高中“數(shù)列”單元教學(xué)的“問題鏈”進(jìn)階設(shè)計(jì)

摘要：以“數(shù)列”單元為例，教學(xué)設(shè)計(jì)以“問題鏈”為主線，分四個(gè)階梯水平：概念建立水平、知識(shí)理解水平、綜合應(yīng)用水平和拓展探究水平，從低階到高階的思維邏輯逐級(jí)展開.

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)進(jìn)階；數(shù)列；單元課；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）06-0018-03

收稿日期：2024-11-25

作者簡(jiǎn)介：康策，碩士，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；沈南山，博士，教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：合肥師范學(xué)院研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目“基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中立體幾何教學(xué)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2024yjs068）；安徽省高校人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重點(diǎn)項(xiàng)目“基于課例研究的數(shù)學(xué)教師學(xué)科教學(xué)知識(shí)”（MPCK）的發(fā)展與實(shí)踐（項(xiàng)目編號(hào)：SK2021A0486）.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它不僅具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還與實(shí)際生活密切相關(guān).在數(shù)列的教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解數(shù)列的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，是教師需要關(guān)注的重點(diǎn).學(xué)習(xí)進(jìn)階理論為數(shù)列教學(xué)提供了一種有效的指導(dǎo)框架，通過設(shè)計(jì)“問題鏈”，可以引導(dǎo)學(xué)生在不同的進(jìn)階水平上逐步提升對(duì)數(shù)列的理解和應(yīng)用能力.

1學(xué)習(xí)進(jìn)階的教學(xué)邏輯

學(xué)習(xí)進(jìn)階是指學(xué)生在一定時(shí)間內(nèi)對(duì)某一主題的學(xué)習(xí)和探索過程逐步提升、層層遞進(jìn)的思考模式.這些思考模式會(huì)隨著學(xué)生對(duì)該主題的學(xué)習(xí)和探索而依次、持續(xù)地發(fā)展[1].學(xué)習(xí)具有階梯型發(fā)展水平，學(xué)習(xí)進(jìn)階強(qiáng)調(diào)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程中，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解逐步深入和思維方式的不斷優(yōu)化.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階衡量學(xué)生認(rèn)知和學(xué)習(xí)水平，具有重要的指導(dǎo)意義.從低階思維到高階思維的發(fā)展，教學(xué)邏輯有四個(gè)層級(jí)的螺旋式設(shè)計(jì)：其一，精準(zhǔn)定位學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確學(xué)生在不同進(jìn)階階段應(yīng)掌握的知識(shí)與技能；其二，按照進(jìn)階順序合理組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，從基礎(chǔ)概念逐步深入到理解與應(yīng)用；其三，根據(jù)學(xué)生所處的進(jìn)階層次設(shè)計(jì)有針對(duì)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)和練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生思維的逐步提升，因材施教；其四，激發(fā)學(xué)生的元認(rèn)知，拓展探究高階目標(biāo).由此，依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階能更好地落實(shí)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2學(xué)習(xí)進(jìn)階：“數(shù)列”單元教學(xué)設(shè)計(jì)分析

2.1“數(shù)列”單元知識(shí)結(jié)構(gòu)與進(jìn)階水平層次劃分

數(shù)列單元由數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列等構(gòu)成.就單元內(nèi)部的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言，數(shù)列的概念是基礎(chǔ)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個(gè)重點(diǎn)學(xué)習(xí)的核心概念，且所涵蓋的知識(shí)內(nèi)容是同構(gòu)的，主要包含等差等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及基本性質(zhì)等.從知識(shí)聯(lián)系的角度來講，數(shù)列的學(xué)習(xí)建立在整數(shù)、代數(shù)式的運(yùn)算以及其他基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，并且與函數(shù)、不等式等知識(shí)緊密聯(lián)系，相互滲透，共同構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，且廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題.

