項(xiàng)目引領(lǐng)凸顯函數(shù)本質(zhì)

【摘要】本文通過對2022年嘉興20題（以下統(tǒng)稱J20）和溫州第23題（以下統(tǒng)稱W23）的探究，總結(jié)這一類函數(shù)問題項(xiàng)目化試題解決的基本思路，對這類項(xiàng)目化試題進(jìn)行研究，有助于學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)知識體系、進(jìn)行深度學(xué)習(xí)和有效思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；初中數(shù)學(xué)；解題方法

1" 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，“積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力”.項(xiàng)目化學(xué)習(xí)是強(qiáng)化學(xué)科實(shí)踐、推進(jìn)綜合學(xué)習(xí)的重要方法，也為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升提供了新途徑.如何讓學(xué)生對項(xiàng)目化問題掌握一定的解題思路，尤其對于初三中考復(fù)習(xí)，是一個值得深入討論的問題.現(xiàn)將這節(jié)復(fù)習(xí)課備課思考、教學(xué)過程和反思提升整理成文，與同行分享如下：

2" 備課思考

問題" 教學(xué)目標(biāo)如何制訂，對于學(xué)生的困惑，如何進(jìn)行突破？

思考" 對于這類試題，學(xué)生最大的困惑是什么？教師組認(rèn)為學(xué)生主要有兩個困惑：（1）對項(xiàng)目化問題的理解；（2）如何將所學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)問題的解決進(jìn)行有效的整合.因此這節(jié)課的目標(biāo)定為：經(jīng)歷函數(shù)建模過程，理解實(shí)際問題的實(shí)質(zhì)，整合所學(xué)的知識解決問題，從而體驗(yàn)函數(shù)思想的本質(zhì).對于教師組困惑，學(xué)生的認(rèn)為突破點(diǎn)在于以下兩個方面：首先是對于例題中的關(guān)鍵字眼的理解，如“候潮進(jìn)出”“相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m”等在函數(shù)圖象中表示為什么.其次，注意在教學(xué)時(shí)通過教師的引導(dǎo)讓學(xué)生在相互討論中逐漸建構(gòu)函數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò)，真正達(dá)到復(fù)習(xí)的目的.

問題" 教學(xué)思路如何確定？

J20的函數(shù)圖象并不是初中學(xué)生熟知的，需要學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題的抽象、建模、函數(shù)概念和形式的回顧、函數(shù)圖象的簡單應(yīng)用等過程；而W23卻是學(xué)生熟知的拋物線的圖象，學(xué)生可以利用課堂中所學(xué)的拋物線圖象的性質(zhì)解決問題.因此，教師在教

學(xué)中可以把J20作為引例，得出這類函數(shù)問題項(xiàng)目化的基本步驟，把教學(xué)的重心放在W23上，通過問題的解決對整個函數(shù)知識框架進(jìn)行合理地建構(gòu).

3" 教學(xué)過程

3.1" 情境導(dǎo)入，引出課題

由“書藏古今，港通天下”引入.（引例：J20改編）

著重介紹" 寧波舟山港核心港區(qū)主航道水深在22.5米以上，30萬噸級巨輪可自由進(jìn)出港，40萬噸級以上的超級巨輪可候潮進(jìn)出.

圖1

問題1" “候潮進(jìn)出”的含義？

問題2" 要判斷12月25日的哪個時(shí)間段適合超級巨輪進(jìn)出港口，應(yīng)獲得哪些信息？

教學(xué)說明" 通過對問題的改編，設(shè)置實(shí)際問題解決的背景，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考如何有效地解決實(shí)際問題.通過材料，學(xué)生容易得到解題所需要的兩個核心信息：（1）12月25日港口的潮水高度隨時(shí)間的變化情況；（2）超級巨輪進(jìn)出港口的安全水位.

