激發(fā)內在動機實現(xiàn)素養(yǎng)生成

摘要：文章結合CNKI數(shù)據庫檢索，經數(shù)據分析歸納出數(shù)列單元教學需要重點關注的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學抽象，并針對這兩個核心素養(yǎng)，分別設計了一個教學案例，對于如何培養(yǎng)學生的學習興趣，給出了教學內容選擇的建議.

關鍵詞：邏輯推理;數(shù)學抽象;學習興趣;內在動機

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0064-04

收稿日期：2024-11-25

作者簡介：楊心達，碩士研究生，從事數(shù)學教學研究；王文，博士，教授，從事數(shù)學教學研究.

基金項目：合肥師范學院2024年研究生創(chuàng)新基金項目（項目編號：2024yjs059）；合肥師范學院校級科研成果（項目編號：2022JCJYZD10）.

“順木之天，以致其性”，教育要避免急功近利、拔苗助長.我國現(xiàn)在的數(shù)學教育，很多時候背離了學生的天性，讓他們或是在沒有能力學好數(shù)學的時候討厭上了數(shù)學，或是成了唯分數(shù)論的機器.本文嘗試將悖論、智力題等融入高中數(shù)學教學中，以期激發(fā)學生的學習興趣和好奇心，培養(yǎng)學生對于數(shù)學的熱愛，實現(xiàn)不以應試為目的的素養(yǎng)生成.

1研究背景

在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中，規(guī)定了教學需要重點關注學生的必備品格和關鍵能力，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據分析六大數(shù)學核心素養(yǎng)[1].

要著力發(fā)展核心素養(yǎng)，根本是要面對新時代對提高全體國民素質和人才培養(yǎng)質量的新要求，進一步提升學生的綜合素質[2].而這種新要求，一定不是建立在一定時期內的唯分數(shù)論的單一評價模式上的，這一點

在高中數(shù)學中體現(xiàn)得格外明顯.我們需要學生更靈活地運用數(shù)學，能更好地用數(shù)學的語言、數(shù)學的方法、數(shù)學的思維去發(fā)現(xiàn)、分析并解決現(xiàn)實生活中的問題，而這樣超出應試化、更高維度的能力要求是同時針對教師和學生的.這種要求既體現(xiàn)在知識、技能、思想上，也體現(xiàn)在情感態(tài)度價值觀上.本文在激發(fā)學生的內在動機的基礎上，以激發(fā)學生對數(shù)學的喜愛、更高效地培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標，進行部分教學設計.

在《數(shù)列》這一章節(jié)的教學中，具體的目標包括：要求學生能夠通過生活的實例，

理解數(shù)列的概念、通項的意義；掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解通項公式與前n項和公式的關系；能解決具體情境中的

問題.

筆者以兩種途徑，在CNKI數(shù)據庫中搜索，其一以數(shù)列為主題，以每個具體的核心素養(yǎng)為關鍵詞進行搜索，檢索到碩士及博士論文共131篇，其中大部分集中在邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象三大核心素養(yǎng)中.其二聚焦在等比數(shù)列主題上，也有類似的情況.我們認為，在《數(shù)列》章節(jié)的教學中，應該重點關注學生的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象三種具體的核心素養(yǎng)，而這一規(guī)律在等比數(shù)列這一具體的數(shù)列中同樣適用且也與《課標》中對應主題（選修性必修函數(shù)主題之數(shù)列與一元函數(shù)導數(shù)及其應用）的學業(yè)要求相契合（檢索結果如圖1）.

基于該章節(jié)教學需要重點培養(yǎng)三種具體的核心素養(yǎng)這一觀念，本文重點關注在等比數(shù)列這一具體的課例教學中，應當如何設計并實施教學，主要是教學內容的設計.

2問題提出

數(shù)學教學中，關注學生的學習動機是必要的，能夠影響學生數(shù)學學習效果，除了“Skill”，還有“Will” [3].內在動機的行為是基于興趣而進行的，培養(yǎng)學生對數(shù)學的熱愛，應當是數(shù)學教育的基點.

