核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)建模課堂實踐探究

摘要：文章深入剖析了在核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)建模的重要性和實際價值，通過翔實的分析和討論，揭示高中數(shù)學(xué)建模對于學(xué)生核心素養(yǎng)提升的重要作用，并以此為基礎(chǔ)，以“指數(shù)函數(shù)模型和等比數(shù)列模型”的教學(xué)實踐為例，展開對高中數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)方式和方法的探索.旨在能夠通過這種實踐和探索，找到更加有效的教學(xué)策略和方法，以期在達成高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的同時，更好地實現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；課堂實踐

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0008-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：楊月瑩，博士，高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：廣東省教育規(guī)劃2021年度一般課題“基于學(xué)科大概念的數(shù)學(xué)情境微模型課程開發(fā)與實施的研究”（項目編號：2021YQJK603）.

高中階段開展數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)遠遠超出了單純的數(shù)學(xué)知識和技巧的傳授，將為學(xué)生打開一個全新的視野.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往只是被動地接受數(shù)學(xué)知識，而缺乏將其應(yīng)用于實際問題的能力.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價值，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力[1].數(shù)學(xué)建模問題比較復(fù)雜多樣，學(xué)生必須具備創(chuàng)新思維，學(xué)會與他人合作、交流和分享.數(shù)學(xué)建模問題涵蓋眾多領(lǐng)域，解決問題的過程就是拓寬視野和知識面的過程，增強跨學(xué)科綜合能力的過程.隨著社會對于創(chuàng)新人才的需求越來越迫切，數(shù)學(xué)建模作為一種跨學(xué)科、創(chuàng)新性的教學(xué)方式，對于培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才是非常重要的[2].鑒于此，我們開展了數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)實踐研究.

1核心素養(yǎng)目標(biāo)下高中數(shù)學(xué)建模的重要價值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對于數(shù)學(xué)建模的特點表述為“數(shù)學(xué)建模是通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識和方法構(gòu)建模型來解決問題的過程”，數(shù)學(xué)建模的具體步驟是“在實際情境中站在數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解出結(jié)論、驗證結(jié)果和改進模型、解決實際問題”，數(shù)學(xué)建模的作用是“把數(shù)學(xué)當(dāng)作工具來解決實際問題的基本手段，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力”.《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)建模不再僅僅是數(shù)學(xué)知識的一種應(yīng)用方式，更是提升學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力的關(guān)鍵途徑，是培養(yǎng)學(xué)生全面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).

高中數(shù)學(xué)建模強調(diào)從實際問題出發(fā)，通過抽象、建模、求解、驗證等一系列步驟，達到解決問題的目的.這一過程不僅要求學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，還需要他們具備將數(shù)學(xué)知識與實際問題相結(jié)合的能力，以及運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力[3].教師通過開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實踐活動，可以促使學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，達成增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動力的目標(biāo)，鍛煉學(xué)生在面對復(fù)雜問題時獨立思考、勇于探索、敢于創(chuàng)新的解決問題能力.

理解和領(lǐng)悟《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對于高中數(shù)學(xué)建模的理論價值和實踐意義.首先，要深刻認識到數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用技能，更是一種重要的思維方式和解決問題的方法[4].其次，要注重數(shù)學(xué)建模的實踐應(yīng)用.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)只有結(jié)合具體恰當(dāng)?shù)膶嶋H問題進行教學(xué)，才能讓學(xué)生更好地理解模型的理論和方法[5].而且，還要加強數(shù)學(xué)建模與其他學(xué)科的融合.數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)，還與其他學(xué)科密切相關(guān)，跨學(xué)科的教學(xué)方式，可以讓學(xué)生更好地理解和掌握學(xué)科綜合知識，提高他們的綜合素養(yǎng)[6].

2核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)建模課堂實踐

2.1設(shè)定數(shù)學(xué)建模課程目標(biāo)

高中數(shù)學(xué)中，指數(shù)函數(shù)模型的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生能夠理解指數(shù)函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象，掌握其應(yīng)用，并能用其解決簡單實際問題，這有助于全面理解函數(shù)概念.等比數(shù)列模型教學(xué)基于數(shù)列基本概念、性質(zhì)及等差數(shù)列，目標(biāo)是使學(xué)生理解等比數(shù)列特性和公式，掌握其應(yīng)用，解決特定增長或衰減問題.通過學(xué)習(xí)，學(xué)生可深入理解數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)思維靈活性和深度.

