數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)落實(shí)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)

摘要教學(xué)過程中問題驅(qū)動(dòng)探索是數(shù)學(xué)建模的核心，數(shù)學(xué)建模在三角函數(shù)概念教學(xué)過程中是一種非常有效的教學(xué)方法，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與實(shí)際生活聯(lián)系起來，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和建模能力，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教學(xué)；三角函數(shù)的概念

1.引言

數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題通過數(shù)學(xué)抽象和解析轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的教學(xué)活動(dòng).它在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要角色，具有多方面的意義.數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題間的聯(lián)系，建立新的認(rèn)知體系；數(shù)學(xué)建模活動(dòng)涉及多學(xué)科知識(shí)和技能，通常需要學(xué)生分組合作，共同解決問題，這有助于學(xué)生在實(shí)際操作中學(xué)習(xí)如何與他人溝通和協(xié)作，提升學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和合作能力；數(shù)學(xué)建模還可以讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性和趣味性，減少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的疑惑，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 本文以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)過程為例，探究數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的滲透作用.

2．教學(xué)過程

2.1. 師生活動(dòng)

問題1在初中，我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？

（學(xué)生回答，教師PPT展示.）

在RtΔABC中，∠C=90°.我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比，記作sinA，即sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac；把銳角A的鄰邊與斜邊的比記作cosA，即cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc；把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比記作tanA，即tanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊=ab.

設(shè)計(jì)意圖"數(shù)學(xué)中的很多概念是基于已有概念產(chǎn)生的，充分結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力，從學(xué)生熟悉的概念出發(fā).高中三角函數(shù)的概念是在初中三角概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展和深化的，由特殊到一般，由個(gè)別到普遍，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和延申.

問題2我們通常把角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)研究（角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合），如何在直角坐標(biāo)系中研究銳角的三角函數(shù)呢？

（學(xué)生回答，教師黑板展示作圖過程）

如圖1，在角的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于M，在RtΔOMP中，sinα=PMOP=yx2+y2，cosα=OMOP=xx2+y2，tanα=PMOM=yx.

設(shè)計(jì)意圖"借助直角坐標(biāo)系研究銳角三角函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法展開研究，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀等素養(yǎng)，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，從而建立合適的數(shù)學(xué)模型.

問題3構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)與點(diǎn)P的位置有沒有關(guān)系？

師：不難發(fā)現(xiàn)銳角α的三角函數(shù)值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，特別地，如圖2，設(shè)銳角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P0（x，y），此時(shí)sinα=y，cosα=x，tanα=yx.

設(shè)計(jì)意圖借助“單位圓”這一“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確定位關(guān)鍵變量，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題.體會(huì)用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)，清楚、簡單，凸顯本質(zhì)性，也為進(jìn)一步利用單位圓來感受周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型和研究三角函數(shù)概念做鋪墊.

問題4在我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，比如鐘擺的簡諧振動(dòng)，地球的自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)等，圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的典型代表.如圖3，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).如何刻畫點(diǎn)P的位置？

生1：我們可以借助角∠AOP大小變化刻畫點(diǎn)P的位置變化.

師：根據(jù)弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關(guān)，因此，我們可以先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，從生活出發(fā)抽象出數(shù)學(xué)問題，明確研究內(nèi)容，鑒于周期現(xiàn)象的復(fù)雜性，圓周運(yùn)動(dòng)的典型性，將圓周運(yùn)動(dòng)簡化抽象成單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，為進(jìn)一步尋求合適的函數(shù)模型刻畫點(diǎn)P的位置變化做準(zhǔn)備，為具體研究指明方向.

問題5如圖4，以單位圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）.射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP.

當(dāng)α=π6時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是什么？點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定嗎？

生2：當(dāng)α=π6時(shí)，x=cosπ6=32，y=sinπ6=12.即點(diǎn)P坐標(biāo)為（32，12）.點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定.

設(shè)計(jì)意圖把問題進(jìn)行簡化，建立數(shù)學(xué)模型，探究建立坐標(biāo)系的必要性和合理性，滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

問題6當(dāng)α=π2或α=2π3時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)又是什么？這個(gè)坐標(biāo)唯一確定嗎？

生3：當(dāng)α=π2時(shí)，點(diǎn)P在y軸上，即點(diǎn)P（0，1），唯一確定.

生4：當(dāng)α=2π3時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于M，在RtΔOMP中，利用銳角三角函數(shù)可得x=cosπ3=12，y=sinπ3=32.因?yàn)辄c(diǎn)P為第二象限點(diǎn)，故P（－12，32），且唯一確定.

設(shè)計(jì)意圖"通過特殊角求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，讓學(xué)生在自主探究中很\"自然\"地得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，符合函數(shù)概念的本質(zhì)，為生成三角函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)，并讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，同時(shí)也加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念中的\"函數(shù)意義\"的理解.

