數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用研究

摘 要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)，數(shù)學教學應注重引導學生體會和運用數(shù)學思想與方法。初中數(shù)學研究的兩大核心“數(shù)”與“形”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要價值。主要針對數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用進行分析，從“以形助數(shù)，將抽象問題直觀化”“以數(shù)解形，將直觀問題精確化”“數(shù)形結(jié)合，助力學生全面發(fā)展”三個維度著手，探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用路徑，繼而以“直線與圓的位置關系”為例，展開案例探究，旨在為初中數(shù)學教學改革提供理論支撐和實踐參考。

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學；教學實踐

作者簡介：高金云（1975—），女，山東省臨沂市沂南縣第三中學。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想，它將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形相結(jié)合，有助于人們更好地理解數(shù)學概念，解決數(shù)學問題。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中具有廣泛的應用價值，可以提高學生的數(shù)學思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力等。本研究從以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合三個方面著手，結(jié)合相關實例，從多個維度探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用路徑，以此引領學生感悟數(shù)學思想的獨特魅力，走進廣闊和絢麗多彩的數(shù)學世界。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用路徑

（一）以形助數(shù)，將抽象問題直觀化

“以形助數(shù)”是指將抽象的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形。初中生的數(shù)學知識儲備相對有限，容易陷入煩瑣的計算中而忽略問題的本質(zhì)。通過“以形助數(shù)”，教師可以引導學生將代數(shù)式與幾何圖形聯(lián)系起來，使其深入理解算式的意義和結(jié)構，從而更快找到解決問題的思路和方法。具體而言，在教學實踐中，教師應鼓勵學生動手畫圖，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，化抽象為直觀。在此基礎上，教師可以引導學生仔細觀察圖形，分析其性質(zhì)，明確代數(shù)式與幾何圖形之間的聯(lián)系，由此逐漸形成符號意識，學會運用“以形助數(shù)”的方法解決代數(shù)問題［1］。

（二）以數(shù)解形，將直觀問題精確化

“以數(shù)解形”是指借助精確的數(shù)式來描述圖像的某些屬性。在初中階段，部分學生在面對復雜的幾何問題時，容易局限于對圖形的直觀理解和主觀判斷，難以形成精確的解決方案。為了克服這一問題，教師可以通過“以數(shù)解形”的方法，引導學生將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用代數(shù)方法和數(shù)學定理進行求解，幫助學生更加系統(tǒng)地分析和解決問題。其中，建立坐標系是實現(xiàn)“以數(shù)解形”的基礎。通過建立坐標系，學生能夠?qū)缀螆D形問題轉(zhuǎn)化為坐標系中的點、線、面等問題，從而運用代數(shù)方法進行求解。在此環(huán)節(jié)中，教師應該引導學生注意坐標系的單位、原點以及坐標軸的方向等要素，確保坐標的準確性和問題分析的正確性。在建立坐標系的基礎上，學生可以建立代數(shù)表達式來描述幾何圖形的性質(zhì)，繼而利用代數(shù)方法對幾何圖形進行分析和計算，最終得出精確的解決方案。

（三）數(shù)形結(jié)合，助力學生全面發(fā)展

數(shù)與形的結(jié)合是數(shù)形結(jié)合思想的最高境界，將圖形的直觀性和數(shù)的精確性有機結(jié)合，能夠讓數(shù)學問題更加簡潔、直觀。通過數(shù)形結(jié)合，學生能夠從多個角度分析問題、解決問題，提高解題效率和質(zhì)量。在初中數(shù)學中，許多問題需要同時運用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的方法進行求解［2］。在具體教學中，教師應注重引導學生觀察和分析圖形，從圖形中提煉出數(shù)量關系，或是利用圖形的直觀性和形象性輔助理解抽象的代數(shù)問題。此外，教師可以設計一系列探索性的實踐活動，如剪紙、拼圖、設計圖案等，讓學生在動手操作的過程中感受圖形與數(shù)量的關系，潛移默化地提升空間想象能力和創(chuàng)新意識。在解決實際問題時，教師也應該重視數(shù)形結(jié)合思想的應用，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再利用圖形進行分析、求解，這不僅有助于學生提高解決問題的能力，還能使他們體會數(shù)學在實際生活中的價值與應用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用路徑——以“直線與圓的位置關系”為例

