對一道中考試題的分析和拓展

【摘要】本文對2024年南通市中考數(shù)學第17題進行深入分析，揭示此題考查的知識點及其蘊含的幾何模型.同時，根據(jù)原題的解答思路，將試題進行縱向拓展，以期幫助學生更深入地把握試題的本質(zhì)，提升解題能力.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；初中數(shù)學；解題方法

對典型中考試題進行深入分析和變式拓展，有助于教師更好地把握教學重點，了解命題趨勢，同時也能幫助學生提升解題能力，深化對知識的理解.本文選取2024年南通中考數(shù)學第17題進行探究和拓展.

1" 試題呈現(xiàn)

（2024年南通中考數(shù)學第17題）如圖1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為""" .

圖2

此題是平面幾何綜合問題，難度較大，涉及的主要平面幾何知識點有等腰三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理等.此外，還涉及解一元二次方程.可見，此題考查了初中數(shù)學的多個核心知識點，要求學生對所學的知識進行靈活運用，具有較高的區(qū)分度.

2" 試題解析

如圖2，過點G作GH⊥AC， 則∠AHG=∠GHD=90°.

因為∠ACB=90°，AC=BC=5，

所以AB=52，∠A=∠B=45°，

所以∠AGH=45°=∠A，

所以AH=HG.

設(shè)AH=HG=x，

則CH=AC－AH=5－x.

因為四邊形DEFG是正方形，

所以DG=DE，∠GDE=90°，

所以∠HDG+∠CDE=90°.

又GH⊥AH，

所以∠HGD+∠HDG=90°，

所以∠HGD=∠CDE.

因為∠DCE=∠GHD=90°，

所以△GHD≌△DCE，

所以CD=GH=x，

所以DH=CH－CD=5－2x.

在 Rt△GHD中，由勾股定理，得GD2=DH2+GH2，

所以（5）2=（5－2x）2+x2，

解得：x=2.

所以AH=2，CH=3.

易知HG∥BC，

所以BGAG=CHAH=32，

所以BG=35AB=35×52=32.

故答案為：32.

評析" 以上解答的關(guān)鍵是通過作輔助線GH構(gòu)造出“一線三等角”模型，這一模型經(jīng)常出現(xiàn)在中考試題中［1-2］，其常見構(gòu)圖如圖3所示，其中AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE.在圖3中，容易證明△ABC≌△CDE.根據(jù)“一線三等角”模型可知，圖2中△GHD∽△DCE，又因為DG=DE，所以△GHD≌△DCE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到圖2中線段之間的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理列出方程即可解決問題.

圖3

3" 試題拓展

下面我們將以上中考真題進行拓展，并采用與原題類似的思路進行解答.

拓展1" 如圖1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a.正方形DEFG的邊長為m，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，求BG的長.

解析" 如圖2，過點G作GH⊥AC，設(shè)AH=GH=x.

類似原題的解答易知△GHD≌△DCE，所以CD=GH=x.

所以DH=CH－CD=a－2x.

在Rt△GHD中，由勾股定理得GD2=DH2+GH2，

所以m2=a－2x2+x2，

化簡得5x2－4ax+a2－m2=0，

解得x1=155m2－a2+2a，

x2=152a－5m2－a2，

即AH=155m2－a2+2a

或152a－5m2－a2.

類似原題的解答可知BGAG=CHAH，

所以BGAB=CHAC，

故BG=CHAC·AB=2aa－xa

=2a－x，

所以BG=253a－5m2－a2或

BG=253a+5m2－a2.

因此，一般情況下，BG有兩個解.而當5m2=a2時，BG只有一個解，原題所給的數(shù)據(jù)恰好滿足這一條件.可見，原題中的數(shù)據(jù)是經(jīng)過了命題專家的充分考量的，以便減輕學生分類討論的負擔.

將等腰直角三角形一般化為任意直角三角形，可以得到如下拓展.

拓展2" 如圖4，在 Rt△ABC中，BC=a，AC=b.正方形DEFG的邊長為m，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，求BG的長.

圖4

以上拓展的解決思路與原題類似，但此時涉及的字母運算較為復雜，故這里不再展開討論.

4" 結(jié)語

對中考試題進行深入的分析探究是初中數(shù)學教學和學習過程中不可或缺的環(huán)節(jié).中考試題是命題專家智慧的結(jié)晶，通過深入分析，可以挖掘出題目背后所考查的核心知識，以及隱藏其中的數(shù)學思想方法.一般來說，中考試題都有深入推廣的價值.對中考真題進行深度探究，不僅有助于教師把握教學重難點，調(diào)整教學策略，提高教學質(zhì)量，還能幫助學生更好地理解數(shù)學知識，提升解題能力，培養(yǎng)數(shù)學思維，為未來的學習和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

［1］劉家良.“一線三等角”型中考題例析［J］.數(shù)理化學習（初中版），2024（05）：16-18.

［2］陳濤.例談幾何模型之“一線三等角”［J］.數(shù)學通訊，2023（09）：37-41.