指數(shù)函數(shù)模型與等比數(shù)列模型都是研究數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，涉及增長或衰減.指數(shù)函數(shù)模型描述連續(xù)變化的數(shù)量，如人口增長；等比數(shù)列模型描述離散變化的數(shù)量，如銀行復(fù)利.兩者形式不同，但本質(zhì)相同.指數(shù)函數(shù)模型用連續(xù)函數(shù)表達式描述，圖象為連續(xù)曲線；等比數(shù)列模型用離散數(shù)列描述，圖象為離散點.指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用更廣，描述復(fù)雜連續(xù)變化；等比數(shù)列模型適用于描述特定增長或衰減的離散過程.

根據(jù)課程目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生認知水平和需求，指數(shù)函數(shù)模型教學(xué)需引入實際問題，讓學(xué)生理解應(yīng)用價值；等比數(shù)列模型教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)邏輯思維和歸納推理能力，掌握求解方法.加強兩個模型之間的聯(lián)系和對比，使學(xué)生能夠更好地理解它們的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，從而形成完整的數(shù)學(xué)知識體系.

2.2構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教學(xué)框架

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)不是單獨成體系的，知識點之間有層次也有關(guān)聯(lián)，需要系統(tǒng)化、綜合化開展教學(xué).比如指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用范疇很廣泛，在等比數(shù)列模型中，再次有指數(shù)函數(shù)模型的體現(xiàn)，但指數(shù)函數(shù)模型是在高中數(shù)學(xué)人教A版必修一中詳細展現(xiàn)過，等比數(shù)列的模型出現(xiàn)在人教A版選擇性必修二中，這兩部分知識有很大程度的關(guān)聯(lián)，也有知識的層次遞進，在教學(xué)安排上也有一定的時間跨度.為了妥善處理指數(shù)函數(shù)模型與等比數(shù)列模型這兩部分知識的講解，并確保它們之間的關(guān)聯(lián)性和層次遞進性得以充分體現(xiàn)，我們要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教學(xué)的框架體系.

首先，在教學(xué)計劃上，我們應(yīng)提前規(guī)劃好這兩部分內(nèi)容的教學(xué)順序和時長.由于指數(shù)函數(shù)模型是基礎(chǔ)，因此在教學(xué)人教A版必修一中的指數(shù)函數(shù)模型時，我們需要確保學(xué)生對其有深入的理解和掌握，這包括指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及模型應(yīng)用等方面.同時，在教授過程中，我們可以適當(dāng)引入一些與等比數(shù)列相關(guān)的例子，為后續(xù)的等比數(shù)列教學(xué)埋下伏筆.

其次，在教授人教A版選擇性必修二中的等比數(shù)列模型時，我們可以從回顧指數(shù)函數(shù)模型開始，幫助學(xué)生建立起兩者之間的聯(lián)系.對比兩者的定義、性質(zhì)和應(yīng)用場景，使學(xué)生明確兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系.同時，我們可以設(shè)計一些綜合性的題目，讓學(xué)生在實際解題中運用指數(shù)函數(shù)模型和等比數(shù)列模型，加深對它們的理解和掌握.

此外，為了增強學(xué)生的應(yīng)用能力，我們可以組織一些數(shù)學(xué)建?；顒踊蝽椖?這些活動或項目可以圍繞指數(shù)函數(shù)模型和等比數(shù)列模型展開，讓學(xué)生在實際問題中運用所學(xué)知識進行建模和求解.通過這種實踐性的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)知識在實際問題中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力.

最后，我們還需要注意教學(xué)方法的多樣性.在教學(xué)過程中，我們可以采用講授、討論、案例分析等多種教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.同時，我們還可以利用數(shù)據(jù)分析軟件和數(shù)據(jù)收集等現(xiàn)代教學(xué)手段，使教學(xué)更加生動、形象、直觀.

