遷移能力培養(yǎng)下的小學(xué)主題單元教學(xué)

隨著時(shí)代的發(fā)展，“運(yùn)算能力”作為核心素養(yǎng)被提出來，它的意義不再僅僅局限于簡(jiǎn)單的計(jì)算技能，而是追求對(duì)運(yùn)算背后知識(shí)、方法、思想、原理的理解。核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算被賦予了更多維度的要求和更深層次的內(nèi)涵。

蘇教版教材中整數(shù)乘法教學(xué)始于二年級(jí)上冊(cè)第三單元“表內(nèi)乘法”，止于四年級(jí)下冊(cè)第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。在這期間，三年級(jí)上冊(cè)安排“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算（含估算）”，三年級(jí)下冊(cè)安排了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”。每個(gè)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)，進(jìn)一步分析，可以將整數(shù)乘法分為兩個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，第一層次是乘法的意義及表內(nèi)乘法；第二層次是多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和兩位數(shù)乘三位數(shù)，目標(biāo)是運(yùn)用分與合的思想遷移運(yùn)用表內(nèi)乘法相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”屬于整數(shù)乘法第二層次教學(xué)內(nèi)容，在筆算乘法中具有承前啟后的重要作用，有著與兩、三位數(shù)乘一位數(shù)相同的口算算理和算法，又是筆算教學(xué)中的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即從以前的“一層”跨入了“兩層”，也是四年級(jí)下冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”教學(xué)的一個(gè)正遷移。教學(xué)時(shí)可以通過遷移運(yùn)用多位數(shù)乘一位數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)。但在以往單課時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，筆者有這樣的感受：“只見樹木，不見森林?！奔床粌H忽視了不同階段筆算學(xué)習(xí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，而且沒有從乘法的意義、算理等高位視角進(jìn)行整合。因此，學(xué)生在缺乏聯(lián)系的點(diǎn)狀學(xué)習(xí)中難以遷移運(yùn)用已有知識(shí)結(jié)構(gòu)解決問題，導(dǎo)致遷移能力的培養(yǎng)未能達(dá)到預(yù)期效果。這種現(xiàn)象不禁讓人反思，能否以相同的算理和算法作為遷移點(diǎn)，以單元主題教學(xué)的形式，幫助學(xué)生構(gòu)建筆算乘法的整體知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力呢？這就是筆者研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”主題單元教學(xué)想要突破的。

一、促進(jìn)遷移能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)主題單元教學(xué)

在新知識(shí)的初學(xué)階段，其意義的建構(gòu)和獲得還沒有真正完成。按照有意義學(xué)習(xí)理論，新舊意義之間的聯(lián)系有一個(gè)同化、遷移的過程。所謂遷移，就其字面意思而言，就是搬動(dòng)、轉(zhuǎn)移；從心理學(xué)視角來說，是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的一個(gè)影響。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，遷移能力的培養(yǎng)與形成至關(guān)重要。具備遷移能力意味著學(xué)生能夠通過已學(xué)過的知識(shí)，尋找到前后知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決，并能做到舉一反三、靈活運(yùn)用。這一能力對(duì)于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)效率具有積極的促進(jìn)作用。主題單元教學(xué)以知識(shí)結(jié)構(gòu)為線索，以落實(shí)素養(yǎng)為根基，以促進(jìn)意義理解和實(shí)現(xiàn)遷移運(yùn)用為目的，通過結(jié)構(gòu)化和整合化的教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，同時(shí)深化學(xué)生對(duì)單元主題的理解和掌握。

二、學(xué)生遷移能力現(xiàn)狀分析

學(xué)情分析是主題單元教學(xué)的邏輯起點(diǎn)。為了了解學(xué)生的遷移能力，筆者對(duì)所帶兩個(gè)班級(jí)90名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)：想一想，24×12的意義是什么？怎么計(jì)算？嘗試將你的計(jì)算方法表示出來。該題側(cè)重對(duì)以下兩方面內(nèi)容進(jìn)行分析：（1）學(xué)生能否將多位數(shù)乘一位數(shù)的算理和算法經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到兩位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算中。（2）若無(wú)法遷移，學(xué)生計(jì)算時(shí)的主要難點(diǎn)是什么？需要教師如何進(jìn)行指導(dǎo)？

