巧用建系法，妙解幾何題

【摘要】幾何題在初中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，需要初中學(xué)生掌握一定的解題方法.若一道題中有正方形、矩形等存在直角特征的圖形，且已知部分線段長(zhǎng)度，那么可以考慮運(yùn)用建系法解題.本文以常見(jiàn)的幾道幾何題為例，研究建系法在解幾何題時(shí)的妙用.

【關(guān)鍵詞】建系法；初中數(shù)學(xué)；解題方法

顧名思義，建系法就是建立直角坐標(biāo)系.值得注意的是，在選取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，不僅要考慮其是否為直角頂點(diǎn)，還要考慮建立的坐標(biāo)系是否方便表示其他點(diǎn).

例1如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AE為∠BAD的角平分線，F(xiàn)為AE上一動(dòng)點(diǎn)，M為DF的中點(diǎn)，連接BM，則BM的最小值為.

思路分析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可求出直線AE的解析式，由此可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)F的坐標(biāo).基于此，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)討論BM的最小值.

解析如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A0，2，C4，0，D4，2，E2，0.設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A、點(diǎn)E，可列出b=22k+b=0，解得b=2k=－1，所以直線AE的解析式為y=－x+2.此時(shí)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為At，－t+2.因?yàn)镈4，2，所以DF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為2+t2，2－t2.

所以BM=2+t22+2－t22，化簡(jiǎn)得BM=t22+8，即當(dāng)t=0，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，BM有最小值，為8.

評(píng)析本例題的考點(diǎn)包含矩形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等.解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系.

例2如圖3，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，則CG=.

思路分析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.要想求CG的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，而點(diǎn)G是AC與BF的交點(diǎn)，故解題的關(guān)鍵可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線BF的解析式.聯(lián)立直線BF與直線AC的解析式即可求得點(diǎn)G.那么，CG的長(zhǎng)度也就能夠很快算出來(lái)了.

解析如圖4，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A0，0，B1，0，C1，1，D0，1，E0，12.連接AF交BE于點(diǎn)H.設(shè)直線BE的解析式為y=kBEx+bBE，代入點(diǎn)B1，0，E0，12，可列出kBE+bBE=0bBE=12，解得bBE=12kBE=－12，所以直線BE的解析式為y=－12x+12.同理，直線AC的解析式為y=x.由折疊可知，AF⊥BE，H為線段AF的中點(diǎn)，所以kAF·kBE=－1.因?yàn)閗BE=－12，所以kAF=2，即直線AF的解析式為y=2x.因?yàn)橹本€AF與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)H，聯(lián)立y=－12x+12y=2x，得H15，25.又因?yàn)镠為線段AF的中點(diǎn)，所以F25，45.此時(shí)，可求出直線BF的解析式為y=－43x+43.因?yàn)橹本€BF與直線AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)G，聯(lián)立y=－43x+43y=x，得G47，47.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得CG=1－472+1－472=327.綜上，CG=327.

評(píng)析本題考查矩形、一次函數(shù)、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)點(diǎn).解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

例3如圖5，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的外側(cè)，作等腰三角形ADE，EA=ED=52. 若F為BE的中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)，與CD相交于點(diǎn)G，則AG的長(zhǎng)為.

思路分析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可得到直線AF的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可得到AG的長(zhǎng).

解析如圖6，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD、CB分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C0，0，B0，3，D3，0，A3，3，E5，32.因?yàn)镕為BE的中點(diǎn)，且B0，3，E5，32，所以中點(diǎn)F的坐標(biāo)為52，94.設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，代入點(diǎn)A3，3，F(xiàn)52，94，可列出3k+b=352k+b=94，解得b=－32k=32，所以直線AF的解析式為y=32x－32.令y=0，得x=1，即點(diǎn)G的坐標(biāo)為1，0.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得AG=3－12+3－02=13.綜上，AG的長(zhǎng)為13.

評(píng)析本題有正方形、直角/等腰三角形的存在，解題時(shí)要結(jié)合直角坐標(biāo)系進(jìn)行靈活運(yùn)用.

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，建系法為求解幾何題自提供了一種有效的方法，其能夠降低解題難度，讓學(xué)生快速理解解題思路.因此，教師要有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，提升學(xué)生運(yùn)用建系法解題的靈活度.