（一）以形作橋，跨越抽象界限

直線與圓的位置關系包括相交、相切和相離。為了幫助學生更好地理解和解決與這一概念相關的問題，教師可以運用“以形助數(shù)”的方法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形進行分析。具體而言，教師可以從圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2入手，引導學生思考：當直線y=kx+b與圓方程聯(lián)立時，會出現(xiàn)什么情況？基于問題驅(qū)動，教師可以組織學生以小組為單位，通過動手畫圖等方式深入觀察圖形，探討圖形的各種特性，以此明確直線與圓的位置關系。此時，代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，學生能通過圖形的變化更直觀地理解問題的本質(zhì)［3］。

例如，在探究直線與圓的相交問題時，學生可以通過作圖找到直線與圓的交點，得到兩個解。當直線與圓相切時，學生可以通過作圖找到直線與圓的切點，此時代數(shù)問題便轉(zhuǎn)化為求切線的問題。通過觀察圖形，學生會發(fā)現(xiàn)，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r。進一步地，學生可以通過作圖觀察兩圓相離的情況，此時方程組無解。由此，學生可以得出結(jié)論：當d＞r時，直線與圓相離。在這一系列活動中，學生運用“以形助數(shù)”方法，用圖形來輔助解決代數(shù)問題，強化了數(shù)學綜合能力。

（二）以數(shù)織網(wǎng)，捕獲直觀精髓

直線與圓的位置關系是初中幾何教學的重要組成部分，也是培養(yǎng)學生“以數(shù)解形”能力的重要載體。在具體教學中，教師可以采用“以數(shù)解形”的方法，將直觀的幾何圖形問題投射到坐標系的點、線、面上，鼓勵學生利用代數(shù)方法進行求解，進而幫助學生更深刻、全面地理解和掌握直線與圓的位置關系［4］。

首先，教師需要引導學生建立坐標系。在此環(huán)節(jié)，教師可以選擇直線與圓的交點或其他已知點作為原點，將該直線定義為x軸。在建立坐標系時，教師要指導學生關注坐標系的單位、原點位置以及坐標軸的方向等基本要素。其次，建立坐標系后，教師需要引導學生通過代數(shù)表達式描述直線和圓的性質(zhì)。例如，對于直線方程y=kx+b，教師可以幫助學生理解斜率k和截距b的幾何意義；對于圓的方程x2+y2=r2，教師則可以幫助學生理解半徑r的含義。最后，教師需要引導學生利用代數(shù)方法分析和計算直線與圓的位置關系。具體而言，教師可以組織學生研究直線和圓的方程，判斷它們是否有實數(shù)解。若方程組有兩個實數(shù)解，說明直線與圓相交；若僅有一個實數(shù)解，說明直線與圓相切；若無實數(shù)解，則說明直線與圓相離。在求解過程中，教師應引導學生聯(lián)立直線和圓的方程組，運用消元、化簡、解方程等代數(shù)技巧，求得解的個數(shù)，以此判定直線與圓的位置關系。

（三）數(shù)形相生，共鑄數(shù)學之魂

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中的璀璨瑰寶，它將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形巧妙融合，為學生鋪設了一條理解數(shù)學知識的坦途。作為初中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，直線與圓的位置關系集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。透過圖形這一窗口，學生可以直觀地觀察直線與圓的相交、相切和相離關系，結(jié)合代數(shù)語言，深入探索背后的數(shù)學奧秘。這一過程不僅能夠鍛煉學生的邏輯思維和問題解決能力，更為他們打開了通向廣闊數(shù)學世界的大門。

1.觀察圖樣，解析幾何，領悟直線與圓的微妙關系

首先，教師可以展示一些日常生活中與直線和圓相關的實物圖片，如火車軌道、圓形鐘面等，引起學生的興趣，然后引導他們思考直線與圓之間可能存在的位置關系。其次，教師可以讓學生動手繪制一些直線與圓，觀察它們在不同情況下的位置關系。在這個環(huán)節(jié)，教師應鼓勵學生用自己的語言描述觀察到的現(xiàn)象，從而培養(yǎng)學生的觀察能力和語言表達能力。最后，教師可以進一步引導學生提煉出直線與圓在不同位置關系下的數(shù)量特征［5］。具體見表1。

2.設計探究性活動，培養(yǎng)學生的空間想象力

直線與圓的位置關系是一個經(jīng)典的幾何問題。在應用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，教師應該切實把握學生的興趣愛好，著眼于學生的實際學情，設計一系列探索性實踐活動。以活動為載體，讓學生動手操作，觀察、分析和探究直線與圓的不同位置關系，由此激發(fā)學生的學習興趣和好奇心，使其在多維度、多層面上培養(yǎng)空間想象力和解決問題的能力。具體活動設計如下。