（一）學(xué)生的遷移能力

前測(cè)結(jié)果顯示，17%的學(xué)生計(jì)算過程和結(jié)果完全正確，10%的學(xué)生只有結(jié)果；22%的學(xué)生無(wú)論用橫式還是豎式計(jì)算時(shí)都出現(xiàn)了共性錯(cuò)誤：24×12=2×24＋1×24=72，這種算法是學(xué)生受到了多位數(shù)乘一位數(shù)的影響，忽略了中間交叉乘積的計(jì)算，其根本原因是不理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質(zhì)；50%以上的學(xué)生雖然能夠理解乘法算式的意義，并能借助點(diǎn)子圖進(jìn)行表征，但對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法卻無(wú)法用準(zhǔn)確的語(yǔ)言進(jìn)行表述，如先算什么、后算什么，更無(wú)法提煉兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法規(guī)律。

（二）學(xué)生的難點(diǎn)分析

將24×12的運(yùn)算過程進(jìn)行分解：首先是2×4等于8，然后是2×2等于4，當(dāng)然是40，接下來是1×4等于4，也是40，最后是1×2等于2，然后再將它們相加。這里存在五個(gè)步驟，哪一步是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)呢？從調(diào)研數(shù)據(jù)來看，學(xué)生對(duì)個(gè)位數(shù)上的2×4、2×2的計(jì)算基本沒有困難，這是之前學(xué)過的一位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算；學(xué)生真正的計(jì)算難點(diǎn)在于12中十位上的1×4為什么是40，而且在列豎式時(shí)為什么要從左下方往右上方去乘，且這個(gè)4的書寫位置為什么對(duì)應(yīng)的是十位，而不是個(gè)位。這也是學(xué)生計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)頻繁出錯(cuò)的點(diǎn)。這個(gè)難點(diǎn)的根源在于學(xué)生對(duì)算理的不理解。豎式計(jì)算從以前的一層跨入現(xiàn)在的兩層，怎樣突破這個(gè)難點(diǎn)，也是筆者本次教學(xué)研究的重點(diǎn)。

三、以遷移能力培養(yǎng)重構(gòu)單元教學(xué)內(nèi)容

基于以上分析，筆者嘗試以培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力為主線，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合，以“多位數(shù)乘兩位數(shù)”為單元主題，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算、筆算融入其中，讓學(xué)生經(jīng)歷算理探究和算法歸納的全過程，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，并遷移運(yùn)用到多位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算中（見表1）。

重構(gòu)后的主題單元教學(xué)將筆算乘法作為核心內(nèi)容，同時(shí)聯(lián)結(jié)了四年級(jí)下冊(cè)第三單元“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算，通過4個(gè)課時(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生溝通筆算與其他算法之間的聯(lián)系，并將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法遷移運(yùn)用到多位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算中，從而實(shí)現(xiàn)遷移能力的培養(yǎng)。

四、基于遷移能力培養(yǎng)的主題單元教學(xué)過程

基于遷移能力的培養(yǎng)，筆者在這里重點(diǎn)對(duì)口算乘法和筆算乘法兩個(gè)板塊教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)進(jìn)行論述。

（一）口算乘法，回顧乘法運(yùn)算算理

1.激活經(jīng)驗(yàn)，回顧乘法意義和兩位數(shù)乘一位數(shù)算理

任務(wù)一：出示情境圖，李叔叔買了2盒草莓，每盒草莓14個(gè)，一共有多少個(gè)草莓？自主列式，說一說為什么用乘法，14×2表示什么，14是由什么組成的。

學(xué)生活動(dòng)：大部分學(xué)生能夠列出算式14×2或2×14，表示的意義都是2個(gè)14是多少，只有極少部分學(xué)生會(huì)列出14+14。

