巧用數(shù)學(xué)思想解決運(yùn)動型問題

【摘要】初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)背景下，運(yùn)動型問題作為一種特殊的題目類型，越發(fā)受到重視.這類問題可以對學(xué)生的基礎(chǔ)知識、空間能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合性考查.同時，運(yùn)動型問題類型多樣，將代數(shù)和幾何等知識點(diǎn)整合到一起，極具綜合性，給學(xué)生解題帶來了極大的難度.本文就以此切入，結(jié)合運(yùn)動型問題解題實(shí)踐，圍繞數(shù)學(xué)思想在解題中的具體應(yīng)用展開探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；運(yùn)動型問題；解題方法

1" 引言

運(yùn)動型問題又被稱為“動點(diǎn)問題”“動態(tài)問題”，是一種非常特殊的題目類型.通常，在這一類型題目中，這些運(yùn)動的點(diǎn)可能會在一條直線上、一條線段上、一個平面圖形內(nèi)移動，并且這些點(diǎn)的運(yùn)動會引起其他元素的變化［1］.經(jīng)調(diào)查分析，運(yùn)動型問題常常出現(xiàn)在二次函數(shù)、幾何圖形中，是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的升華和綜合.因此，學(xué)生在解答運(yùn)動型問題時，不僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，還應(yīng)具備極強(qiáng)的空間能力、邏輯推理能力，并且能夠靈活應(yīng)用常見的數(shù)學(xué)思想［2］.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)立足于運(yùn)動型問題的特點(diǎn)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，使得學(xué)生從動態(tài)、綜合的視角分析問題、解決問題.

2" 基于數(shù)學(xué)思想解決運(yùn)動型問題實(shí)踐

例1" 如圖1所示，已知拋物線y=x2－2x－3和x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A位于B點(diǎn)左側(cè)，與y軸相交于C點(diǎn)，E，F(xiàn)為拋物線對稱軸上的兩個動點(diǎn).

（1）當(dāng)AE－CE為最大值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，以及AE－CE的最大值；

（2）若EF=1，當(dāng)AE+EF+FC取最小值時，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，以及AE+EF+FC的最小值.

解析" 本題以二次函數(shù)為背景，根據(jù)動點(diǎn)求線段最值.因此，在解決這一問題時，關(guān)鍵是要抓住動點(diǎn)的平移方向、距離，并借助二次函數(shù)對稱軸通過“化折為直”的方式，將原來的問題轉(zhuǎn)化成為“將軍飲馬”問題，進(jìn)而結(jié)合共線的原理確定出最值.可以說，在這一問題中，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、模型思想等.因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時，可從數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，尋求運(yùn)動型問題的突破口［3］.

圖2

（1）根據(jù)題意，令y=0，可得出A（－1，0），B（3，0）；

令x=0，可得出C（0，－3）.

在△ACE中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)，可得出AE－CE＜AC，當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線時（如圖2所示），AE－CE=AC，此時AE－CE有最大值，且最大值為AC的長度.

結(jié)合勾股定理得出：AC=AO2+CO2=12+32=10.

直線AC的解析式為y=－3x－3，

當(dāng)x=1時，y=－6.

因此，當(dāng)AE－CE取最大值時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-6）.

（2）如圖3所示，過點(diǎn)B作BD∥y軸，且BD=1，連接CD，與對稱軸相交于F點(diǎn)，將點(diǎn)F向上平移1個單位，即可得到E點(diǎn)，連接BE，由此即可得出直線CD的解析式為：y=23x－3；

圖3

因為F點(diǎn)在直線CD上，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，－73），

又因為EF∥BD，EF=1，因此E點(diǎn)的坐標(biāo)為E（1，－43）；

又因為EF∥BD，BE∥DF，因此四邊形BDFE為平行四邊形，則BE=DF；

根據(jù)AE=BE二次函數(shù)的對稱性，可得AE=DF，即AE+CF=DF+CF；

又因為在△CDF中，DF+CF＞CD，因此當(dāng)C，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時，DF+CF=CD，此時DF+CF存在最小值，即AE+CF有最小值，且最小值為CD的長度；

之后，過C作CG∥x軸，并與BD的延長線相交于G點(diǎn)，則CG⊥DG.

在Rt△CGD中，CD=32+22=13.

此時AE+CF的最小值為13，故AE+EF+FC最小值為13+1.

例2" 如圖4所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，動點(diǎn)P按照C→B→A的路線運(yùn)動，連接AP.假設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動距離為x，AP=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖5所示.那么，當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時，AP的長度為（" ）

（A）13." （B）5." （C）213." （D）52.

解析" 就本運(yùn)動型題目而言，難度系數(shù)比較大，解題的關(guān)鍵在于對動點(diǎn)P的圖象進(jìn)行挖掘，從中找出關(guān)鍵的位置，將其和具體的圖形對應(yīng)起來，如圖象和x軸、y軸的交點(diǎn)，或圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)坐標(biāo)等.鑒于此，教師在指導(dǎo)學(xué)生解決本題目的時候，即可從數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā).

對圖5展開分析得出：AC=6，當(dāng)動點(diǎn)P和B點(diǎn)重合時，AB=a+2，BC=a.

之后，反復(fù)利用勾股定理，即可得出：a2+62=（a+2）2，a=8，即AB=10，BC=8.

又因為點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，因此PC=a2=4，

即AP2=AC2+PC2=62+42.

所以AP=62+42=213.故選（C）.

3" 結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)思想是學(xué)科的本質(zhì)和靈魂，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，具備極強(qiáng)的操作性.運(yùn)動型問題是初中數(shù)學(xué)中最為常見的問題，解決這一類問題對學(xué)生的知識掌握情況、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想提出了更高的要求.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)立足于運(yùn)動型問題，指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的輔助下解題，不斷提升其數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］高學(xué)賢.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題解題方法探究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（17）：8-9.

［2］馬貴忠.初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題解題教學(xué)策略研究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：12-13.

［3］陳福德.初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題的解題策略［J］.數(shù)理化解題研究，2023（14）：2-4.