活動一：剪紙活動。在這個活動中，教師可以指導學生使用不同顏色的紙張剪出一個圓和一條“直線”（長條狀）。首先，學生將直線放置在圓上，觀察直線穿過圓的情形，并比較圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關系。其次，學生移動直線，使其與圓相交，比較圓心到直線的距離與圓的半徑的關系。最后，學生將直線與圓相切，比較圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關系。通過這一過程，學生可以直觀地感受到直線與圓在不同位置關系下的數(shù)量特征，深化對直線與圓位置關系的理解和掌握。

活動二：拼圖活動。在此活動中，教師準備不同大小和形狀的圓形紙片以及一些代表直線的細長紙片，要求學生利用這些紙片拼出各種有趣的圖案，如房子、樹木、動物等。在拼圖過程中，學生需要不斷調(diào)整直線與圓的位置關系，使圖案完整?；顒舆^程中，學生的數(shù)學思維會得到一定啟發(fā)，這有利于他們對直線與圓的位置關系展開更加多元化的探究，在實踐中發(fā)現(xiàn)幾何圖形之間的聯(lián)系，提升空間想象力。

活動三：設計圖案活動。教師可以鼓勵學生自己設計包含直線與圓的圖案，如“陽光下的花園”，圖中包含太陽（圓形）、花朵（不同大小的圓形）和陽光（直線）。學生可以先在紙上畫出草圖，然后將圖案剪出來。在這一活動中，學生能夠充分發(fā)揮想象力與創(chuàng)造力，將數(shù)學知識與實際生活相結(jié)合，增強審美能力和創(chuàng)新意識。

3.實問結(jié)合數(shù)形，彰顯數(shù)形結(jié)合思想魅力

直線與圓的位置關系不僅涉及幾何學的基礎概念，還與解析幾何、代數(shù)等有著密切的聯(lián)系。為了讓學生更好地理解和掌握這一知識點，教師可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，將實際問題與數(shù)學模型相結(jié)合，幫助學生更深刻地理解數(shù)學知識的實際應用，感受數(shù)形結(jié)合思想的魅力。

其一，數(shù)形結(jié)合思想在交通問題中的應用。在交通問題中，教師可以引導學生通過建立平面直角坐標系，將道路、車輛、信號燈等元素抽象為點和線，用代數(shù)方程表示它們之間的關系。例如，在十字路口的情境下，可以用直線表示車輛的行駛方向，用圓形表示信號燈的范圍，通過求解方程，分析車輛是否能夠順利通過十字路口。

其二，數(shù)形結(jié)合思想在環(huán)保問題中的應用。在環(huán)保問題中，教師可以鼓勵學生運用數(shù)形結(jié)合思想解決污染物擴散、生態(tài)平衡等問題。具體而言，學生在研究污染物擴散時，可以將污染物的濃度抽象為函數(shù)，用圖形表示污染物的擴散過程，通過建立和求解相關的數(shù)學方程，預測污染物的擴散趨勢，為環(huán)保決策提供科學依據(jù)。

其三，數(shù)形結(jié)合思想在建筑問題中的應用。在建筑問題中，教師可以組織學生以小組為單位，利用平面直角坐標系，將建筑物的位置、高度、形狀等信息抽象為點、線、面，用代數(shù)方程表示它們之間的關系［6］。例如，學生可以用直線表示建筑物的邊緣，用圓形表示建筑物的輪廓，通過計算圖形的面積和周長，優(yōu)化建筑物的設計方案。這樣的學習方式既能幫助學生鞏固知識，也能進一步培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和知識遷移能力。

三、總結(jié)

新課改背景下，數(shù)學思想在教學中的重要性不言而喻。尤其是在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的指導下，數(shù)學教學更應注重培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，引導學生理解和運用數(shù)學思想。作為初中數(shù)學的核心思想之一，數(shù)形結(jié)合思想對于學生理解數(shù)學概念、解決數(shù)學問題有著不可估量的價值。本研究探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透應用路徑，結(jié)合“直線與圓的位置關系”這一重要知識點，從以數(shù)助形、以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方面展開案例探究。未來，相關教育工作者應進一步探究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的創(chuàng)新應用，為 學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展貢獻力量。

［參考文獻］

梁雨穎.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的實踐應用分析［J］.天天愛科學（教學研究），2023（12）：173-175.

王雪梅.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學課堂教學中的滲透對策分析［N］.山西科技報，2023-10-16（B03）.

李莉.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學課堂教學中的滲透［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（15）：62-64.

楊會.思維導圖與數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的應用［J］.當代家庭教育，2023（15）：130-133.

嚴曹紅.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的應用策略［J］.數(shù)學大世界（上旬），2023（7）：26-28.

何朝富.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的應用［J］.考試周刊，2023（23）：107-110.