心理學家對產生興趣的因素進行歸納，主要集中在謎語、謎題和帶有轉折的故事等.馬丁·加德納認為，選擇趣味性的智力題或者是悖論等，能喚醒學生的學習興趣，調動學生學習的積極性；談祥柏會把數(shù)學發(fā)展過程中的經典問題加入學習內容中.那么作為一線教師，選擇什么樣的教學內容能更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣呢？

3教學建議

教學當中可以適當融入典型的悖論及智力題來激發(fā)學生的學習動機.典型的悖論更傾向于邏輯推理，智力題則更傾向于實際應用，而這也正是數(shù)學學習動機培養(yǎng)的兩個關鍵[4].

3.1提供典型的悖論

一些似是而非的問題更有利于引發(fā)學生的思考，在思考的過程中，更容易感悟該問題的本質[5].學生若要驗證問題的真?zhèn)危托枰獓烂艿臄?shù)學論證，這也正是從歸納推理到演繹推理、從猜想到證明的過程.而學生完成證明的成就感便可激發(fā)學生內在動機，進而演化成對數(shù)學的喜愛.

3.2提供典型的智力題

在智力題中應用數(shù)學，能讓學生更直觀地感受到數(shù)學的價值，數(shù)學的學習是可以應用于實際生活的.這種智力題的選擇，以學生此前參與過的智力題為最佳.選取學生年幼時玩過的智力題，能更好地將學生帶入其中，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學.智力題內容的選擇不僅限于智力測試中紙面上的題目，一些益智類的游戲本質也能回歸到智力題上.

4數(shù)列教學案例設計

選擇能激發(fā)學生學習興趣的教學內容實際上是試誤，就像我們沒法從一個孩子嘴里了解到他喜愛吃什么，只能看哪個食物他吃得更多.同理，我們很難通過詢問了解到什么可以激發(fā)學生的興趣，只能嘗試

把我們認為他們會喜歡的東西優(yōu)先提供給他們，看他們對這類事物的反應.下面兩個教學內容的設計，就是兩個嘗試.

4.1基于邏輯推理的教學設計案例——提供典型的悖論

在數(shù)列的課程設計中，可以適當融入一些要求學生具備邏輯思維能力的問題，以培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).譬如可以引入遞歸問題，培養(yǎng)學生的遞推思維；引入需要類比解決的問題，培養(yǎng)學生的比較思維；引入需要反證法解決的問題，培養(yǎng)學生的逆向思維等.如下述案例借助了數(shù)列培養(yǎng)學生的遞推思維.

這里可以引入一個典型的問題——芝諾悖論：若烏龜（跑得慢的人）只要比兔子（跑得快的人）先出發(fā)，就永遠不會被追上，因為當兔子跑到烏龜先前所在的地方時，烏龜一定也向前移動了一定的距離，這樣會導致兔子每追上烏龜一段路程，烏龜都又向前移動了，最終永遠也追不上.顯然，這是一個似是而非的解釋，可以讓學生嘗試用不同的方式，闡述這個悖論錯在哪里，要求做到邏輯自洽.

設計意圖這樣的一個悖論，即便是用普通人最樸素的想法理解，也是一定能追上的，但是往往難以在相同的邏輯層面予以解釋.我們在引導學生思考時，可以讓學生嘗試把它抽象成一個數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以闡釋.而這個闡釋過程，就是在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，因為需要學生以自洽的證明方式解釋問題.

比如可以將該問題轉化成一個求等比數(shù)列前n項和的問題予以證明.

即證明了總時間Tn是不大于一個定值dv2-v1的，也就是會在一定時間內追上.

設計意圖這里由于學生還沒有學到極限的內容，可以考慮用放縮的方法，最終證明總時間是不超過定值的，這與學生小學時學到的追擊問題，追擊路程=速度差×時間是契合的.而后續(xù)在選修中講解到數(shù)列極限的問題時，可以再把這個生動的問題拿出來讓學生回顧，以加深學生對極限的理解.這樣的一個問題，可以同時發(fā)展學生的數(shù)學建模思想以及數(shù)學運算能力.

4.2基于數(shù)學抽象的教學設計案例——提供典型的智力題

在課程設計中，可以融入下面一個情境化的問題，嘗試讓學生完成問題的解決，并在問題解決的過程中體會用數(shù)學的視角、數(shù)學的語言去表達生活中的情境，用數(shù)學的思維、抽象的方法解決生活中的問題.

