深度教學(xué)理念下指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念課例研究

【摘要】發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)，離不開(kāi)學(xué)科課堂深度教學(xué)，教師的深度教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).本文以算術(shù)平方根教學(xué)為例，探討在深度教學(xué)理念下開(kāi)展數(shù)學(xué)概念課深度教研、深度教學(xué)、深度學(xué)習(xí)，基于生活情境，造成認(rèn)知沖突，引出算術(shù)平方根概念，以促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；深度教學(xué)；初中數(shù)學(xué)

1引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運(yùn)算能力.在初中數(shù)學(xué)代數(shù)概念教學(xué)中，教師應(yīng)針對(duì)初中學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，注重將新舊知識(shí)聯(lián)系與動(dòng)手探究及代數(shù)推理相結(jié)合，發(fā)展學(xué)生抽象能力、推理能力和模型觀念，實(shí)施深度教學(xué)，從而促使數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育落地.

人教版七年級(jí)下冊(cè)6.1平方根第一課時(shí)“算術(shù)平方根”，很多教師認(rèn)為這節(jié)課教學(xué)定位比較難把握，不知道應(yīng)該定位為概念探究課還是運(yùn)算技能課？是重在乘方逆運(yùn)算還是重在發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用？本文以這節(jié)課為例，談?wù)勅绾位凇按鷶?shù)思維”結(jié)合動(dòng)手探究進(jìn)行代數(shù)概念教學(xué)，體驗(yàn)代數(shù)思維就是過(guò)程對(duì)象化.

2代數(shù)概念教學(xué)課例解析

2.1教學(xué)內(nèi)容分析

“算術(shù)平方根”主要探索乘方的逆運(yùn)算——開(kāi)方.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)果可能不是有理數(shù)，面對(duì)有理數(shù)不夠用，形成開(kāi)方結(jié)果的概念——算術(shù)平方根，進(jìn)而研究算術(shù)平方根的表示、性質(zhì)和應(yīng)用.在解決新運(yùn)算數(shù)域擴(kuò)充問(wèn)題的過(guò)程中，形成符號(hào)思想，體會(huì)代數(shù)概念建立的一致性和連貫性，領(lǐng)悟初中代數(shù)概念研究的一般方法：?jiǎn)栴}→定義→性質(zhì)→應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)拼圖活動(dòng)，了解存在一個(gè)數(shù)的平方等于2，建立數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，增強(qiáng)直觀想象能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；（2）通過(guò)正方形面積與邊長(zhǎng)之間的轉(zhuǎn)換，了解算術(shù)平方根的概念，能利用平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算，求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，并初步體會(huì)平方與開(kāi)平方的互逆關(guān)系，增強(qiáng)模型觀念和運(yùn)算能力；（3）通過(guò)算術(shù)平方根概念的學(xué)習(xí)，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的算術(shù)平方根.經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題逐步抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，發(fā)展抽象概括的能力和符號(hào)意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)了解算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)，會(huì)用符號(hào)“”表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

教學(xué)難點(diǎn)對(duì)“”的理解，對(duì)算術(shù)平方根雙重非負(fù)性的理解.

2.2課堂教學(xué)過(guò)程

2.2.1情境創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（認(rèn)知沖突：數(shù)不夠用了？）

師：1的平方是？2的平方是？11的平方是？那反過(guò)來(lái)，哪個(gè)正數(shù)的平方是400？9呢？2呢？

生：20，3，不存在……

師：有不同聲音了，那今天我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.我們先看生活中的實(shí)際情境.

問(wèn)題1探究能否用1個(gè)長(zhǎng)為2dm、寬為1dm的長(zhǎng)方形紙片，拼成一個(gè)正方形（小組合作，進(jìn)行剪拼）紙片，且保持面積不變？邊長(zhǎng)是多少？

問(wèn)題2正方形的邊長(zhǎng)與面積之間有什么關(guān)系？（已知邊長(zhǎng)求面積，即已知一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)的平方.）

問(wèn)題3如果已知正方形的面積分別是1，4，9，36，425，…，你能求出正方形的邊長(zhǎng)嗎？

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1給學(xué)生制造認(rèn)知沖突：明明是一樣的問(wèn)題，為什么面積為2的時(shí)候就回答不出來(lái)呢？從而激發(fā)學(xué)生探究算術(shù)平方根概念的求知欲.問(wèn)題2和問(wèn)題3給予學(xué)生思考“已知邊長(zhǎng)求面積”與“已知面積求邊長(zhǎng)”的互逆運(yùn)算關(guān)系.