此時(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)的眼光去看待實(shí)際問題：潮水高度隨時(shí)間的變化情況，其實(shí)就是研究兩個變量潮水高度y（cm）和時(shí)間x（h）之間的關(guān)系，在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)的定義.已知安全水位，求什么時(shí)間段適合進(jìn)出港口，即已知潮水高度y的取值范圍，求時(shí)間x的取值范圍.

總結(jié)" 像這樣，從實(shí)際問題出發(fā)立項(xiàng)，先分析所需信息，再確立子任務(wù)，從中抽象出數(shù)學(xué)模型（函數(shù)），將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題，從而實(shí)際問題得解.

3.2" 深入探究，解決問題

任務(wù)1" 了解潮水高度隨時(shí)間的變化情況.

問題1" 根據(jù)函數(shù)圖象能夠得出哪些信息？

教學(xué)說明" 通過問題的分析，學(xué)生可以嘗試通過收集數(shù)據(jù)、列表、建系、描點(diǎn)來畫出函數(shù)圖象，從而也復(fù)習(xí)了函數(shù)的三種表達(dá)方式：解析法、圖象法、列表法.通過分析函數(shù)圖象的性質(zhì)，如增減性、最值等來獲得兩個變量之間的關(guān)系.注意，在教學(xué)的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)學(xué)問題回歸到實(shí)際問題，例如，函數(shù)圖象在某個時(shí)間段從左往右上升，說明y隨著x的增大而增大，回歸到實(shí)際問題，即表示該時(shí)間段在漲潮.同時(shí)，數(shù)據(jù)的收集又應(yīng)該統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識.

任務(wù)2" 當(dāng)潮水的高度超過260cm時(shí)，超級巨輪能夠安全進(jìn)出港口.

問題1" x=4時(shí)，能安全進(jìn)出港口嗎？

問題2" 畫出超過260cm時(shí)對應(yīng)的函數(shù)圖象，最終解決實(shí)際問題.

教學(xué)說明" 問題1是為問題2的解決作鋪墊，幫助學(xué)生尋找相對應(yīng)的函數(shù)圖象.通過對引例的分析，得到函數(shù)型項(xiàng)目化問題的解題步驟：實(shí)際問題（立項(xiàng)）→分析所需信息→確立子任務(wù)→抽象出數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)問題→最后回歸到實(shí)際問題.

3.3 "探究遷移，加強(qiáng)內(nèi)化

例" W23（改編）.

表1

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？

素材1

圖a是一座石拱橋，圖b表示該石拱橋輪廓為拋物線型.某一時(shí)刻，測得此河段兩岸的寬度為20米，石拱橋可懸掛燈籠的最高點(diǎn)距離水面4米.據(jù)調(diào)查，該河段的最高水位比此時(shí)的水位高1.1米.

圖a

圖b

素材2

某地為迎接春節(jié)，計(jì)劃在拱形橋的橋拱上懸掛3只相連的紅燈籠，每只燈籠長度30厘米（連接處長度忽略不計(jì)），如圖c所示.為確保安全，最下面一只燈籠的底部距離水面不得少于1米；為了實(shí)用，每相鄰兩串燈籠間的間距設(shè)定為1米；為了美觀，要求在符合要求的位置均懸掛燈籠，并且最終懸掛的燈籠與橋整體要呈軸對稱分布狀態(tài).

圖c

問題解決

任務(wù)1

確定橋拱形狀

在圖b中建立合適的平面直角坐標(biāo)系xOy，并求出該拋物線的函數(shù)解析式.

任務(wù)2

探求懸掛范圍

為保證居民安全，請根據(jù)你所建立的平面直角坐標(biāo)系，確定燈籠串懸掛位置縱坐標(biāo)的最小值以及橫坐標(biāo)的取值范圍.

任務(wù)3

擬定設(shè)計(jì)方案

請根據(jù)你建立的平面直角坐標(biāo)系，給出一種滿足所有懸掛條件的燈籠串的數(shù)量，并計(jì)算出最右邊一串燈籠懸掛位置的橫坐標(biāo).

確立項(xiàng)目" 拱橋景觀燈的設(shè)計(jì)方案.