漢諾塔是著名數(shù)學家愛德華·盧卡斯發(fā)明的一款以印度神話為背景的休閑數(shù)學游戲（如圖2），具體的玩法如下.

共有3根木棒，A木棒上擺放著由下到上逐漸變小的n個木塊，要求每次只能移動一個木塊，且無論如何移動，必須保證小木塊擺在大木塊的上面.

試問：（1）當有3塊木塊時（即n=3時），最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

（2）當有4塊木塊時（即n=4時），最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

（3） n塊木塊，最少需要幾次才能將所有木塊從A木棒全部移動至C木棒.

設計意圖解決這樣的一個具體問題，需要學生具備一定的能力.首先需要學生對問題嘗試歸納出n=1時，最小的移動次數(shù)a1=1（以下記為an），n=2時，a2=3 ，n=3時，a3=7等.其次是發(fā)現(xiàn)邏輯中的遞歸關系，如4個木塊從A移動到C，本質上可以轉化成先將最小的3個木塊從A移動到B，再將最大的木塊從A移動到C，最后完成將3個最小的木塊從B移動到C，而這樣的遞歸關系也是發(fā)現(xiàn)此游戲本質的關鍵.最后還需要用數(shù)學歸納法將n=k時的情況推廣到n=k+1時成立.最終得出an=2n-1這一結論.而在嚴密證明前對結論的猜測，需要對等比數(shù)列以及等比數(shù)列的變形性質的敏感，即聯(lián)想到等比數(shù)列和等比數(shù)列+常數(shù)c的模型的重要特征——每相鄰兩項的差依舊是等比數(shù)列，歸納猜測出n為不同值時，最小移動次數(shù)的規(guī)律，同時掌握1，3，7，15，31數(shù)列的特征，也有利于問題的解決.

而以整理、抽象、轉化為下列數(shù)學問題：

a1=1，a2=3，an=2an-1+1，求an的通項公式.

進而轉化成典型的數(shù)列問題進行求解：

因為an=2an-1+1，

所以an+1=2an-1+2.

令bn=an+1，

則bn=2bn-1.

bn是公比為2的等比數(shù)列，

所以b1a1+1=2.所以bn=2n.所以an=2n-1.

數(shù)學歸納法在學生的數(shù)學思維培養(yǎng)中起著重要作用，而其中所蘊藏的文化內涵，也正是文化育人的好素材[6].上述的問題，除了有助于數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)外，也在一定程度上

增加了學生對數(shù)學的喜愛之情的養(yǎng)成，讓學生可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學是能夠切實解決現(xiàn)實問題的，不只是能夠解決相對工作化場景的問題，同樣可以解決相對生活化、游戲化的問題.

5結束語

我們會發(fā)現(xiàn)，上述兩個問題的引入，都融合了數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).此前學界更多的關注點是將趣味性問題融入小學學段的數(shù)學教學中，而鮮有融入中學，尤其是高中.而筆者在此前的教學實踐中發(fā)現(xiàn)即便是初中生，甚至是高中生，也會對這樣趣味性的問題表現(xiàn)出較高的興致，故作一個簡單的結合，將這種趣味性嘗試應用于高中生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中.

教師可以在教學中適當引入一些典型的智力題或是悖論等內容引發(fā)學生興趣，以此來調動學生的學習積極性，激發(fā)學生的學習欲望，而這也與著名數(shù)學家馬丁·加德納的思想相契合.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 張奠宙，馬文杰.簡評“數(shù)學核心素養(yǎng)”[J].教育科學研究，2018（09）：62-66，85.

[3] 王婷婷.自我調節(jié)學習過程中的動機研究[D].上海：華東師范大學，2008.

[4] 劉振達，王青建，邵茹.從數(shù)學史角度研究數(shù)學學習動機[J].數(shù)學教育學報，2012，21（03）：26-30.

[5] 林玉慈.高中數(shù)學課程中的邏輯推理及教學策略研究[D].長春：東北師范大學，2019.

[6] 紀定春，蔣紅珠，王若飛.數(shù)學歸納法的應用與建議[J].數(shù)理化解題研究，2020（10）：44-46.

［責任編輯：李慧嬌］