2.2.2問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，形成概念

問(wèn)題4若已知正方形的面積為a，因?yàn)檫呴L(zhǎng)2=面積，所以（）2=a，即已知，求.

問(wèn)題5a是x的平方，x又是a的什么呢？x的取值范圍有限制嗎？

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題4和問(wèn)題5引導(dǎo)學(xué)生從特殊轉(zhuǎn)向一般視角思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

2.2.3概念應(yīng)用，深化理解

例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

（1）100. （2）4964.（3）0.0001.

問(wèn)題6當(dāng)被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根有什么特點(diǎn)？

問(wèn)題7你能自己判斷算出來(lái)的答案是否正確嗎？

問(wèn)題8（1）a的取值范圍是多少？

（2）a的取值范圍是多少？

設(shè)計(jì)意圖例1讓學(xué)生在準(zhǔn)確理解概念的基礎(chǔ)上，充分利用概念求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根；問(wèn)題6讓學(xué)生體會(huì)得出結(jié)論，并為后面估計(jì)平方根的大小作鋪墊.問(wèn)題7加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根性質(zhì)有更深入理解.問(wèn)題8啟發(fā)學(xué)生探究被開(kāi)方數(shù)與算術(shù)平方根的性質(zhì).

2.2.4學(xué)以致用，鞏固新知

例2皮皮家客廳是使用整塊的正方形地磚鋪成的，面積為21.6m2，皮皮數(shù)了一下，正好是60塊，請(qǐng)你幫忙算一下，每塊地板磚的邊長(zhǎng)是多少.

師生活動(dòng)學(xué)生思考并書寫過(guò)程.讓學(xué)生體會(huì)算術(shù)平方根在實(shí)際生活中的應(yīng)用，也是把數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)生活呈現(xiàn)的過(guò)程，注意強(qiáng)調(diào)邊長(zhǎng)x是非負(fù)數(shù).

問(wèn)題9如果把x2=0.36中x的非負(fù)數(shù)這個(gè)條件去掉，式子中的x是多少？

問(wèn)題10若把x2=0.36改成x3=0.36，那么意味著要找一個(gè)數(shù)，使它的立方等于0.36，大家可以類比今天學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的方法，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

設(shè)計(jì)意圖例2由實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系列出方程，建立數(shù)學(xué)模型，解方程（即求算術(shù)平方根）得到實(shí)際問(wèn)題的答案，加深印象.問(wèn)題9和問(wèn)題10讓學(xué)中實(shí)物生去比較式子的不同之處，不僅為后面的知識(shí)學(xué)習(xí)作鋪墊，還培養(yǎng)學(xué)生利用已學(xué)的知識(shí)去探索新知識(shí)的能力.

2.2.5小結(jié)提升，系統(tǒng)體會(huì)

（1）本節(jié)課主要經(jīng)歷了概念形成與發(fā)展的過(guò)程：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→抽象概念→認(rèn)識(shí)概念→解決問(wèn)題，體現(xiàn)了新課標(biāo)中的“三會(huì)”.

（2）獲得新知：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.即a的算術(shù)平方根是x，表示為a（規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0）.

（3）體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，以及從具體到抽象，由特殊到一般的思想.

（4）體會(huì)概念建立的一致性和連貫性.

加減，乘除，非負(fù)數(shù)的平方算術(shù)平方根，以后還會(huì)學(xué)習(xí)：平方平方根，立方立方根……

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)學(xué)生自主小結(jié)，加深對(duì)知識(shí)的理解.以及培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，特別是對(duì)比加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方互逆運(yùn)算，促使學(xué)生體會(huì)概念建立的一致性和連貫性.

3反思分析與啟示

3.1問(wèn)題引領(lǐng)、思維活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

3.1.1由特殊到一般，再由一般到特殊，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力

數(shù)學(xué)概念的形成在于不斷抽象化，經(jīng)驗(yàn)型形象思維→理論型抽象思維，由因?qū)Ч阈g(shù)方法→執(zhí)果索因、假設(shè)問(wèn)題已解決、引進(jìn)未知數(shù)的代數(shù)方法.故本課設(shè)計(jì)從實(shí)際問(wèn)題“已知邊長(zhǎng)求面積”與“已知面積求邊長(zhǎng)”這一逆運(yùn)算出發(fā)，轉(zhuǎn)化為“已知一個(gè)正數(shù)求其平方”與“已知一個(gè)正數(shù)的平方求這個(gè)正數(shù)”，再轉(zhuǎn)向探究“已知一個(gè)正數(shù)的平方求這個(gè)數(shù)”，層層遞進(jìn)，給予學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般概念的生成路徑，多層次多視角培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.

