例析半角模型，巧用方法突破

【摘要】半角模型是初中平面幾何問題中的常見題型.解決類似問題的常見方法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法，截長(zhǎng)補(bǔ)短法.本文結(jié)合例題談如何利用這兩種方法求得證明，幫助學(xué)生在考場(chǎng)上快速找到解題的突破口.

【關(guān)鍵詞】半角模型；初中數(shù)學(xué)；解題方法

解題原理我們習(xí)慣將過等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型叫做半角模型.針對(duì)不同類型的半角模型，主要采用旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法予以論證.旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法的解題原理是找到含半角的角度，識(shí)別共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前后的圖形，再根據(jù)全等進(jìn)行相關(guān)的證明和計(jì)算；截長(zhǎng)補(bǔ)短法的解題原理是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等得到邊角關(guān)系，從而進(jìn)行相關(guān)證明或計(jì)算.

典型半角模型

例題如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，連接點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：BE+DF＝EF .

方法1旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法

證明如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，使得AD和AB重合，即△ADF≌△ABG，則DF=BG，AF=AG，∠GAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠FAE，AE＝AE（SAS），則△AEF≌△AEG，EF＝EG；即可證明EF＝EG＝BE+DF.

方法2截長(zhǎng)補(bǔ)短法

證明延長(zhǎng)EB至點(diǎn)G，使得BG＝DF，連接AG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD，∠D=∠ABE=90°，∠ABG=180°－90°=90°=∠D，通過SAS證明△ADF≌△ABG，所以AG=AF，在△AEF和△AEG中，∠GAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠FAE，AE＝AE（SAS），所以△AEF≌△AEG，EF=EG，即可證明EF＝EG＝BE+DF.

評(píng)析該試題是最為典型的正方形半角模型，主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定、正方形邊角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題思路是利用旋轉(zhuǎn)和截長(zhǎng)補(bǔ)短兩種方法對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明三角形全等，依據(jù)三角形全等找到邊與邊之間的關(guān)系.基于該試題的基本特征，許多習(xí)題得以延伸和拓展，也可以采用以上兩種方法進(jìn)行解析.

變式習(xí)題1如圖3所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CB，DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，連接EF.求證：DF－BE=EF.

方法1旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法

證明如圖4，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM，使得AB與AD重合，即△ABE≌△ADM，所以BE=DM，AE=AM，所以∠DAM=∠BAE；因?yàn)椤螮AF=∠BAE+∠BAF=45°，∠DAM+∠BAF=45°，所以∠MAF=90°－45°=45°=∠EAF，通過SAS證明△AEF≌△AMF，EF=MF，即可證明EF=MF=DF－DM=DF－BE.

方法2截長(zhǎng)補(bǔ)短法

證明在DF上取一點(diǎn)M，使得DM=BE，連接AM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD，∠D=∠ABC=90°，∠ABE＝180°－∠ABC=180°－90°=90°=∠D，即△ABE≌△ADM，BE=DM，AE=AM，同上可得△AEF≌△AMF，即可證明EF=MF=DF－DM=DF－BE.

評(píng)析變式習(xí)題1是在例題的基礎(chǔ)上的延伸，主要考查線段、正方形邊角間的等量關(guān)系和全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵還是借助半角模型的旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法來(lái)得出關(guān)系，從而求得證明.

變式習(xí)題2如圖5所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，連接EF.求證：BE－DF=EF.

方法1旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法

證明如圖6，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，使得AD與AB重合，即△ADF≌△ABM，AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，因?yàn)椤螹AE=90°－∠BAM－∠EAD=90°－∠EAF=45°，通過SAS證明△AME≌△AFE，EF=EM，即可證明EF=EM=BE－BM=BE－DF.

方法2截長(zhǎng)補(bǔ)短法

證明在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=DF，連接AM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠ADF=180－∠ADC=90°=∠B，通過SAS證明△ABM≌△ADF，AM=AF，DF=BM，∠DAF=∠BAM，因?yàn)椤螹AE=90°－∠BAM－∠EAD=90°－∠EAF=45°，通過SAS證明△AME≌△AFE，EF=EM，即可證明EF=EM=BE－BM=BE－DF.

評(píng)析該題同樣是對(duì)經(jīng)典例題的變式，解題方法和考查的知識(shí)點(diǎn)都是類似的，只是在例題的基礎(chǔ)上對(duì)三角形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn)，解題方法還是利用以上兩種方法證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找到線段與線段間的關(guān)系.

結(jié)語(yǔ)

近年來(lái)的幾何試題中，大部分與半角模型相關(guān)的試題，都是在基本模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的變化和延伸，雖然題目變化多樣，但萬(wàn)變不離其宗，解題思路都是利用半角模型，將半角兩邊的三角形旋轉(zhuǎn)到另一邊合成新的三角形，或者通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，也就是借助旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法去尋找線段、角之間的關(guān)系以解決論證問題.教師在講解此類題型時(shí)要注重發(fā)散思維，重點(diǎn)為學(xué)生提供此類試題的思路，幫助學(xué)生更好地利用半角模型解決幾何問題.