依托橢圓場(chǎng)景，探求最值問題

摘要圓錐曲線中求最值或求解取值范圍等問題是歷年高考中的一類熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題.本文通過幾道典型例題，給出了突破該類問題的一些常見技巧策略與思維視角，歸納了解題規(guī)律，技巧方法與策略，期待對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考能有些許幫助．

關(guān)鍵詞橢圓場(chǎng)景；最值求解

圓錐曲線中的基本元素之間?？捎靡恍┐鷶?shù)關(guān)系式來表達(dá)，而尋求這些關(guān)系式的最值問題，或取值范圍問題能夠很好考查圓錐曲線的“四基”，并能較好地融合其他知識(shí)，成為高考命題中的一個(gè)比較常見的熱點(diǎn)題型．基于此，本文以橢圓應(yīng)用場(chǎng)景為例，通過幾道典型題目，合理歸納總結(jié)，就巧用幾何意義、妙構(gòu)函數(shù)模型、構(gòu)造基本不等式與巧借三角函數(shù)等幾類典型的常用技巧與方法，結(jié)合典型實(shí)例來剖析解決橢圓中的最值問題的應(yīng)對(duì)策略，拋磚引玉．

1．巧用幾何意義

巧用幾何意義思維，主要是利用橢圓的基本概念與幾何意義，尤其是橢圓的幾何性質(zhì)，綜合平面幾何知識(shí)等加以綜合應(yīng)用，合理直觀想象，數(shù)形結(jié)合分析，進(jìn)則得以確定相應(yīng)的最值問題．

例1（1）（2024年定西市模擬試題）已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是C上一點(diǎn)，B2，1，則AB+AF1的最大值為（）.

A．7B．8C．9D．11

（2）（2024年浙江省模擬試題）已知F是橢圓C：x24+y23=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，N在圓P：x2+y－32=2x上，則MF－MN的最大值是．

解析（1）由題意得F22，0，a=3．如圖1所示，連接AF2，結(jié)合橢圓的定義有AB+AF1=AB+2a－AF2=6+AB－AF2．而結(jié)合平面幾何圖形的幾何意義，可知AB－AF2SymbolcB@BF2=1，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)2，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F2在點(diǎn)A，B之間時(shí)等號(hào)成立．所以AB+AF1的最大值為7．故選A．

（2）由圓P：x2+（y－3）2=2x得（x－1）2+（y－3）2=1，可得圓P 的圓心P1，3，半徑r=1．由橢圓C：x24+y23=1，可得a=2．

設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F1，根據(jù)橢圓的定義可得MF=2a－MF1，所以MF－MN=2a－MF1+MN．又由MNmin=MP－r，當(dāng)點(diǎn)P，N，M，F(xiàn)1四點(diǎn)共線時(shí)，即如圖2中點(diǎn)P，N'，M'，F(xiàn)1所在的位置時(shí)，MF1+MN取得最小值，最小值為MF1+MNmin=M'F1+M'P－r=PF1－r=3－1=2．所以MF－MNmax=2×2－2=2．

點(diǎn)評(píng)巧妙借助橢圓的定義來轉(zhuǎn)化所要求解的線段長(zhǎng)度之和的表達(dá)式，利用平面幾何圖形的直觀，結(jié)合平面幾何圖形的幾何意義加以轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)表達(dá)式最值的確定與判斷．幾何意義思維來分析與處理此類圓錐曲線中的最值問題時(shí)，要抓住“變”與“不變”之間的關(guān)系，巧妙利用平面幾何圖形的幾何意義與圖形直觀來綜合與應(yīng)用，特別要注意等號(hào)成立時(shí)的條件是否存在．

2．妙構(gòu)函數(shù)模型

妙構(gòu)函數(shù)模型思維，是合理引入相應(yīng)的參數(shù)，進(jìn)而結(jié)合橢圓的應(yīng)用場(chǎng)景，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，尤其是二次函數(shù)或與二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)最值的突破與求解．

例2（2023—2024學(xué) 年重慶一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）過橢圓x236+y227=1上一動(dòng)點(diǎn)P分別向圓C1：x+32+y2=4和圓C2：x－32+y2=1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則PM2+2PN2的最大值是．

解析如圖3，因?yàn)閍=6，b=33，c=3，易知C1－3，0，C23，0為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．而PM2+2PN2=PC12－4+2PC22－1=PC12+2PC22－6．

根據(jù)橢圓的定義PC1+PC2=2a=12，設(shè)PC2=t，則a－cSymbolcB@tSymbolcB@a+c，即3SymbolcB@tSymbolcB@9，PC1=12－t．則PM2+2PN2=12－t2+2t2－6=3t2－24t+138=3t2－8t+46=3［t－42+30］，當(dāng)t=9 時(shí)，可得PM2+2PN2取得最大值為165．