3.1.2乘除互逆，類比得到平方與開(kāi)平方互逆，提升代數(shù)推理能力

在課堂小結(jié)中，為促使學(xué)生體會(huì)概念建立的一致性和連貫性的理念，分別從“概念形成”“獲得新知”“數(shù)學(xué)思想”“概念建立一致性和連貫性”四個(gè)維度進(jìn)行歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)乘方的逆運(yùn)算，開(kāi)方結(jié)果可能出現(xiàn)“數(shù)不夠用”的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)“新數(shù)”，產(chǎn)生定義乘方的逆運(yùn)算，結(jié)果為算術(shù)平方根（平方根）概念.借助運(yùn)算數(shù)域的擴(kuò)充，梳理數(shù)系結(jié)構(gòu)的建立順序，從而提高學(xué)生代數(shù)推理能力，體會(huì)代數(shù)概念建立的一致性和連貫性.

3.2目標(biāo)導(dǎo)向、時(shí)機(jī)把握，滲透數(shù)學(xué)精神

3.2.1從鋪墊提問(wèn)到拓展啟思設(shè)置，踐行單元整體教學(xué)

問(wèn)題1的探究，把本課新知與舊知聯(lián)系起來(lái)，問(wèn)題10和問(wèn)題11將算術(shù)平方根與平方根、平方根與立方根有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，將本課新知與下一節(jié)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生洞見(jiàn)實(shí)數(shù)單元的主要知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系.增強(qiáng)整體教學(xué)的效果，以單元核心概念引領(lǐng)、知識(shí)結(jié)構(gòu)化，以單元整體教學(xué)目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，梳理上位知識(shí)與下位知識(shí)關(guān)系.

3.2.2跨學(xué)科與數(shù)學(xué)文化搶答游戲，潤(rùn)澤代數(shù)概念教學(xué)

本課在引導(dǎo)探究如何簡(jiǎn)化“a的算術(shù)平方根”的文字表達(dá)后，呈現(xiàn)根號(hào)的發(fā)展史，激發(fā)學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)源的好奇心，促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)文化.動(dòng)手剪拼正方形的教學(xué)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了踐行綜合育人、實(shí)踐育人的理念，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

3.3知識(shí)沖突、本質(zhì)理解，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值

3.3.1探究“數(shù)不夠用”核心問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究動(dòng)力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求課堂教學(xué)以培養(yǎng)素養(yǎng)為立意，意味著素養(yǎng)目標(biāo)的任務(wù)化不僅關(guān)注“如何學(xué)”，更關(guān)注“為何學(xué)”；知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化不僅關(guān)注知識(shí)“如何產(chǎn)生”，更關(guān)注知識(shí)“為何產(chǎn)生”.具體行動(dòng)就是創(chuàng)建認(rèn)知沖突的真實(shí)教學(xué)情境，有效引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)“為何產(chǎn)生”.問(wèn)題1的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用，從而激發(fā)學(xué)生探究算術(shù)平方根概念的求知欲.

3.3.2研究教材，精設(shè)變式數(shù)形結(jié)合，引領(lǐng)學(xué)生感悟“三會(huì)”

教材設(shè)計(jì)先探究算術(shù)平方根為有理數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，再探究算術(shù)平方根不是有理數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，本課將其融為變式系列題組，從而發(fā)現(xiàn)算術(shù)平方根概念的產(chǎn)生意義和價(jià)值；引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用逆運(yùn)算數(shù)學(xué)思維解決求大正方形邊長(zhǎng)的問(wèn)題，會(huì)用方程表達(dá)大正方形面積與邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步思考如何簡(jiǎn)化“a的算術(shù)平方根”的文字表達(dá)，強(qiáng)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，感知符號(hào)產(chǎn)生的必要性，引領(lǐng)學(xué)生在動(dòng)手操作中增強(qiáng)感知、變式追問(wèn)中歸納概念、深入探究中辨析感悟，全程體驗(yàn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

4結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是在用數(shù)學(xué)眼光觀察、用數(shù)學(xué)思維思考、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的前后一貫、邏輯一致的認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)展起來(lái)的，在數(shù)學(xué)教育中，我們應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，提高他們的數(shù)學(xué)能力，引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而為他們未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2024年度重點(diǎn)課題“聚焦學(xué)科素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：202315811）的階段性研究成果】

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