2.2．建構(gòu)概念

問題7在弧度制下，我們已經(jīng)將角的范圍擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù).任意給定一個(gè)角α（弧度數(shù)），其終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？P的坐標(biāo)與α有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖"從特殊到一般，通過表示圓上旋轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的問題，將三角函數(shù)的數(shù)與形兩方面結(jié)合起來.通過函數(shù)觀點(diǎn)探究二者關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)，提高其利用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題的能力.

教師：利用信息技術(shù)，讓學(xué)生觀察，任意畫一個(gè)角，觀察它的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是唯一的.投影展示三角函數(shù)的概念：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y）.（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)（sine function），記作sinα，即y=sinα；（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)（cosine function），記作cosα，即x=cosα；（3）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切，記作tanα，即yx=tanα（x≠0）.我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（trigonometric function），通常將它們記為：正弦函數(shù)y=sinx，x∈R;余弦函數(shù)y=cosx，x∈R;正切函數(shù)y=tanx，x≠π2+kπ（k∈Z）.

設(shè)計(jì)意圖"改變?nèi)呛瘮?shù)變量的呈現(xiàn)方式，用學(xué)生熟悉的函數(shù)符號(hào)y=f（x）表達(dá)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好鋪墊.

2.3．鞏固概念

例1求α=5π3的正弦、余弦和正切值.

通過學(xué)生回答，老師歸納利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的基本步驟為“畫終邊，定交點(diǎn)，算比值”.

設(shè)計(jì)意圖通過概念的簡單應(yīng)用，歸納求三角函數(shù)值的基本步驟，鞏固任意角三角函數(shù)的概念.

課堂練習(xí)：

（1）利用三角函數(shù)的定義，求0，π2，π，3π2的三個(gè)三角函數(shù)值；

（2）利用三角函數(shù)定義，求π6，7π6的三個(gè)三角函數(shù)值；

（3）說出幾個(gè)使sinα=1的α的值.

設(shè)計(jì)意圖"進(jìn)一步理解三角函數(shù)概念的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)概念和初中三角函數(shù)概念之間的區(qū)別與統(tǒng)一.

問題8設(shè)x∈（0，π2），按銳角三角函數(shù)概念求得的銳角x的正弦記為y，按三角函數(shù)概念求得x的正弦記為y1，那么y和y1相等嗎？對(duì)于余弦值、正切值也相同嗎？

設(shè)計(jì)意圖"學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義后，學(xué)生可能會(huì)發(fā)生新概念與舊概念的認(rèn)知沖突.這里抓住學(xué)生的認(rèn)知沖突點(diǎn)與知識(shí)生長點(diǎn)，利用認(rèn)知沖突加深學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)概念的認(rèn)知.學(xué)生通過回憶初中所學(xué)習(xí)，將知識(shí)體系理清，隨后借助問題8的思考過程，將銳角三角函數(shù)和三角函數(shù)相聯(lián)系，在教師引導(dǎo)下學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的概念是對(duì)銳角三角函數(shù)概念的延拓.

例2如圖5，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）

的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.求證：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx.

設(shè)計(jì)意圖"通過這道題的解答，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到，只要知道角終邊上的任意一點(diǎn)，就可以得出相應(yīng)的三角函數(shù)值. 例2實(shí)際上是三角函數(shù)坐標(biāo)比的定義，這與利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)是等價(jià)的，引導(dǎo)學(xué)生思考這種等價(jià)的原因，讓學(xué)生給出三角函數(shù)“坐標(biāo)比”的定義.

課堂練習(xí)：

（1）已知角θ的終邊過點(diǎn)P（－12，5），求角θ的三角函數(shù)值；

（2）已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s.求2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置.

設(shè)計(jì)意圖"通過練習(xí)（1）鞏固所學(xué)知識(shí)，熟悉三角函數(shù)的公式.隨后學(xué)生以小組探究的形式，在例2的引領(lǐng)下，將定義中對(duì)于\"單位圓\"的條件進(jìn)行延拓，體會(huì)到數(shù)學(xué)探究的樂趣.練習(xí)（2）是利用三角函數(shù)解決勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

2.4．歸納小結(jié)

（1）三角函數(shù)的概念是什么？如何求三角函數(shù)值？

（2）三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的聯(lián)系.

3．結(jié)語

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型往往沒有固定的模式，學(xué)生需要根據(jù)問題的特點(diǎn)和知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行創(chuàng)新.本次教學(xué)從初中的三角函數(shù)引入到高中的三角函數(shù)概念，在這個(gè)過程中，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)一些獨(dú)特的構(gòu)建方法或者從不同的角度去觀察模型，全身心地投入到學(xué)習(xí)過程.同時(shí)教師創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和方法理解數(shù)學(xué)核心知識(shí)，落實(shí)數(shù)學(xué)建模過程，由此達(dá)到深刻理解三角函數(shù)概念的目的，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)概念不是孤立存在于課本中的知識(shí)，而是可以用來解決現(xiàn)實(shí)問題的工具.

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍，李增滬.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2019：178.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：6.

基金項(xiàng)目：徐州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題《基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的“微探究”資源開發(fā)策略研究》（課題編號(hào)：GH14-21-L349）