解決任務(wù)1" 確定拱橋形狀.

教學(xué)說明" 素材已說明拱橋形狀為一條拋物線，要求二次函數(shù)解析式，先要建立平面直角坐標(biāo)系.（1）以最高點(diǎn)為頂點(diǎn)；（2）以最左邊為頂點(diǎn)；（3）以最右邊為頂點(diǎn).在得到幾種建系方式的函數(shù)解析式后，幫助學(xué)生總結(jié)：拋物線的形狀由二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a來決定，幾種建系方式之間的聯(lián)系可看成圖象的平移.

解決任務(wù)2" 畫一畫燈籠可懸掛范圍.

教學(xué)說明" 幫助學(xué)生養(yǎng)成讀題習(xí)慣，學(xué)會抓住關(guān)鍵信息：這里的水面并不是指任務(wù)1中的水面，而是指最高水位.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中的圖3已經(jīng)給我們做出了說明，教授學(xué)生自主讀題的方式.得到平面直角坐標(biāo)系中的懸掛范圍后，讓學(xué)生進(jìn)行反思：實(shí)際生活中，如何描述懸掛的范圍？如可描述為：距離最高點(diǎn)水平距離各6米.再次由數(shù)學(xué)問題回歸到實(shí)際問題，同時(shí)也讓學(xué)生對點(diǎn)和點(diǎn)之間的相對不變性有所感知.

解決任務(wù)3" 擬定具體的設(shè)計(jì)方案.

教學(xué)說明" 由學(xué)生分小組討論，再由學(xué)生展示.問題解決后，再總結(jié)歸納三種建系方式之間的聯(lián)系，深度理解函數(shù).

4" 課后反思與提升

4.1" 項(xiàng)目化試題研究復(fù)習(xí)有助于學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)知識體系

復(fù)習(xí)課的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷問題的確立，問題的分解，問題的解決，讓整個知識脈絡(luò)在學(xué)生的腦海里始終流淌著，從而打通學(xué)生的“任督二脈”.這正如史寧中教授所述，項(xiàng)目化模型思想的本質(zhì)是站在現(xiàn)實(shí)立場上，用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，用現(xiàn)實(shí)的效果評價(jià)模型的功效，這樣的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的融合，也使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛.所以通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生更愿意去系統(tǒng)地建構(gòu)自己的函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架，從而發(fā)覺函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用.

4.2" 項(xiàng)目化試題研究復(fù)習(xí)有助于學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，讓學(xué)生在具有挑戰(zhàn)性的問題解決過程中，提升解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的高階思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.本節(jié)課通過兩個函數(shù)型項(xiàng)目化試題的解決讓學(xué)生深入地理解函數(shù)問題的實(shí)質(zhì)：通過現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的采集、整理，建立函數(shù)模型，通過模型解決、預(yù)測相關(guān)問題，讓學(xué)生真正理解函數(shù)的本質(zhì)特征，從而有效地對函數(shù)問題進(jìn)行深度學(xué)習(xí).

4.3" 項(xiàng)目化試題研究復(fù)習(xí)有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升

項(xiàng)目式試題的復(fù)習(xí)研究以開放的視角培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，讓學(xué)生在參與實(shí)踐活動的過程中，充分體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系.在本節(jié)課堂教學(xué)具體實(shí)施中，在實(shí)現(xiàn)“關(guān)注教師教到關(guān)注學(xué)生學(xué)”轉(zhuǎn)變的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步“關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)知識獲得和數(shù)學(xué)思維的形成過程”.在這個意義上，教師充分把握數(shù)學(xué)知識體系與相應(yīng)核心素養(yǎng)的整體性，保持知識最初概念提出到最后實(shí)際應(yīng)用的一致性，在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識進(jìn)階的同時(shí)關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)階.

參考文獻(xiàn)：

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［2］洪燕君．基于義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心素養(yǎng)的理解與實(shí)施——訪談史寧中教授［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（03）：64-67．