數(shù)列單元教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)進(jìn)階，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)及教學(xué)內(nèi)容，從問題解決的視角，將學(xué)生的學(xué)習(xí)劃分成四個(gè)依次遞進(jìn)的水平：

（1）水平一：通過“基本計(jì)算”，了解數(shù)列的定義、分類以及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算；

（2）水平二：通過“思維方法”，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，能夠運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)解決一些較為復(fù)雜的計(jì)算問題；

（3）水平三：通過“綜合應(yīng)用”，將數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題；

（4）水平四：通過“拓展探究”，能夠以數(shù)列為工具，進(jìn)行一些項(xiàng)目化問題的課題研究和“數(shù)學(xué)建模”.

2.2“數(shù)列”單元進(jìn)階起點(diǎn)分析與終點(diǎn)預(yù)設(shè)

“數(shù)列”選自人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章，該章節(jié)是代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，是對(duì)函數(shù)、方程思想的具體應(yīng)用.數(shù)列學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)是函數(shù)知識(shí)，學(xué)生容易學(xué)習(xí)數(shù)列的基本概念，能夠通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解數(shù)列問題，能夠運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.然而，學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的整體把握不夠，與其他知識(shí)的融合度較低，缺乏解題的通用策略，綜合應(yīng)用能力及邏輯推理能力有待提高，數(shù)學(xué)思維仍需進(jìn)一步加強(qiáng).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020 年修訂）》中對(duì)“數(shù)列”知識(shí)的要求是：掌握數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題等[2].所以，在教學(xué)中要運(yùn)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論設(shè)置學(xué)生學(xué)習(xí)的終點(diǎn)目標(biāo)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間搭建適宜的“橋梁”，使學(xué)生可以順著橋梁逐步提升，并最終深入理解數(shù)列的相關(guān)知識(shí).依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，數(shù)列單元課的進(jìn)階終點(diǎn)預(yù)設(shè)為掌握數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式等基本概念，構(gòu)建知識(shí)框架，能夠運(yùn)用以上知識(shí)并結(jié)合“函數(shù)、不等式”等知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，深刻領(lǐng)悟和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和價(jià)值觀.

2.3“數(shù)列”單元課進(jìn)階教學(xué)設(shè)計(jì)

2.3.1進(jìn)階水平一：概念建立水平

學(xué)習(xí)數(shù)列有關(guān)定義，設(shè)置下列“問題鏈”.

問題1等差數(shù)列an中，已知a3=8，a8=20，求d和a1.

問題2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Sn=2n2+3n，求a6和公差d.

問題3等比數(shù)列bn中，b2=3，b5=81，求q和b10.

問題4等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和公式為Tn=3n-1，求b8和公比q.

設(shè)計(jì)意圖通過問題1至問題4，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念，從而讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，建立起對(duì)數(shù)列概念的清晰認(rèn)知，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，有助于學(xué)生建立起對(duì)數(shù)列知識(shí)的系統(tǒng)性認(rèn)知，將各個(gè)分散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2.3.2進(jìn)階水平二：知識(shí)理解水平

進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)數(shù)列的掌握程度.在這個(gè)階段，學(xué)生不僅要熟悉數(shù)列的基本概念，還要能夠靈活運(yùn)用各種計(jì)算方法，構(gòu)造下列“問題鏈”.

問題1已知a1=2，an+1=3an+2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

問題2若等比數(shù)列an的公比為2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）若bn=log2an+an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

問題3已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足a1+3a2+5a3+…+（2n-1）an=2n（n∈N*）.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）記bn=an2n+1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

問題4設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=1，2Sn=nan.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列an+12n的前n項(xiàng)和Tn.

設(shè)計(jì)意圖通過問題1的構(gòu)造法、問題2的分組求和法、問題3的裂項(xiàng)相消法、問題4的錯(cuò)位相減法，引導(dǎo)學(xué)生求出通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，提升解題能力與思維靈活性，加深對(duì)數(shù)列性質(zhì)的理解.