點(diǎn)評(píng)利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合勾股定理加以合理變形與轉(zhuǎn)化，并通過橢圓定義的應(yīng)用，巧妙引入?yún)?shù)，將所要求解的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為該參數(shù)的函數(shù)模型問題，進(jìn)而結(jié)合參數(shù)的取值范圍，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定最大值．巧妙引入?yún)?shù)，為合理構(gòu)建函數(shù)模型創(chuàng)造條件，一定要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)所求結(jié)果會(huì)有一定的影響．若引入?yún)?shù)后所構(gòu)建的函數(shù)模型比較復(fù)雜，也可以借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來分析與處理．

3．構(gòu)造基本不等式

構(gòu)造基本不等式思維，是合理恒等變形對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，通過合理配湊變量間的和（或積）為定值的基本條件，創(chuàng)造利用基本不等式放縮與應(yīng)用的條件，進(jìn)而借助基本不等式的合理放縮來確定對(duì)應(yīng)的最值問題．

例3 （2023—2024學(xué)年江西省金溪一中、廣昌一中、南豐一中高二（上）月考試題）已知橢圓C：x216+y212=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，m=PF1，n=PF2，則4m+nmn的最小值為（）.

A．98B．54C．20－379D．20+379

解析由題意得a=4，結(jié)合橢圓的定義有PF1+PF2=m+n=2a=8．

結(jié)合基本不等式有4m+nmn=4n+1m=184n+1m·m+n=185+4mn+nm185+24mn×nm=98，當(dāng)且僅當(dāng)4mn=nm，即m=83，n=163時(shí)取得等號(hào)．所以4m+nmn的最小值為98．故選A．

點(diǎn)評(píng)根據(jù)問題條件與應(yīng)用場(chǎng)景，依托兩變量代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，并通過橢圓的定義來合理配湊兩變量間的和為定值，進(jìn)而通過代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來合理放縮與巧妙求解．借助基本不等式放縮求解橢圓中的最值問題時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)相應(yīng)的代數(shù)式進(jìn)行巧妙的恒等變形與合理配湊，同時(shí)還要保證等號(hào)成立時(shí)的條件是否存在，以確定基本不等式應(yīng)用的準(zhǔn)確性．

4．巧借三角函數(shù)

巧借三角函數(shù)思維，往往是基于問題場(chǎng)景，巧妙引入角參，進(jìn)而將線段表示成相應(yīng)的三角函數(shù)表達(dá)式，從而構(gòu)建所求代數(shù)式的三角關(guān)系式，合理通過三角恒等變形與轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的有界性以及相關(guān)的性質(zhì)來確定最值．

例4（2024年武漢市高三（上）期末統(tǒng)考試題）如圖4所示，橢圓C1：x2a12+y2b12=1（a1gt;b1gt;0）和C2：x2a22+y2b22=1（a2gt;b2gt;0）有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，對(duì)應(yīng)的離心率分別為e1，e2，B為橢圓C1的上頂點(diǎn)，滿足F2P⊥F1P，F(xiàn)1，B，P三點(diǎn)共線且垂足P在橢圓C2上，則e1e2的最大值是．

解析依題，設(shè)∠PF1F2=α，α∈（0，π2），|F1F2|=2c，而F2P⊥F1P，又B為橢圓C1的上頂點(diǎn)，則有|PF1|+|PF2|=2c（cosα+sinα），且|BF1|=a1=ccosα．根據(jù)題設(shè)條件，所以e1e2=2c2a12c2a2=2a22a1=PF1+|PF2|2BF1=2c（cosα+sinα）2ccosα=（cosα+sinα）cosα=cos2α+sinαcosα=1+cos2α2+12sin2α=22sin（2α+π4）+12≤22+12=2+12，當(dāng)且僅當(dāng)2α+π4=π2，即α=π8時(shí)等號(hào)成立．所以e1e2的最大值是2+12．

點(diǎn)評(píng)抓住問題的條件利用直線間的位置關(guān)系，并通過平面三角形的幾何特征，巧妙結(jié)合三角函數(shù)的定義來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合有界性來合理放縮與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)最值（或取值范圍）問題的突破與求解．解決此類問題時(shí)，往往巧妙引入角參，為實(shí)現(xiàn)問題的三角函數(shù)化奠定基礎(chǔ)，進(jìn)而綜合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來巧妙應(yīng)用，特別是三角函數(shù)的有界性等來實(shí)現(xiàn)最值問題的求解.

小結(jié)涉及橢圓中的基本元素、關(guān)系式或代數(shù)式等的最值（或取值范圍）問題及其求解策略，也可以進(jìn)一步類比到雙曲線或拋物線的應(yīng)用場(chǎng)景中去．此類問題可以較好地將平面解析幾何知識(shí)與函數(shù)與方程、平面幾何、不等式等知識(shí)的融匯，實(shí)現(xiàn)問題的綜合性、創(chuàng)新性與應(yīng)用性．特別是基于圓錐曲線中的應(yīng)用場(chǎng)景，巧妙通過一些特殊、常見的思維視角來巧妙應(yīng)用，或單一思維應(yīng)用，或多種思維綜合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)圓錐曲線中對(duì)應(yīng)最值（或取值范圍）的求解與應(yīng)用.