一道加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題的多解與推廣

摘要本文分析了一道2024年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題，該題主要考查如何判斷一個(gè)數(shù)是否為完全平方數(shù)的問(wèn)題.通過(guò)研究該數(shù)的不同質(zhì)因數(shù)次數(shù)，為問(wèn)題提供了多種解決方法.最后，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了推廣.

關(guān)鍵詞完全平方數(shù);質(zhì)因數(shù);推廣

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

定義vpn=a，a表示n中質(zhì)數(shù)p的冪次，即pa整除n，但pa+1不整除n.［1］

問(wèn)題1（2024年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克）能否將2024個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，使得相鄰兩數(shù)之積恰構(gòu)成集合1！，2！，…，2024?。?/p>

評(píng)注如果這個(gè)問(wèn)題是成立的，需要給出一個(gè)具體的構(gòu)造，這個(gè)構(gòu)造看似不太容易給出；如果這個(gè)問(wèn)題不成立，可以通過(guò)整體的角度，因?yàn)檫@些數(shù)是相鄰兩數(shù)的乘積構(gòu)成的，故整體的乘積應(yīng)該是個(gè)完全平方數(shù)，即1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242，一個(gè)完全平方數(shù)的任意質(zhì)數(shù)次冪應(yīng)為偶數(shù)，那么1！·2！·3！…2024！所含所有質(zhì)數(shù)的冪次均為偶數(shù)嗎，有沒(méi)有可能存在一個(gè)質(zhì)數(shù)的冪次為奇數(shù)？這可以作為解決本題的一個(gè)切入點(diǎn).

2 解法研究

按照以上的想法，給出了以下兩種解法：

解法一若正整數(shù)a1，a2，…，a2024滿足要求，則1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方數(shù).但1009是質(zhì)數(shù)，而v10091！2！3！…2024！=1·2017－1009+1+2·2024－2017=1023，是奇數(shù)，矛盾！

解法二若正整數(shù)a1，a2，…，a2024滿足要求，則1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20242是完全平方數(shù).但677是質(zhì)數(shù)，而v6771！2！3！…2024！=1·1353－677+1+2·2024－1353=2019，是奇數(shù)，矛盾！

評(píng)注解法一和解法二有所類(lèi)似，其關(guān)鍵之處是找到一個(gè)質(zhì)數(shù)p，且滿足vp1！·2！·3！…2024！為奇數(shù)，滿足題目的不同質(zhì)數(shù)p都對(duì)應(yīng)一種新的解法.顯然，并不是所有的質(zhì)數(shù)都滿足條件的，比如v20171！·2！·3！…2024！=8并不是奇數(shù)，那么究竟怎么樣的質(zhì)數(shù)會(huì)滿足條件呢？

對(duì)于任意質(zhì)數(shù)p，根據(jù)帶余除法可得，2024=p·t+q0≤qlt;p，其中t=2024p.

當(dāng)t=1時(shí)，即p≥1013時(shí)，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2024！=1，則vp1！·2！·3！…2024！=2025－p為偶數(shù)，這也說(shuō)明若取一個(gè)比較接近于2024的質(zhì)數(shù)，不能直接說(shuō)明1！·2！·3！…2024！不是完全平方數(shù).

當(dāng)t=2時(shí)，即675≤p≤1012時(shí)，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…=vp2p－1！=1，vp2p！=…=vp2024！=2，則vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·2024－2p+1=4050－3p，因?yàn)閜為奇數(shù)，故4050－3p為奇數(shù).這也說(shuō)明了675和1012之間的質(zhì)數(shù)都可以用于本題的解答，而解法一和解法二中的677和1009僅僅是兩個(gè)特殊的例子.

當(dāng)t≥3，且滿足p2gt;2024時(shí)，即45≤p≤674時(shí)，對(duì)于1！，2！，…，2024！這2024個(gè)數(shù)，vp1！=…vpp－1！=0，vpp！=…vp2p－1！=1，……，vpt－1p！=…vptp－1！=t－1，vptp！=…vp2024！=t，∴vp1！·2！·3！…2024！=0·p－1+1·p+2·p+…+t－1·p+t·2024－tp+1=t·2025－pt+12.據(jù)此，當(dāng)t=3時(shí)，3·2025－2p為奇數(shù)，這個(gè)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)均可以用于本題的解決. 當(dāng)t≥3，且滿足45≤p≤674時(shí)，進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)t為一個(gè)4k型數(shù)時(shí)，t·2025－pt+12=2k·4050－p4k+1為偶數(shù)，這類(lèi)情況下的p不能用于本題的解決；

當(dāng)t為一個(gè)4k+1型數(shù)時(shí)，t·2025－pt+12=4k+1·［2025－p2k+1］為偶數(shù)，這類(lèi)情況下的p不能用于本題的解決；

當(dāng)t為一個(gè)4k+2型數(shù)時(shí)，t·2025－pt+12=2k+1·（［2025－p4k+3］為偶數(shù)，這類(lèi)情況下的p不能用于本題的解決；

當(dāng)t為一個(gè)4k+3型數(shù)時(shí)，t·2025－pt+12=4k+3·［2025－2pk+1］為奇數(shù)，這類(lèi)情況下的p可以用于本題的解決.

