初中數(shù)學(xué)函數(shù)題的解題技巧與思路剖析

【摘要】本文主要探討了初中數(shù)學(xué)函數(shù)題的解題技巧與思路，并通過具體的例題分析，提出了有效的解題策略，通過這些技巧和思路，學(xué)生能夠在解答函數(shù)題時(shí)更加高效和靈活，全面提升數(shù)學(xué)解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)問題；解題技巧

1注重類比分析，把握解題細(xì)節(jié)

例1某企業(yè)生產(chǎn)一種零件，單個(gè)零件的生產(chǎn)成本為40元，零件的售價(jià)為60元.為了促進(jìn)顧客購(gòu)買，企業(yè)決定，如果顧客購(gòu)買零件數(shù)量超過100個(gè)，那么從第101個(gè)開始，每增加一個(gè)零件，所有零件的單價(jià)就會(huì)下降0.02元，但降到一定程度后，單價(jià)不再低于51元.

（1）在購(gòu)買多少個(gè)零件時(shí)，單價(jià)會(huì)恰好降到51元？

（2）假設(shè)顧客購(gòu)買了x個(gè)零件，對(duì)應(yīng)的售價(jià)為y元，請(qǐng)列出y與x之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

（3）如果顧客一次購(gòu)買500個(gè)零件，企業(yè)的利潤(rùn)為多少？如果顧客購(gòu)買1000個(gè)零件，企業(yè)的利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)計(jì)算公式：利潤(rùn)=銷售收入－成本）

解答（1）假設(shè)購(gòu)買零件的數(shù)量為n，當(dāng)銷售單價(jià)恰好降到51元時(shí)，根據(jù)定價(jià)規(guī)則可以得到公式：

（n-100）×0.02=60-51，

經(jīng)過計(jì)算，得出n=550.

結(jié)論在購(gòu)買550個(gè)零件時(shí)，單價(jià)會(huì)恰好降到51元.

（2）當(dāng)顧客購(gòu)買的零件數(shù)量為x時(shí)，單價(jià)y與x之間存在一定的關(guān)系式.根據(jù)題目中的降價(jià)規(guī)則，可以得出以下函數(shù)關(guān)系：

當(dāng)0＜x≤100時(shí)，y=60；

當(dāng)100＜x≤550時(shí)，y=62－0.02x；

當(dāng)x＞550時(shí)，y=51.

（3）在顧客分別購(gòu)買500個(gè)和1000個(gè)零件的情況下，企業(yè)的利潤(rùn)分別為：

對(duì)于500個(gè)零件，利潤(rùn)為：

（62－0.02×500）×500－40×500=6000元.

對(duì)于1000個(gè)零件，利潤(rùn)為：

1000×（51-40）=11000元.

結(jié)論如果顧客購(gòu)買500個(gè)零件，企業(yè)的利潤(rùn)為6000元；如果顧客購(gòu)買1000個(gè)零件，企業(yè)的利潤(rùn)為11000元.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

在解決此類函數(shù)題時(shí)，類比分析和細(xì)節(jié)把握至關(guān)重要.首先，通過類比其他簡(jiǎn)單的函數(shù)題，學(xué)生可以將零件購(gòu)買和銷售單價(jià)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，并從實(shí)際情境出發(fā)進(jìn)行建模.其次，解答過程中需要特別注重解題細(xì)節(jié)，尤其是分段函數(shù)的處理.在第二問中，銷售單價(jià)隨著購(gòu)買數(shù)量的變化而變化，分段定義幫助學(xué)生理清函數(shù)關(guān)系.第三，解利潤(rùn)問題時(shí)，應(yīng)明確利潤(rùn)的計(jì)算公式，并結(jié)合函數(shù)關(guān)系式逐步代入求解，避免計(jì)算錯(cuò)誤.通過這些細(xì)節(jié)的處理，學(xué)生能更高效地應(yīng)對(duì)類似的實(shí)際應(yīng)用題.

2注重?cái)?shù)形結(jié)合，高效應(yīng)用圖象

例2已知正實(shí)數(shù)x，求y=x2+4+（2－x）2+1的最小值（如圖1）.

解析可以把x2+4+（2－x）2+1整理為（x－0）2+（0－2）2+（x－2）2+（0－1）2，即看作是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)（x，0）到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題.

