基于幾何直觀的數(shù)量關(guān)系分析

［摘 要］以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元教學(xué)為例，通過(guò)自上而下的課標(biāo)推敲、教材比較確立核心概念，同時(shí)通過(guò)自下而上的學(xué)情調(diào)研積累核心經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而重組教材課時(shí)結(jié)構(gòu)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，突出知識(shí)原理的一致性，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的形成。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；數(shù)量關(guān)系；核心概念；單元整體教學(xué)；多邊形的面積

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）02-0032-04

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)從“大單元”和“系列單元”的視角出發(fā)，打破自然單元間可能存在的知識(shí)壁壘，重構(gòu)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，以核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，優(yōu)化課時(shí)設(shè)計(jì)，使學(xué)生在有序、系統(tǒng)的教學(xué)中實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”的轉(zhuǎn)變，真正領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)。那么，如何提取核心概念并為單元整體教學(xué)內(nèi)容的確定提供思路？如何整體平衡現(xiàn)行教材課時(shí)結(jié)構(gòu)與單元整體教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系？如何有效推進(jìn)單元整體教學(xué)課例的設(shè)計(jì)？本文以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討單元整體教學(xué)的實(shí)施路徑，為教學(xué)實(shí)踐與優(yōu)化提供參考。

一、剖析：依標(biāo)推敲，提取核心概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量要求及教學(xué)建議進(jìn)行了深入闡釋，揭示了平面圖形面積度量的本質(zhì)——度量單位的累加。

縱觀小學(xué)階段學(xué)生的面積度量學(xué)習(xí)脈絡(luò)有以下發(fā)現(xiàn)：三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“面積和面積單位”以及“長(zhǎng)方形和正方形的面積”，主要掌握面積單位的標(biāo)準(zhǔn)及計(jì)數(shù)方法；五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“多邊形的面積”，六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“圓的面積”，進(jìn)一步探索通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)面積計(jì)算的思路?？梢?jiàn)，面積度量的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“制訂標(biāo)準(zhǔn)—單位計(jì)數(shù)—方法優(yōu)化”的漸進(jìn)過(guò)程。其中，“多邊形的面積”這一單元既承接了長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)，又因平行四邊形、三角形和梯形等圖形的特殊性（直接計(jì)數(shù)存在困難），需要先通過(guò)轉(zhuǎn)化再度量的方式進(jìn)行測(cè)量，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算奠定了重要基礎(chǔ)。

綜上，平行四邊形、三角形和梯形面積測(cè)量的共同特點(diǎn)在于：均需通過(guò)等積轉(zhuǎn)化或拼合轉(zhuǎn)化的方式轉(zhuǎn)化為能夠直接計(jì)數(shù)的圖形。這一轉(zhuǎn)化過(guò)程體現(xiàn)了面積度量的統(tǒng)一原理，即基于“每行面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”的量感一致性，為學(xué)生進(jìn)一步理解面積計(jì)算的本質(zhì)提供了支撐。

二、調(diào)查：自下而上，積累核心經(jīng)驗(yàn)

為準(zhǔn)確了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提煉單元核心價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生在單元內(nèi)實(shí)現(xiàn)整體學(xué)習(xí)，筆者隨機(jī)抽取了90名五年級(jí)學(xué)生，進(jìn)行了單元知識(shí)的前測(cè)（題略）。測(cè)試結(jié)果如下。

基本能力方面：大部分學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)格子的方法計(jì)算平面圖形的面積，表明其基礎(chǔ)知識(shí)較為扎實(shí)。

轉(zhuǎn)化理解方面：學(xué)生在面對(duì)一般三角形和梯形時(shí)，較難直接看出其通過(guò)剪拼后得到的圖形，這反映出學(xué)生在圖形轉(zhuǎn)化方面的直觀感知能力尚需提升。

面積公式聯(lián)系方面：學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底和高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的聯(lián)系，但對(duì)三角形、梯形與已知面積公式圖形之間的聯(lián)系理解不夠深入。

