與公切線有關的四類常見題型及求解技巧

摘要基于兩曲線的公切線創(chuàng)設場景，本文就共切點與異切點的公切線問題，公切線條數(shù)與公切點個數(shù)等問題，結合實例挖掘此類問題的內涵與實質，歸納此類問題的技巧與方法，引領并指導數(shù)學教學與復習備考．

關鍵詞異切點；共切點；公切線問題

在近幾年高考函數(shù)與導數(shù)的應用試題的命制過程中，求解與曲線的公切線有關的問題成為高考的熱點題型之一．學生在做題過程中，單一曲線的切線問題相對來說，比較容易理解與掌握，但是解決多條曲線（主要是兩條曲線）的公切線問題，顯然比單一曲線的切線問題要復雜得多，難度也較大多．本文通過一些典型例題分析一下常見的四類公切線問題．

1．共切點的公切線問題

基于兩曲線具有相同切點的公切線為問題場景，合理創(chuàng)設相應的公切線問題，用來解決涉及參數(shù)值的求解，公切線的方程特征與概念，以及公切線的基本性質與相關應用等方面的綜合問題．

例1（2024年重慶市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，若這兩個函數(shù)的圖象在公共點A1，2處有相同的切線，則a+b=．

解析因為fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，所以f'x=ex－a，g'x=2x+1．因為fx，gx在公共點A1，2 處有相同的切線，所以f′1=g′1，f1=2， 得a=e－3，b=－1， 所以a+b=e－4．

點評"解決此類涉及共切點的公切線問題，往往是通過兩個不同曲線進行求導處理，結合公切點的應用場景，利用“該切點處的兩個函數(shù)的導數(shù)相等”這一關系建立方程（組），通過方程（組）的求解來深入研究共切點的公切線問題的分析與求解．

2．異切點的公切線問題

基于兩曲線具有不同切點的公切線為問題場景，合理創(chuàng)設異切點的公切線應用條件，結合含參曲線或對應含參公切線問題的創(chuàng)設，用來解決相應的參數(shù)求值，代數(shù)式求解等相關的綜合應用問題．

例2（2024年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=lnx+1，gx=lne2x，若直線y=kx+b為曲線y=fx和y=gx的公切線，則b=（）.

A．12B．1－ln2C．2－ln2D．－ln2

解析設直線l：y=kx+b 與fx=lnx+1 相切于點Ax1，y1，與gx=lne2x 相切于點Bx2，y2．由fx=lnx+1得f'x=1x+1.由f'x1=1x1+1=k 得x1=1－kk，則y1=fx1=lnx1+1=ln1－kk+1=ln1k=－lnk，即點A（1－kk，－lnk）．代入直線l 中得－lnk=k·1－kk+b，即b=k－lnk－1①．

因為gx=lne2x=lne2+lnx=2+lnx，所以g'x=1x，由g'x2=1x2=k 得x2=1k，則y2=gx2=2+lnx2=2+ln1k=2－lnk，即點B（1k，2－lnk）．代入直線l 中得2－lnk=k·1k+b，即b=1－lnk②．

聯(lián)立①②，得k=2，所以b=1－ln2．故選B．

點評解決涉及異切點的公切線問題，需分別設出公切線與對應不同曲線所對應的兩個不同切點，借助導數(shù)的幾何意義，確定對應切點的坐標表達式，代入對應的公切線方程，構建相應的表達式，進而利用“公切線”這一特征，合理建立相應的方程（組）來分析與求解．

3．公切線條數(shù)的判斷問題

基于兩條曲線具有相同公切線為問題場景，借助兩個確定的函數(shù)解析式，用來確定公切線應用場景下的公切線條數(shù)的確定問題，或通過某個確定的點向兩曲線引切線來確定公切線的條數(shù)等．

例3（2024年河南省許昌市高考數(shù)學模擬試卷）已知函數(shù)fx=x3－x+a的圖象關于原點對稱，則與曲線y=fx和y=x2+14均相切的直線l有（ ）.

A．1條B．2條C．3條D．4條

解析由函數(shù)fx=x3－x+a 的圖象關于原點對稱得f－x=－fx，即－x3－－x+a=－x3－x+a，解得a=0，所以fx=x3－x，f'x=3x2－1．

設直線l 與y=fx 相切于點x1，fx1，所以切線方程為y－x31－x1=3x21－1x－x1，整理得y=3x21－1x－2x31．設gx=x2+14，直線l 與y=gx 相切于點x2，gx2，因為g'x=2x，所以切線方程為y－x22+14=2x2x－x2，整理得y=2x2x－x22+14．則3x21－1=2x2，－2x31=－x22+14， 整理得3x212－122－2x31－14=94x41－2x31－32x21=x2149x21－8x1－6=0．

當9x21－8x1－6=0 時，Δ=－82+4×9×6gt;0，方程有兩個非零實數(shù)根，x1=0也滿足方程，故x1 有3個值．

所以方程組 有3組解，故滿足題中條件的直線l 有3條，故選C．

點評解決涉及公切線條數(shù)的判斷問題，往往根據(jù)兩個不同曲線在切點處的斜率相等，同時滿足切點既在切線上又在曲線上，列出有關切點的橫坐標的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析，合理構建對應的含參方程等，進而轉化為對應方程的根的個數(shù)問題，也就是對應的公切線條數(shù)，實現(xiàn)問題的求解．

4．公切點個數(shù)的判斷問題

基于兩條曲線具有相同公切線為問題場景，依托兩個確定的函數(shù)解析式，用來確定公切線應用場景下的公切點個數(shù)的確定問題，或者是滿足某種條件的公切點的結構特征或個數(shù)信息等問題．

例4（2024年甘肅省張掖市民樂一中高三（上）第一次診斷數(shù)學試卷）已知曲線fx=lnx在點Px0，fx0處的切線l與曲線gx=ex也相切，則滿足條件的切點P有個．

解析因為fx=lnx，所以f'x=1x，所以f'x0=1x0，fx0=lnx0，所以切線l 的方程為y－lnx0=1x0x－x0，即y=1x0x+lnx0－1①．

設切線l 與曲線y=gx 相切于點x1，ex1，因為g'x=ex，所以ex1=1x0，所以x1=－lnx0，所以切線l 與曲線y=gx 相切于點（－lnx0，1x0）．所以切線l 的方程也為y－1x0=1x0x+lnx0，即y=1x0x+lnx0x0+1x0②．

由①②可得lnx0－1=lnx0x0+1x0，整理可得lnx0=x0+1x0－1．③

如圖1所示，在同一平面直角坐標系中畫出y=lnx，y=x+1x－1 的圖象，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程③有兩解，故切點P 有2個，故填2．

點評"解決涉及公切點個數(shù)的判斷問題往往是先結合其中一條曲線來確定對應的切線方程；在此基礎上，借助公切線與另一條曲線相切的性質確定有前面條件下對應的另一種形式的切線方程．結合兩者之間是相同的公切線場景，合理構建含參的關系式，將問題加以合理轉化，借助函數(shù)與方程思維，數(shù)形結合理，實現(xiàn)公切點個數(shù)的判斷．

解決對應的兩條曲線的公切線問題，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，我們可從幾何視角加以切入，從代數(shù)視角加以應用，巧妙突破問題．求解具體問題時，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，綜合利用代數(shù)思維和幾何思維．