué)生能在更短的時(shí)間內(nèi)完成數(shù)據(jù)處理和模型驗(yàn)證，極大地提高了課堂的效率。

四是資源運(yùn)用充分，充分發(fā)揮評價(jià)的導(dǎo)向、激勵(lì)作用。本課充分利用教材、數(shù)據(jù)案例和信息化工具，將抽象的統(tǒng)計(jì)模型教學(xué)與生活情境相結(jié)合，激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用的興趣。學(xué)生不僅掌握了知識，而且提高了實(shí)踐能力和獨(dú)立解決問題的能力。在小組合作與課堂展示中，筆者適時(shí)給予正面反饋，肯定學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新成果，進(jìn)一步提振他們的自信心與參與熱情。這種評價(jià)方式激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，使他們不僅有效完成了課堂任務(wù)，而且主動探討變量關(guān)系和模型優(yōu)化問題。資源的充分運(yùn)用與評價(jià)的激勵(lì)功能相結(jié)合，為學(xué)生提供了實(shí)踐與思維的雙重鍛煉，充分展現(xiàn)了教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性和有效性。

（二）教學(xué)過程中存在的問題

雖然本課教學(xué)整體表現(xiàn)良好，但教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中仍顯露若干問題，具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。一是學(xué)生參與度存在兩極分化。在小組合作過程中，每一組都有一兩名基礎(chǔ)較弱的學(xué)生依賴他人完成任務(wù)，參與度較低，而能力較強(qiáng)的學(xué)生則包攬任務(wù)，缺少與組員的深入?yún)f(xié)作。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因在于筆者未充分考慮學(xué)生基礎(chǔ)差異，任務(wù)難度分配不當(dāng)，小組任務(wù)分工欠合理且監(jiān)督不足，致使學(xué)生分工失衡，合作效率低下。二是教學(xué)時(shí)間分配不夠合理。理論講解所花時(shí)間較多，壓縮了實(shí)踐環(huán)節(jié)，導(dǎo)致兩組學(xué)生未能完成建模任務(wù)，特別是模型驗(yàn)證與反思部分。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因在于課程設(shè)計(jì)時(shí)間分配不精確，且沒有根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行靈活調(diào)整。三是課堂評價(jià)與反饋機(jī)制不夠完善。教學(xué)評價(jià)方式單一，僅限于教師提問與學(xué)生回答，未在學(xué)習(xí)過程中融入對學(xué)生創(chuàng)新性思維、表達(dá)能力和問題解決能力的全面評價(jià)，阻礙了學(xué)生創(chuàng)新思維與批判性思維的培養(yǎng)。課堂收尾之際，筆者的反饋缺乏針對個(gè)體的改進(jìn)良策，難以點(diǎn)燃學(xué)生深度思考與創(chuàng)新的火花。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因在于筆者對課堂評價(jià)的設(shè)計(jì)未予足夠重視，評價(jià)手段不夠精準(zhǔn)，未能憑借數(shù)據(jù)化或行為記錄等科學(xué)方式深入剖析學(xué)生的學(xué)習(xí)成效。這反映出筆者在應(yīng)對課堂突發(fā)情況和學(xué)生的個(gè)性化問題時(shí)，還不夠靈活和熟練，需要進(jìn)一步積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要手段和解決實(shí)際問題的基本方法。在素養(yǎng)為導(dǎo)向的今天，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)至關(guān)重要，課程是實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵，課堂教學(xué)則是其主要載體，如何在數(shù)學(xué)課堂上從普通數(shù)學(xué)知識的傳授轉(zhuǎn)向?qū)W生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，仍需要不斷探索。

參考文獻(xiàn)

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注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度廣西高考綜合改革專項(xiàng)課題“基于中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)發(fā)展的教師新教材實(shí)施的實(shí)踐能力培養(yǎng)研究”（2021ZJY1755）的研究成果。

（責(zé)編 蒙秀溪）

作者簡介：李俊，1973年生，湖南郴州人，本科，正高級教師，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)；黎福慶，1972年生，廣西南寧人，本科，正高級教師，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)。