策略方法方面：學(xué)生知道轉(zhuǎn)化的方法，如割補(bǔ)、添補(bǔ)等，但在實(shí)際應(yīng)用中還需教師進(jìn)一步引導(dǎo)。

綜合來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)具備了將面積單位學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到更復(fù)雜情境中的意識(shí)，能夠認(rèn)識(shí)到面積單位數(shù)量的多少?zèng)Q定面積的大小，并初步嘗試分析多邊形面積計(jì)算之間的聯(lián)系。這些特點(diǎn)為單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)提供了重要的現(xiàn)實(shí)依據(jù)，同時(shí)也提示教師要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)幾何圖形轉(zhuǎn)化規(guī)律的教學(xué)，深化學(xué)生對(duì)面積公式推導(dǎo)方法的理解。

三、定位：聚散為整，進(jìn)行整體規(guī)劃

為將學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)有效融入單元教學(xué)計(jì)劃中，筆者結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》中核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，圍繞單元關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行整體布局，明確單元的素養(yǎng)目標(biāo)、核心概念及學(xué)習(xí)目標(biāo)，以引導(dǎo)學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)和把握度量的本質(zhì)（見(jiàn)表1）。

重新設(shè)計(jì)的單元教學(xué)內(nèi)容以“面積單位的累加”為核心概念貫穿單元學(xué)習(xí)的始終，按照“喚醒經(jīng)驗(yàn)—調(diào)用經(jīng)驗(yàn)—突破經(jīng)驗(yàn)—提升經(jīng)驗(yàn)—優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)”的實(shí)踐路徑，從回憶面積意義到測(cè)量更多圖形的面積，逐步讓學(xué)生的量感體驗(yàn)更加立體、豐滿，突出單元學(xué)習(xí)主題的整體性和一致性（如圖1）。

與單元主題序列相匹配，整體規(guī)劃中統(tǒng)籌開(kāi)發(fā)了一組新的課型，通過(guò)“總—分—總”的單元架構(gòu)，構(gòu)建出完整且富有張力的單元教學(xué)系統(tǒng)。在“多邊形的面積”單元教學(xué)中，首先通過(guò)方法課“數(shù)面積”喚醒學(xué)生已有的剪拼、合拼等經(jīng)驗(yàn)；隨后開(kāi)展推理課，引導(dǎo)學(xué)生有條理地推導(dǎo)多邊形面積公式，幫助其理解圖形的轉(zhuǎn)化規(guī)律；接著通過(guò)探究課，引導(dǎo)學(xué)生思考鄰邊相乘與平行四邊形面積之間的關(guān)系，避免知識(shí)負(fù)遷移；再以應(yīng)用課為載體，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中解決問(wèn)題，豐富其面積度量經(jīng)驗(yàn)并深化其對(duì)面積的理解；最后通過(guò)復(fù)習(xí)課，從梯形面積公式出發(fā)，幫助學(xué)生整合并優(yōu)化多邊形面積公式的構(gòu)造。這一設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》指導(dǎo)下教學(xué)方式的轉(zhuǎn)型。

四、實(shí)施：由繁入簡(jiǎn)，觸及學(xué)科本質(zhì)

為將核心概念統(tǒng)領(lǐng)的目標(biāo)與內(nèi)容有效落實(shí)到具體教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)“數(shù)面積”引入主題、“推導(dǎo)多邊形的面積公式”深化理解、“揭秘萬(wàn)能公式”實(shí)現(xiàn)聯(lián)結(jié)，精心設(shè)計(jì)了精煉的教學(xué)環(huán)節(jié)和豐富的操作活動(dòng)，提供了精準(zhǔn)的復(fù)習(xí)資源。這些活動(dòng)和資源注重學(xué)生的可學(xué)性、可參與性與建設(shè)性，旨在引導(dǎo)學(xué)生在做中學(xué)、用中學(xué)、創(chuàng)中學(xué)、悟中學(xué)，使度量體驗(yàn)在單元重構(gòu)中得以真實(shí)而深刻地發(fā)生。

（一）方法課：面積單位的總數(shù)=每行面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)

