巧用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

【摘要】函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．本文結(jié)合具體實(shí)例，講解如何巧用函數(shù)模型解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題能力的重要性．

【關(guān)鍵詞】函數(shù)模型；初中數(shù)學(xué)；解題方法

現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，而函數(shù)模型因其強(qiáng)大的描述和分析能力，成為解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具．初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)等，這些函數(shù)在不同的實(shí)際情境中有著獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值．通過(guò)運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，不僅可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和掌握，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)．

1" 運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)預(yù)判飲水機(jī)水溫問(wèn)題

例1" 學(xué)校的自動(dòng)飲水機(jī)，開(kāi)機(jī)加熱時(shí)水溫每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開(kāi)始下降．此時(shí)水溫y℃與通電時(shí)間xmin成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至20℃時(shí)，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱．若水溫在20℃時(shí)接通電源，水溫y與通電時(shí)間x之間的關(guān)系如圖1所示，則下列說(shuō)法正確的是（" ）

圖1

（A）水溫從20℃加熱到100℃，需要7min．

（B）水溫下降過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=400x．

（C）水溫從100℃降至20℃，所需時(shí)間為40min．

（D）水溫不低于30℃的時(shí)間為773min．

解析" 因開(kāi)機(jī)加熱時(shí)水溫每分鐘上升10℃，所以水溫從20℃加熱到100℃，需要8min，（A）錯(cuò)誤；

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx，將點(diǎn)8，100代入，可得k=800，所以水溫下降過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=800x，（B）錯(cuò)誤；

將y=20代入y=800x得，20=800x，解得x=40，即40－8=32min，所以水溫從100℃降至20℃，所需時(shí)間為32min，（C）錯(cuò)誤；

因開(kāi)機(jī)加熱時(shí)水溫每分鐘上升10℃，水溫從30℃加熱到100℃，需要7min，將y=30代入y=800x得，解得x=803，所以水溫不低于30℃的時(shí)間為7+803－8=773，（D）正確．

點(diǎn)評(píng)" 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，題中給出了函數(shù)圖象，因此，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，再利用解析式求得對(duì)應(yīng)信息．

2" 運(yùn)用二次函數(shù)模型解決帳篷內(nèi)擺放椅子問(wèn)題

例2" 各式帳篷已成為戶(hù)外活動(dòng)的必要裝備，其中拋物線(xiàn)型帳篷支架簡(jiǎn)單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用．

（1）如圖2，某款拋物線(xiàn)型帳篷搭建時(shí)張開(kāi)的寬度AB=4m，頂部高度h=2m，在圖2中以AB所在的直線(xiàn)為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系（畫(huà)出坐標(biāo)系），求帳篷支架對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）每款帳篷張開(kāi)時(shí)的寬度和頂部高度都會(huì)影響其容納椅子的數(shù)量，圖3為一把椅子擺入這款帳篷后的簡(jiǎn)易視圖，椅子高度EC=0.72m，寬度CD=0.5m，若在帳篷內(nèi)沿AB方向擺放一排此款椅子，求最多可擺放的椅子數(shù)量；

（3）現(xiàn)要設(shè)計(jì)一款拋物線(xiàn)型帳篷，要求頂部高度為2.5m，且一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子．用（1）中的方法建立坐標(biāo)系后，其拋物線(xiàn)型支架的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+2.5alt;0，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的最小值．

解析" （1）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4所示，

因A款帳篷搭建時(shí)張開(kāi)的寬度AB=4m，頂部高度h=2m，

所以A－2，0，B2，0，

設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=b（x+2）（x－2），

因拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），

可得2=b0+20－2．

解得b=－12，

所以y=－12x+2x－2=－12x2+2．

（2）由（1）知y=－12x2+2，且椅子高度EC=0.72m，寬度CD=0.5m，

將y=0.72代入y=－12x2+2，

解得x1=1.6，x2=－1.6，

1.6+1.6=3.2m，

3.2÷0.5=6.4（把）．即最多可擺放的椅子數(shù)量為6把．

（3）一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子，

所以令y=1，x=5×0.52=54，

y=ax2+2.5alt;0經(jīng)過(guò)點(diǎn)54，1，

即當(dāng)y=1時(shí)，1=a×542+2.5，

解得a=－2425．

所以a的最小值為－2425．

點(diǎn)評(píng)" 本題考查了二次函數(shù)的圖象以及平面直角坐標(biāo)系，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第（3）問(wèn)中，根據(jù)“一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子”，建立方程，即可作答．本題靈活運(yùn)用二次函數(shù)模型解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，突出體現(xiàn)了函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性．

3" 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)模型作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．通過(guò)巧用函數(shù)模型，可以解決經(jīng)濟(jì)、物理、生活等各個(gè)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題．在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，通過(guò)改進(jìn)教學(xué)方法、開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)和培養(yǎng)思維能力等途徑，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力．同時(shí)，學(xué)生也應(yīng)積極主動(dòng)地參與到函數(shù)模型的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，不斷提高自己的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐能力，為今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭培珺.數(shù)學(xué)函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的巧用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（02）：20-23.

［2］李靜靜，朱晨.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)PBL教學(xué)模式的研究——以“用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”為例［J］.安徽教育科研，2023（33）：116-118.