借助分類討論思想，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)解題

【摘要】分類討論思想是初中階段解決數(shù)學(xué)問題的常見思想之一，通過對(duì)題目中展示的不同情況進(jìn)行分類討論，可以保證條理清晰，不重復(fù)、不遺漏.本文以初中數(shù)學(xué)題為例，研究分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率的提高.

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；解題方法

數(shù)學(xué)作為一門抽象性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)的學(xué)科，為幫助學(xué)生迅速找到解題的竅門，需要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)有效地應(yīng)用分類討論思想，優(yōu)化解題步驟，降低解題難度.

1借助分類討論思想，解答函數(shù)問題

例1在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=23x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)D在x軸上，且∠BCD=∠ABD.求圖象經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式.

思路分析通過分析題目不難發(fā)現(xiàn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)容易確定，但D點(diǎn)的坐標(biāo)難以確定，所以說(shuō)解題的關(guān)鍵是確定D點(diǎn)的坐標(biāo).再結(jié)合點(diǎn)D在x軸上，且∠BCD=∠ABD的條件，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的位置不確定，它能在C點(diǎn)的右側(cè)，也能在C點(diǎn)的左側(cè).因此，解答此題時(shí)，需要進(jìn)行分類討論.

解析已知點(diǎn)A、B分別是一次函數(shù)y=23x+2與x軸、y軸的交點(diǎn)，

所以A－3，0，B0，2.

因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為1，0，根據(jù)勾股定理可得，BC=3，AB=11.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為x，0.

情況1，當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)的右側(cè)，即xgt;1，如圖1所示.

因?yàn)椤螧CD=∠ABD，

∠BDC=∠ADB，

所以△BCD∽△ABD，相似比為BCAB，

又因?yàn)镾△BCD=12CD·OB，

S△ABD=12AD·OB，

所以S△BCDS△ABD=CDAD=BCAB2，

即x－1x+3=3112.

因?yàn)閤gt;1，

所以x－1x+3=311，解得x=52，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為52，0.

設(shè)圖象經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，可列出式子b=252k+b=0，

整理解得b=2k=－225，

所以所求一次函數(shù)為y=－225x+2.

情況2，當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)的左側(cè)，即xlt;1，如圖2所示.

因?yàn)椤螧CD=∠ABD，∠BAC=∠DAB，

所以△ABC∽△ADB，

所以ADAB=BDCB，

即x+311=x2+23，

整理解得x1=－14，x2=52.

又因?yàn)閤lt;1，

所以x2=52舍去，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為－14，0，

所以圖象經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=42x+2.

綜上，所求的一次函數(shù)為y=－225x+2或y=42x+2.

2借助分類討論思想，解答方程試題

例2求一元二次方程xx－5x+6=0的解.

思路分析本題考查一元二次方程的解.解答本題時(shí)，先進(jìn)行分組討論，再去掉絕對(duì)值符號(hào).

解析當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為x2－5x+6=0，

即x－2x－3=0，

解得x1=2，x2=3；

當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為x2－5x－6=0，

即x+1x－6=0，

解得x1=－1，x2=6，

因?yàn)閤＜0，所以x2=6舍去.

綜上，一元二次方程xx－5x+6=0的解為x1=2，x2=3，x3=－1.

3借助分類討論思想，解答幾何試題

例3矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長(zhǎng)為（）

思路分析本題考查勾股定理以及矩形、相似三角形的性質(zhì).通過分析題目，發(fā)現(xiàn)題目中并沒有明確指出點(diǎn)P與點(diǎn)E的位置.在條件不明確的情況下，應(yīng)結(jié)合題目所給的條件△APD是等腰三角形，分PD=DA、PD=PA兩種情況討論求解.因此，解答本題時(shí)，要靈活運(yùn)用分類討論思想.

解析已知四邊形ABCD為矩形，

所以∠BAD=90°，

求得BD=AB2+AD2=62+82=10.

情況1，當(dāng)PD=DA=8時(shí)，

BP=BD－PD=10－8=2，

因?yàn)椤鱌BE∽△DBC，

所以BPBD=PECD，即210=PE6，

求得PE=65.

情況2，當(dāng)PD=PA時(shí)，P為BD的中點(diǎn)，

因?yàn)椤鱌BE∽△DBC，

所以BPBD=PECD，即510=PE6，

求得PE=3.

綜上，PE的長(zhǎng)為65或3.

4結(jié)語(yǔ)

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中具有十分重要的作用，通過合理的科學(xué)運(yùn)用，學(xué)生可以更好地理清問題的本質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，提高應(yīng)對(duì)難題的自信心以及解題的效率、準(zhǔn)確性.因此，在初中數(shù)學(xué)解題中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用分類討論思想進(jìn)行解答.