解y=（x－0）2+（0－2）2+

（x－2）2+（0－1）2，

令P（x，0）、A（0，2）和，則y=PA+PB.

作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，－1），則y的最小值為AB′=32+22=13.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

在解決此類最優(yōu)化問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合能夠大大提高解題效率.通過將代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，可以直觀地理解問題的本質(zhì).在本題中，通過將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和，問題變成了求最短距離的問題.此時(shí)，圖形的幾何性質(zhì)有助于更清晰地確定最小值的位置.通過對(duì)稱性原理，問題得到簡(jiǎn)化，最終能夠高效地求得最小值.數(shù)形結(jié)合不僅幫助大家清晰地看到問題結(jié)構(gòu)，還能借助幾何工具（如對(duì)稱性）進(jìn)行有效簡(jiǎn)化，減少不必要的計(jì)算步驟.因此，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答此類函數(shù)優(yōu)化問題的關(guān)鍵.

3把握?qǐng)D象特征，尋找解題密碼

例3拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（－3，0），其對(duì)稱軸為直線x=－12，結(jié)合圖象分析：（1）abcgt;0；（2）3a+cgt;0；（3）當(dāng)xlt;0時(shí)，y隨x的增大而增大；（4）一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個(gè)根分別為x1=－13，x2=12；（5）b2－4ac4alt;0；（6）若m，n（mlt;n）為方程a（x+3）（x－2）+3=0的兩個(gè)根，則mlt;－3且 .其中正確的結(jié)論有幾個(gè)？（如圖2）

解析（1）觀察圖形可見，拋物線的開口朝下.根據(jù)圖形，可以看到該函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)位于y軸的正上方.可知alt;0.

根據(jù)函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，可以得出相應(yīng)的表達(dá)式.根據(jù)對(duì)稱軸的特性，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出該關(guān)系式.由于對(duì)稱性原理，cgt;0，由對(duì)稱軸x=－12可知－12=－b2a，得出b=a，alt;0，所以blt;0.

所以（1）abcgt;0正確.

（2）由函數(shù)與x軸交于（－3，0），因此有9a－3b+c=0.

由對(duì)稱軸關(guān)系可知b=a，所以9a－3a+c=0，可得6a+c=0，c=－6a.

所以3a+c=－3a，又因?yàn)閍lt;0，所以－3agt;0，因此（2）正確.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)開口向下，對(duì)稱軸為x=－12，因此，當(dāng)xgt;－12時(shí)，y隨x的增大而減

小，因此（3）錯(cuò)誤.

（4）因?yàn)?a+c=0，有c=－6a，又有b=a，代入方程cx2+bx+a=0，有－6ax2+ax+a=0，化簡(jiǎn)有－6x2+x+1=0，解得x1=－13，x2=12.

因此（4）正確.

（5）由圖象可知，方程有兩個(gè)根，因此b2－4acgt;0，又alt;0，所以b2－4ac4alt;0正確.

（6）根據(jù)題意得b=a，c=－6a，則y=ax2+bx+c=ax2+ax－6a=a（x－3）（x+2）（a≠0），函數(shù)與x軸交于點(diǎn)（-3，0）和（2，0），則a（x+3）（x－2）+3=0的兩個(gè)根即為函數(shù)ｙ=a（x+3）（x－2）與直線y=－3的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象得，m＜-3，n＞2，因此（6）正確.

綜上，正確的結(jié)論有5個(gè).

4結(jié)語(yǔ)

在解答拋物線相關(guān)題目時(shí)，把握?qǐng)D象特征是至關(guān)重要的.通過分析拋物線的開口方向、對(duì)稱軸位置以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可以有效地推斷函數(shù)的性質(zhì)并得出結(jié)論.首先，通過觀察拋物線開口方向，可以確定函數(shù)的增減性；其次，利用對(duì)稱軸的性質(zhì)，可以推斷函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì).此外，圖象上的交點(diǎn)和根的關(guān)系可以幫助直接識(shí)別方程的解，避免復(fù)雜的計(jì)算.通過這種圖象與代數(shù)的結(jié)合，不僅能夠準(zhǔn)確解答問題，還能提高解題速度和準(zhǔn)確性.因此，把握?qǐng)D象特征，尋找解題的圖象密碼，是解決此類問題的關(guān)鍵.