3.問(wèn)題推廣

當(dāng)然，將題干中的2024換成其它的數(shù)字，也可以用類(lèi)似的方法來(lái)解決.例如將2024改成2027，可以得到以下問(wèn)題：

問(wèn)題2能否將2027個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，使得相鄰兩數(shù)之積恰構(gòu)成集合1！，2！，…，2027??？

如果可以發(fā)現(xiàn)2027是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)結(jié)果顯然是不能成立的.

同樣的，如果將將2024改成2025，那么這類(lèi)問(wèn)題的解決和原問(wèn)題相似.

通過(guò)問(wèn)題2，可以得到以下推論：

推論1p為質(zhì)數(shù)，能否將p個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，相鄰兩數(shù)之積不能構(gòu)成集合1！，2！，…，p！.

評(píng)注因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，在1！，2！，…，p！中只有p！中含有質(zhì)因子p，所以可以得到vp（1！·2！·3！…p！）=1，故不可能構(gòu)成完全平方數(shù).

推論2p為質(zhì)數(shù)，k為偶數(shù)，能否將p+k1≤k≤p－1個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，相鄰兩數(shù)之積不能構(gòu)成集合1！，2！，…，p+k！.

因?yàn)関p1！·2！·3！…p+k！=k+1，k+1為奇數(shù)，故不可能構(gòu)成完全平方數(shù).

推論3p為質(zhì)數(shù)，k為偶數(shù)，能否將p+kp≤k≤2p－1個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，相鄰兩數(shù)之積不能構(gòu)成集合1！，2！，…，p+k！.

評(píng)注"通過(guò)計(jì)算分析，可得vp（1！·2！·3！…（p+k）?。?p+2k－p+1，p+2k－p+1為奇數(shù)，故不可能構(gòu)成完全平方數(shù).

當(dāng)然，推論3中有一個(gè)條件是p≥3，因?yàn)閜=2時(shí)這個(gè)結(jié)論不一定成立.

通過(guò)上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)改變尋找不同的質(zhì)數(shù)p可以得到不同的解法，通過(guò)改變2024這個(gè)數(shù)值，可以得到不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題.那么很自然的想法是，如果改編“相鄰兩個(gè)數(shù)”這個(gè)條件，例如改為“相鄰三個(gè)數(shù)”，這個(gè)問(wèn)題又會(huì)是怎么樣的？

問(wèn)題3能否將2024個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在圓周上，使得相鄰三數(shù)之積恰構(gòu)成集合1！，2！，…，2024??？

評(píng)注"通過(guò)整體的角度可以發(fā)現(xiàn)1！·2！·3！…2024！=a1a2…a20243，這時(shí)如果可以說(shuō)明1！·2！·3！…2024！不是完全立方數(shù)，那么問(wèn)題就不會(huì)成立.而說(shuō)明它不是立方數(shù)的方法即找到一個(gè)質(zhì)數(shù)p，vp1！·2！·3！…2024！不是3的倍數(shù).

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題一中解法一和解法二采用的質(zhì)數(shù)677和1009在這里失效了，因?yàn)関10091！2！3！…2024！=1023和v6771！2！3！…2024！=2019均為3的倍數(shù).再?gòu)墓?024=p·t+q0≤qlt;p的角度出發(fā)，令t=1，即p≥1013時(shí)， vp1！·2！·3！…2024！=2025－p，2025－p不是3的倍數(shù).故這個(gè)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)據(jù)可以取，例如1907，1913， 2003等； 當(dāng)t=2時(shí)，vp1！·2！·3！…2024！=4050－3p為3的倍數(shù)，也就是解法一和解法二中所取的質(zhì)數(shù)不能滿足條件的根本原因；當(dāng)t≥3時(shí)，有興趣的讀者可以進(jìn)一步分析.

參考文獻(xiàn)

［1］ 蒂圖·安德雷斯庫(kù)，加布里埃爾·多斯皮內(nèi)斯庫(kù)，奧列格·馬史卡洛夫著；羅煒譯. 數(shù)論：概念和問(wèn)題［M］. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 2021.

基金項(xiàng)目：寧波市效實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)資優(yōu)生選拔與培養(yǎng)模式的研究項(xiàng)目（RH2312005）