方法課“數(shù)面積”圍繞核心概念“面積單位的總數(shù)=每行面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)”展開(kāi)，通過(guò)創(chuàng)建任務(wù)群，引導(dǎo)學(xué)生在完成不同任務(wù)的過(guò)程中學(xué)習(xí)利用剪拼、合拼等方法將平行四邊形、三角形、梯形等不滿格的圖形轉(zhuǎn)化為滿格圖形。同時(shí)，多維度對(duì)比學(xué)生的轉(zhuǎn)化方法，幫助他們深刻理解度量面積的本質(zhì)在于求得圖形中包含的面積單位總數(shù)，從而進(jìn)一步發(fā)展其空間觀念。

【活動(dòng)設(shè)計(jì)】

任務(wù)一：在格子圖中探究特殊平行四邊形、直角三角形、直角梯形的面積。

[設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究特殊的平行四邊形、直角三角形和直角梯形的面積，讓學(xué)生能利用已有的數(shù)面積單位總數(shù)、剪拼、合拼等經(jīng)驗(yàn)，將不滿格的面積單位轉(zhuǎn)化為滿格的面積單位。]

任務(wù)二：在格子圖中探究平行四邊形、三角形、梯形的面積。

[設(shè)計(jì)意圖：從平行四邊形（高不滿整格）、三角形、梯形的轉(zhuǎn)化延展到一般圖形的轉(zhuǎn)化，了解學(xué)生對(duì)剪拼和合拼方法的運(yùn)用情況。]

借助格子圖，學(xué)生開(kāi)展圖形面積的探究活動(dòng)，在“想—算—畫(huà)—比”的過(guò)程中逐漸掌握以定量方式通過(guò)轉(zhuǎn)化將不能直接計(jì)數(shù)的圖形轉(zhuǎn)化為可以直接計(jì)數(shù)的圖形。通過(guò)展示匯報(bào)、對(duì)比交流等學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生不僅能感受到圖形轉(zhuǎn)化方法的多樣性，還能深刻領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想的一致性（如圖2）。

同時(shí)，突破原有的教學(xué)框架，引導(dǎo)學(xué)生圍繞大概念（面積單位及其個(gè)數(shù)）和方法（不同的“拼”法）進(jìn)行交流、討論和比較。學(xué)生體會(huì)到，不同轉(zhuǎn)化現(xiàn)象背后的思想其實(shí)是一致的，都是為了用完整的面積單位填滿測(cè)量對(duì)象，從而計(jì)算出面積單位的個(gè)數(shù)。長(zhǎng)方形面積的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)在此過(guò)程中得到整體融入，幫助學(xué)生形成對(duì)圖形度量一致、持久且可遷移的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

（二）推理課：推導(dǎo)多邊形的面積公式

利用在方法課上獲得的剪拼轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就能在課堂上進(jìn)行剪拼、合拼的轉(zhuǎn)化活動(dòng)，在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間的聯(lián)系，進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，并在對(duì)比與溝通中建立多邊形面積公式之間的聯(lián)系，感悟各種方法背后一致的原理。

【活動(dòng)設(shè)計(jì)】

任務(wù)一：在格子圖中推導(dǎo)高不滿整格的平行四邊形的面積公式。

[設(shè)計(jì)意圖：提供高不滿格的平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展不同思維層次的操作活動(dòng)，探究平行四邊形面積公式的本質(zhì)。]

任務(wù)二：小組合作推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式。思考：三角形、梯形與哪些圖形有關(guān)聯(lián)？轉(zhuǎn)化后的圖形與原圖形之間有什么聯(lián)系？推導(dǎo)三角形或梯形的面積公式。

[設(shè)計(jì)意圖：打破原有單元學(xué)習(xí)的界限，將三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)置于同一結(jié)構(gòu)背景中，讓學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行研究和思考，從而溝通不同圖形面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系。]

以上兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)能引導(dǎo)學(xué)生不斷突破認(rèn)知邊界，且自主運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與平行四邊形的底、高相聯(lián)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，從而不斷豐富度量經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)平面圖形面積度量的認(rèn)識(shí)（如圖3）。