教師提問：你能口算出14×2的結(jié)果嗎？并解釋自己的口算方法。這些口算方法各自有什么特點(diǎn)？說一說你喜歡哪種口算方法。（見圖1）

（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)從乘法的“零認(rèn)知”出發(fā)，根據(jù)情境圖列算式，引導(dǎo)學(xué)生回顧乘法的意義和數(shù)的組成，奠定乘法的基礎(chǔ)知識(shí)，明確“先分后合”的計(jì)算思路，為新知學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。）

2.自主探究，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化過程

任務(wù)二：出示情境圖，李叔叔培育出一批新品種菜椒，送給敬老院10盒，每盒12個(gè)。一共送給敬老院多少個(gè)菜椒？12×10的結(jié)果是多少呢？

生：利用一位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行口算，把10盒分成9盒和1盒進(jìn)行計(jì)算，12×9＝108，12×1＝12，108＋12＝120（個(gè)）。

生：我把每盒的12個(gè)菜椒分成10個(gè)和2個(gè)進(jìn)行計(jì)算。10×10=100，2×10=20，100+20=120（個(gè)）。

生：把10盒分成2個(gè)5盒，先算5盒有多少個(gè)，再算2個(gè)5盒有多少個(gè)，12×5=60，60+60=120（個(gè)）。

教師提問：對(duì)比分析，這些口算方法，你最喜歡哪一種？它們有什么共同點(diǎn)？

顯而易見，三個(gè)學(xué)生都遷移運(yùn)用了兩位數(shù)乘一位數(shù)口算中“先分后合”的計(jì)算思路。這樣一拆分就把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成了原來學(xué)過的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)。

生：這樣太麻煩，我利用學(xué)過的一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的方法進(jìn)行口算，直接算12×1等于12個(gè)一，12×10就等于12個(gè)十，也就是120。

追問：計(jì)算12×10，為什么可以先用12×1，然后再添0呢？道理是什么？

學(xué)生小組討論。小組討論結(jié)束后，師生共同總結(jié)算理：口算兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)時(shí)，先把0前面的數(shù)相乘，然后再把0添上去。特殊的，對(duì)于幾十乘幾十時(shí)，先算幾乘幾，再添兩個(gè)0。

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于乘法口算而言，在計(jì)算時(shí)最關(guān)鍵的步驟是對(duì)因數(shù)進(jìn)行拆分。在兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)將14拆分成10和4更容易口算。于是在兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算中，學(xué)生也嘗試遷移運(yùn)用以上方法，以探尋最為簡(jiǎn)便的方法。）

從未知到已知，初步實(shí)現(xiàn)了理解乘法算理和算法的正向遷移。

（二）筆算乘法，突破多位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算難點(diǎn)

在筆算乘法部分，將其分為兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）、兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）以及多位數(shù)乘兩位數(shù)三個(gè)部分。

任務(wù)三：結(jié)合點(diǎn)子圖（見圖2），在點(diǎn)子圖上圈一圈、畫一畫、找一找、算一算12×14，并具體說一說是怎么計(jì)算的。學(xué)生利用手中的點(diǎn)子圖自主探究，并匯報(bào)成果。

生：我將14分成10和4，12×10利用兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的方法等于120，12×4等于48，120+48=168。

生：我將14分成7和7，12×7利用兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法等于84，84+84=168。

生：我將12分成10和2，14×10=140，14×2=28，140+28=168。

教師提問：這些拆分法有什么區(qū)別嗎？小組比較不同的拆分方法，將其分類，并從中選出最優(yōu)的方法。大多數(shù)小組認(rèn)為，將14拆成10和4，或?qū)?2分成10和2計(jì)算最簡(jiǎn)便。