通過合理設(shè)置教學(xué)計劃、建立知識聯(lián)系、組織實踐活動以及采用多種教學(xué)方法等策略，我們可以有效地處理指數(shù)函數(shù)模型與等比數(shù)列模型這兩部分知識的講解，確保學(xué)生能夠在掌握基礎(chǔ)知識的同時，提高他們的系統(tǒng)性建模能力和綜合思維素養(yǎng).

2.3數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)安排

2.3.1以指數(shù)函數(shù)模型為例，建模課堂教學(xué)基本步驟

針對高中數(shù)學(xué)人教A版必修一中的指數(shù)函數(shù)模型，首先，回顧指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)及圖象特征，為建模奠定理論基礎(chǔ)；然后，介紹與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)利的起源、細菌的指數(shù)增長等，增加課堂的趣味性.以生活中的實例，如人口增長、放射性衰變、細菌繁殖等，引出指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用背景.新課的教學(xué)步驟：

（1）問題設(shè)定：提出一個具體的實際問題，如人教A版必修一“函數(shù)的應(yīng)用”“例3人口增長模型”，預(yù)測我國某時間段的人口增長情況，讓學(xué)生明確建模目標(biāo).

（2）數(shù)據(jù)收集：指導(dǎo)學(xué)生收集相關(guān)數(shù)據(jù)的方法，如歷年人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，暫不考慮出生率、死亡率等.

（3）模型假設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題背景和數(shù)據(jù)特點，提出合理的模型假設(shè)，如假設(shè)人口增長率是恒定的.

（4）建立模型：根據(jù)假設(shè)，利用指數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型.例如，設(shè)初始人口為N0，年平均增長率為r，則t年后的人口數(shù)為N（t） = N0 （1 + r）t.

（5）模型求解：利用已收集的數(shù)據(jù)，求解模型中的參數(shù)，如N0和r.

（6）模型檢驗：利用求解得到的參數(shù)，對模型進行檢驗，觀察模型是否能較好地擬合實際數(shù)據(jù).

（7）模型預(yù)測：利用已建立的模型，對未來的人口增長情況進行預(yù)測.

教學(xué)中，可根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整進度，分組討論建模過程及結(jié)果，相互學(xué)習(xí).每組選代表展示成果，接受提問點評.教師總結(jié)評價，指出問題及建議.課后布置練習(xí)題和實際問題，鞏固提高.推薦相關(guān)閱讀材料或網(wǎng)站，供學(xué)生自學(xué)拓展.

2.3.2等比數(shù)列模型研究

當(dāng)我們深入探討人教A版選擇性必修二中的等比數(shù)列模型時，不難發(fā)現(xiàn)它與指數(shù)函數(shù)模型某些方面有著密切的聯(lián)系，但在定義、性質(zhì)和應(yīng)用方面又都有著各自獨特之處.等比數(shù)列是由一個非零的常數(shù)（即公比）所確定的，從第二項起，每一項與它的前一項的比值都等于這個常數(shù)的一列數(shù).而指數(shù)函數(shù)則是一種以指數(shù)為自變量的函數(shù)關(guān)系.從性質(zhì)上來看，等比數(shù)列的公比決定了數(shù)列的增長或衰減速度，當(dāng)公比大于1時，數(shù)列呈現(xiàn)出增長的趨勢；當(dāng)公比小于1但大于0時，數(shù)列則呈現(xiàn)出衰減的趨勢.等比數(shù)列的通項公式和求和公式也體現(xiàn)了其獨特的性質(zhì).而指數(shù)函數(shù)則具有連續(xù)性、單調(diào)性，圖象呈現(xiàn)出一種連續(xù)且平滑的曲線形態(tài).

因此構(gòu)建等比數(shù)列模型，常常被用來描述一些具有等比關(guān)系的實際問題，如銀行存款的復(fù)利計算、細菌數(shù)量的增長等.人教A版選擇性必修二中的等比數(shù)列模型在解決實際問題時的分析和求解逐層深入.

在人教A版選擇性必修二“等比數(shù)列概念”的例4：用10 000元購買某個理財產(chǎn)品一年.