2.3.3進(jìn)階水平三：綜合應(yīng)用水平

學(xué)生在掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)與各種運(yùn)算方法后，步入進(jìn)階水平三.此階段旨在促使學(xué)生將數(shù)列知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相融合，設(shè)計(jì)以下“問題鏈”：

問題1在數(shù)列an中，a1=1，a2=2，記AnAn+1

=

（an，an+1）（n∈N*），且A1A2∥AnAn+1對(duì)任意

n∈N*恒成立，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

問題2已知函數(shù)f（x）=xα的圖象過點(diǎn)4，2，令an=1f（n+1）+f（n），n∈N*，記數(shù)列an的前n項(xiàng)為Sn，則S2018=？

問題3已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an

+1n∈N*，若數(shù)列an+1an+2an+1+2的前n項(xiàng)和為Tn．那么對(duì)于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍？

問題4已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，若直線y=12a1x+m與圓x-22+y=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y-d=0對(duì)稱，則數(shù)列1Sn的前100項(xiàng)和等于？

問題5《周髀算經(jīng)》有記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)增減情況相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪這連續(xù)的十二個(gè)節(jié)氣，它們的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄和測(cè)算，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長(zhǎng)之和為16.5尺，而這十二節(jié)氣的全部日影子長(zhǎng)之和為84尺，那么大雪的日影子長(zhǎng)為多少？

設(shè)計(jì)意圖問題1涉及平面向量知識(shí)，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算來求解；通過問題2，將數(shù)列與函數(shù)交匯，根據(jù)函數(shù)的運(yùn)算法則和裂項(xiàng)相消法求an即可求出；通過問題3，將數(shù)列與不等式結(jié)合，由題設(shè)易知an+1是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，進(jìn)而得到an+1an+2an+1+2=12n+1+1-12n+1，裂項(xiàng)相消法求Tn，從而根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍；問題4結(jié)合解析幾何，通過兩直線垂直且直線x+y-d=0過圓心求得a1和d，從而求得數(shù)列1Sn的前100項(xiàng)和；問題5是數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，可設(shè)夏至的日影長(zhǎng)為a1，公差為d，根據(jù)題意，列出方程組即可求解.

2.3.4進(jìn)階水平四：拓展探究水平

學(xué)生完成前三個(gè)進(jìn)階水平后，進(jìn)入進(jìn)階水平四.通過小組合作的方式完成下列“問題鏈”.

問題1“數(shù)列”單元看似簡(jiǎn)單，卻有著豐富的內(nèi)涵，現(xiàn)在請(qǐng)大家以小組合作的方式從以下課題中選擇一個(gè)進(jìn)行研究：

（1）“數(shù)列”的發(fā)展歷史；

（2）整理“等差數(shù)列與等比數(shù)列”的通項(xiàng)公式與求和公式的推導(dǎo)方法（不少于 5 種）.

問題2各小組圍繞如下話題試著制作一張專題手抄報(bào)：

（1）古今中外數(shù)學(xué)家研究“等差數(shù)列與等比數(shù)列”的有趣故事；

（2）詳細(xì)介紹一種你搜集到的 “等差數(shù)列與等比數(shù)列”通項(xiàng)公式或求和公式推導(dǎo)方法中的一種；

（3）在本次課題學(xué)習(xí)中你有哪些收獲和遇到的問題.

設(shè)計(jì)意圖在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行項(xiàng)目化研究性學(xué)習(xí)，進(jìn)一步深入了解數(shù)列的演變歷程以及各類數(shù)列（如等差數(shù)列、等比數(shù)列等）的特點(diǎn)和相關(guān)公式的推導(dǎo)過程，并通過制作手抄報(bào)的形式展示成果，從而潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3結(jié)束語(yǔ)

學(xué)習(xí)進(jìn)階是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.在“數(shù)列”單元教學(xué)中，以“問題鏈”為主線，以“問題解決”為核心，構(gòu)建深化數(shù)列認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成和發(fā)展的進(jìn)階路徑，力求促使學(xué)生思考，培育數(shù)學(xué)高階思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).需要說明的是，在將學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)用于數(shù)列教學(xué)實(shí)踐時(shí)，要注重進(jìn)階的過程性和多種進(jìn)階路徑的可能性.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)在實(shí)際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行適當(dāng)增減，教學(xué)時(shí)間也可根據(jù)實(shí)際情況靈活安排.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉晟，劉恩山.學(xué)習(xí)進(jìn)階：關(guān)注學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和生活經(jīng)驗(yàn) [J].教育學(xué)報(bào)，2012，8（02）：81-87.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］