追問：我們通過分步計(jì)算得到了12×14的積。你能用一個(gè)豎式來計(jì)算12×14嗎？（見圖3）

在列豎式計(jì)算時(shí)，只有少數(shù)同學(xué)第二步計(jì)算是12×1=12，將2寫到個(gè)位上，得到48+12=60的錯(cuò)誤結(jié)果。對(duì)于筆算乘法，這是學(xué)生第一次構(gòu)建兩層樓的豎式，所有的豎式都需要經(jīng)歷表征、橫式到豎式記錄的過程。因此，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，筆者再次讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上分一分，并把四次相乘得出的結(jié)果在圖上圈出來，以此幫助學(xué)生理解算法和算理的關(guān)系。

追問：比較我們計(jì)算兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的方法，看看它們有什么相同之處。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是什么？

師生討論發(fā)現(xiàn)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是根據(jù)數(shù)和乘法的意義，把其中一個(gè)因數(shù)拆分成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式，然后再分別相乘，把積加起來。它們都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一新知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)過的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)或一位數(shù)乘一位數(shù)的舊知識(shí)，其中運(yùn)用到了遷移和轉(zhuǎn)化的思想方法。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生通過把“兩乘一加”的橫式推算過程在豎式中表示出來，自主完成由橫式推算走向豎式算法建構(gòu)的過程。）

任務(wù)四：列豎式計(jì)算43×65，并說明筆算過程及豎式中每一步的含義。（答案見圖4）

（設(shè)計(jì)意圖：43×65的計(jì)算涉及兩位數(shù)乘以兩位數(shù)進(jìn)位的運(yùn)算規(guī)律。這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生遷移前面所學(xué)的規(guī)律自己列豎式計(jì)算，并說明筆算過程及豎式中每一個(gè)數(shù)字的含義。這樣既幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握豎式計(jì)算的順序和方法，又加深學(xué)生對(duì)豎式含義的理解，從而達(dá)到真正理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理，鞏固算法。）

（三）遷移探究，多位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算方法

三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、算法與多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)是一致的，只不過三位數(shù)乘兩位數(shù)多了一個(gè)計(jì)算步驟。在教學(xué)過程中，筆者放手讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，將已有的乘法豎式方法遷移到當(dāng)前的學(xué)習(xí)中，以促進(jìn)學(xué)生遷移能力的提升。兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)，都是先用第一個(gè)因數(shù)去乘第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位，得到幾個(gè)一，再用第一個(gè)因數(shù)去乘第二個(gè)因數(shù)的十位，得到幾個(gè)十，最后把兩次乘得的結(jié)果合起來。兩位數(shù)乘兩位數(shù)，先用兩位數(shù)去乘第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位，得數(shù)從個(gè)位寫起，表示多少個(gè)一，再用兩位數(shù)去乘第二個(gè)因數(shù)的十位，得數(shù)從十位寫起，表示多少個(gè)十，最后再把兩次的得數(shù)合起來。三位數(shù)乘兩位數(shù)同樣也是先用第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位去乘兩位數(shù)，得數(shù)從個(gè)位寫起，表示多少個(gè)一，再用兩位數(shù)去乘第二個(gè)因數(shù)的十位，得數(shù)從十位寫起，表示多少個(gè)十，最后再把兩次的得數(shù)合起來。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法相同，都是在“先分再合”，這樣自然而然地就把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)中了。根據(jù)這樣的規(guī)律，學(xué)生可以進(jìn)一步推理出三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)等的算理和算法，接著類推到多位數(shù)乘多位數(shù)。

五、結(jié)論

在本單元教學(xué)中，筆者利用前測(cè)結(jié)果了解學(xué)生遷移能力及對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，明確學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于對(duì)算理的理解；在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生回顧乘法的意義、兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理，激活學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，筆者牢牢抓住乘法的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生明確兩位數(shù)乘兩位數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)就是將其中一個(gè)因數(shù)進(jìn)行拆分，將其轉(zhuǎn)化成一位數(shù)或整十?dāng)?shù)乘兩位數(shù)來計(jì)算。筆者在類比探究的過程中，幫助學(xué)生搭建新舊知識(shí)的溝通橋梁，學(xué)會(huì)遷移運(yùn)用舊知識(shí)來解決新問題，最終促進(jìn)學(xué)生遷移能力的提高。

（作者單位：泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

編輯：常超波