（1）若以月利率0.400%的復(fù)利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？

（2）若以季度復(fù)利計息，存4個季度，則當(dāng)每季度利率為多少時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到10-5）？

為了解答這個問題，學(xué)生需要明確在理財產(chǎn)品的復(fù)利計算中，無論是按月還是按季，每一期的本金加利息都會作為下一期的本金，從而形成一個等比數(shù)列.我們需要將實際問題數(shù)學(xué)化的過程，比如設(shè)每月的利率為r，這里r=0.400% = 0.004.初始本金為P=10 000元，并且將復(fù)利公式表示為A=P（1+r）n，其中A是n個月后的本息和，P是本金，r是月利率，n是月數(shù).同理，獲得每季度的復(fù)利公式為

A′=P（1+q）4，數(shù)學(xué)化的過程是學(xué)生建模過程中的第一關(guān)卡，也是非常重要的第一個步驟.

這個問題涉及了金融學(xué)中的復(fù)利概念.復(fù)利作為一種計算利息的方法，與單利不同，復(fù)利使得投資者可以在更長的時間內(nèi)獲得更高的收益，考慮到了利息的累積效應(yīng).建模過程需要對利率和利息之間的關(guān)系有深入的理解，并能夠利用等比數(shù)列的原理進行計算.通過解決這個問題，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)建模知識在金融學(xué)中的實際運用.

再如，人教A版選擇性必修二“等比數(shù)列的前n項和公式”的例10：正方形ABCD的邊長為5 cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.（1）求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？這道題目巧妙地結(jié)合了等比數(shù)列的求和公式與極限的概念.每次取中點并構(gòu)造新的正方形，新正方形的邊長都是前一個正方形邊長的一半，這意味著，每次新構(gòu)造的正方形的面積都是前一個正方形面積的1/4.這是一個典型的等比數(shù)列問題，其中首項為S1 =25 cm，公比為q=1/4.

需要求連續(xù)10個正方形的面積之和，這實際上是求等比數(shù)列的前10項和，利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少，這實際上是在求等比數(shù)列的無窮項和，即極限.由于公比q=1/4＜1，等比數(shù)列的無窮項和存在，這是極限思想的體現(xiàn).在處理這類問題時，首先要識別出問題的本質(zhì)是一個等比數(shù)列求和問題，當(dāng)涉及無窮項和時，需要利用極限的概念和性質(zhì)來求解.這種思維方法不僅在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在物理、工程等其他領(lǐng)域也有重要的應(yīng)用.

3結(jié)束語

深入探討核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模元素，對學(xué)生全面發(fā)展有重要作用.剖析高中數(shù)學(xué)建模，認識到其能提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識和思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識、實踐能力和團隊合作精神，對提升核心素養(yǎng)至關(guān)重要.通過“指數(shù)函數(shù)模型”和“等比數(shù)列模型”的教學(xué)實踐，教師能夠精細全面地理解高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略和方法，通過實踐探索，發(fā)掘驗證更有效的教學(xué)策略，推動學(xué)生核心素養(yǎng)全面發(fā)展，培養(yǎng)其解決問題的能力，提升思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神.

這兩個模型不僅僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要概念，它們更是現(xiàn)實世界復(fù)雜問題的一種簡化表達.現(xiàn)實生活的案例更加豐富和復(fù)雜，我們應(yīng)不斷地探索、實踐完善和優(yōu)化高中數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)策略和方法，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題，為學(xué)生未來的進一步深造打下堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

［1］ 姜艷輝.數(shù)學(xué)建模方法融入高中數(shù)學(xué)專題課的案例分析[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報，2019，33（03）：159-161.

[2] 吳華，劉俊含.STEM與高中數(shù)學(xué)建模相融合的教學(xué)設(shè)計[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2021（02）：42-44.

[3] 田錕.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義及策略[J].教育科學(xué)論壇，2022（16）：56-58.

[4] 楊健，王勇強.推進課堂教學(xué)轉(zhuǎn)型 落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：以“體重與脈搏”的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（11）：55-58，62.

[5] 孫峰.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)滲透方法與策略[J].樂山師范學(xué)院學(xué)報，2022，37（12）：114-118.

[6] 桂小兵.巧借教材習(xí)題設(shè)計數(shù)學(xué)建?；顒樱阂匀私藺版高中數(shù)學(xué)新教材兩道習(xí)題為例[J].中學(xué)教學(xué)參考，2024（14）：1-4.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］