在推導(dǎo)出平行四邊形、三角形和梯形的面積公式后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比與溝通，理解度量面積的本質(zhì)是“面積單位總數(shù)=每行面積單位個(gè)數(shù)×行數(shù)”，深刻領(lǐng)會(huì)面積度量的基本原理是不變的，從而完成知識(shí)的內(nèi)化。

（三）復(fù)習(xí)課：揭秘萬(wàn)能公式

提供結(jié)構(gòu)化的習(xí)題資源，能促使學(xué)生理解梯形、平行四邊形、三角形之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到“當(dāng)上下底相等時(shí)，梯形就變成平行四邊形；當(dāng)下底為0時(shí)，梯形就變成三角形”。因此，通過(guò)平行四邊形的面積公式也可以推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式。

【教學(xué)片段】

師（出示圖4）：計(jì)算下面圖形的面積。

☆計(jì)算下列圖形的面積。（單位：cm）

生1：長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積都是20 cm2。

師：這些圖形之間有什么關(guān)系？

生2：長(zhǎng)方形①的長(zhǎng)、寬分別與平行四邊形②的底、高相等，所以兩個(gè)圖形的面積相等，為20 cm2。兩個(gè)三角形③可以拼成一個(gè)底為10 cm、高為4 cm的平行四邊形，這個(gè)平行四邊形面積的一半與平行四邊形②的面積相等，也就是說(shuō)，三角形③的面積與平行四邊形②的面積相等，也是20 cm2。通過(guò)剪拼也可以將梯形④轉(zhuǎn)化成平行四邊形②，因此梯形④的面積為20 cm2。

師：還有與梯形④面積、高相等的圖形嗎？

（學(xué)生創(chuàng)造出上底為1 cm、下底為9 cm的梯形）

師：下底能短一點(diǎn)嗎？

（邊的長(zhǎng)度從整數(shù)拓展到了小數(shù)，學(xué)生的思維定式得以突破）

師：下底能不能繼續(xù)短下去？

（教師通過(guò)不斷追問(wèn)，幫助學(xué)生突破梯形和三角形的邊界；學(xué)生繼續(xù)想象，突破梯形與平行四邊形的邊界）

生3：下底不斷變短，到與上底長(zhǎng)度相等時(shí)，梯形就成了平行四邊形，梯形的面積公式變成“底×高”，這也是平行四邊形的面積公式；當(dāng)下底為0時(shí)，梯形就成了三角形，梯形的面積公式變成“底×高÷2”，這也是三角形的面積公式。梯形的面積公式真厲害，簡(jiǎn)直是“萬(wàn)能公式”。

[設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)課中構(gòu)建一張基于面積公式的新知識(shí)網(wǎng)，有效完善以長(zhǎng)方形為起點(diǎn)、基于轉(zhuǎn)化思想、以平行四邊形為終點(diǎn)的知識(shí)網(wǎng)（如圖5）。]

整體設(shè)計(jì)的單元框架中，通過(guò)連續(xù)進(jìn)階的關(guān)鍵課探索，學(xué)生在富有設(shè)計(jì)感的學(xué)科活動(dòng)中產(chǎn)生了對(duì)面積度量的新理解，向前聯(lián)系“面積和面積單位”，向后鏈接“圓的面積”，深刻體會(huì)了知識(shí)原理的一致性，有效掌握了多邊形面積的計(jì)算本質(zhì)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 袁曉萍.讓高質(zhì)量的度量學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生：《面積》單元整體教學(xué)規(guī)劃與關(guān)鍵課例設(shè)計(jì)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2024（Z2）：14-17.

[3] 楊明嵐.一致性視域下整數(shù)除法運(yùn)算整體性的教學(xué)思考與設(shè)計(jì)：以“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（11）：50-53.

[4] 張偉明.追溯起點(diǎn)向思維深處進(jìn)發(fā)：以《梯形的面積》教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2018（32）：23-25.

（責(zé)編 吳美玲）