分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】新課程改革以來，越來越重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).分類討論思想作為常見的數(shù)學(xué)解題思想之一，對(duì)學(xué)生的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性的發(fā)展具有重要作用.在初中數(shù)學(xué)的各類題型中，分類討論思想幾乎涵蓋各個(gè)領(lǐng)域，把握好這種思想，學(xué)生才能做到讀懂題，做對(duì)題，進(jìn)而真正提高自己的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類討論；解題能力

1函數(shù)中的分類討論

例1已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù)y=2mx2+（m+2）x+1的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的值為.

分析題目中告訴我們“函數(shù)”y=2mx2+（m+2）x+1的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，并沒有明確是什么函數(shù)，無論是二次函數(shù)還是一次函數(shù)都有可能成立，因此需要我們就這一不確定情況進(jìn)行分類討論.

解析（1）當(dāng)函數(shù)y=2mx2+（m+2）x+1為一次函數(shù)時(shí)，

m=0，此時(shí)函數(shù)為y=2x+1，通過函數(shù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，與x軸交于點(diǎn)（-12，0），滿足函數(shù)圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

（2）當(dāng)函數(shù)y=2mx2+（m+2）x+1為二次函數(shù)時(shí)，m≠0，此時(shí)，當(dāng)函數(shù)圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△=b2－4ac=0，代入數(shù)據(jù)可得（m+2）2－4×2m=0，化簡(jiǎn)可得（m－2）2=0，解得m=2.

綜上所述，當(dāng)函數(shù)y=2mx2+（m+2）x+1為一次函數(shù)時(shí)，m的值為0，當(dāng)函數(shù)y=2mx2+（m+2）x+1為二次函數(shù)時(shí)，m的值為2.

評(píng)析函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)之一，對(duì)于這類問題，往往需要考慮其含有的參數(shù)的意義，從函數(shù)的意義出發(fā)，明確題目中存在的不確定因素，然后有邏輯的依次進(jìn)行分類討論，做到不重復(fù)不遺漏，這樣復(fù)雜的問題就可迎刃而解了.

2幾何中的分類討論

例2在一張矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)M在AD邊所在的直線上，且DM=1，將矩形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，折痕與AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，則線段EF的長(zhǎng)度為.

分析本題中一個(gè)不確定且易錯(cuò)的點(diǎn)在于“點(diǎn)M在AD邊所在的直線上”，很多學(xué)生會(huì)下意識(shí)以為點(diǎn)M是在矩形紙片ABCD中的AD邊上，從而忽略點(diǎn)M在矩形紙片外的情況，這也是本題中需要分類討論的關(guān)鍵點(diǎn).

解析因?yàn)辄c(diǎn)M在AD邊所在的直線上，所以可能存在兩種情況，具體分析如下：

（1）點(diǎn)M是在矩形紙片ABCD外

因?yàn)镋F與BM是矩形紙片ABCD折疊所得的兩條折痕，

所以EF⊥BM，OB=OM，∠BOE=∠MOE.

所以∠BOF=∠MOE=90°.

在Rt△BOF與Rt△MOE中，∠BOF=∠MOE∠OBF=∠OME

所以Rt△BOF≌Rt△MOE，

所以O(shè)E=OF.

在Rt△BAM中，AM=AD+DM=6，

BM=AM2+AB2=35，

所以O(shè)M=352，

因?yàn)椤螹AB=∠MOE=90°，∠AMB=∠OME，

所以Rt△ABM∽R(shí)t△OEM，

所以AMAB=OMOE，

所以O(shè)E=354，

所以EF=2OE=352.

（2）點(diǎn)M是在矩形紙片ABCD內(nèi)

因?yàn)镋F與BM是矩形紙片ABCD折疊所得的兩條折痕，

所以EF⊥BM，OB=OM，∠BOE=∠MOE.

所以∠BOF=∠MOE=90°.

在Rt△BOF與Rt△MOE中，∠BOF=∠MOE∠OBF=∠OME，

，所以Rt△BOF≌Rt△MOE，

所以O(shè)E=OF.

在Rt△BAM中，AM=AD－DM=4，

BM=AM2+AB2=5，

所以O(shè)M=52，

因?yàn)椤螹AB=∠MOE=90°，∠AMB=∠OME，

所以Rt△ABM∽R(shí)t△OEM，

所以AMAB=OMOE，

所以O(shè)E=158，

所以EF=2OE=154.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M是在矩形紙片ABCD外時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度為352，當(dāng)點(diǎn)M是在矩形紙片ABCD內(nèi)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度為154.

評(píng)析幾何圖形的折疊問題是初中數(shù)學(xué)中常見的分類討論問題之一，圖形折痕的不確定性從而產(chǎn)生多種情況，解決這類問題需要學(xué)生找到分類討論的對(duì)象，繼而分析可能存在的情況范圍，最后總結(jié)得出最終結(jié)果.

3結(jié)語

綜上例題可以發(fā)現(xiàn)，分類討論產(chǎn)生的根本原因是題目中的不確定性，當(dāng)學(xué)生完整經(jīng)歷在讀題中發(fā)現(xiàn)這種不確定因素，知其分類討論的范圍標(biāo)準(zhǔn)，并結(jié)合題目依次不遺漏的進(jìn)行分析討論，最后總結(jié)歸納得出最終結(jié)論的全過程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分類討論是簡(jiǎn)化難題的重要思想，熟練掌握這種思想，學(xué)生的解題能力將大幅提升.