“相對(duì)與絕對(duì)”哲學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

【摘要】現(xiàn)代西方哲學(xué)觀念中主流的相對(duì)觀念認(rèn)為一切都是相對(duì)的，這種哲學(xué)觀念被廣泛應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科中.在數(shù)學(xué)學(xué)科中，基于對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的認(rèn)識(shí)，我們利用這種哲學(xué)觀念重新審視數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)其在數(shù)學(xué)教學(xué)中散發(fā)著耀眼的光芒，為我們的教學(xué)指引著方向.

【關(guān)鍵詞】相對(duì)；絕對(duì)；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

1研究背景：相對(duì)觀念在數(shù)學(xué)教學(xué)中散發(fā)的美

在一次一元一次方程的一道例題教學(xué)中，因一種不常規(guī)的解題思路引發(fā)了筆者的思考.

例1一艘郵輪從甲港到乙港順流而下需要3小時(shí)，由乙港到甲港逆流而上需4小時(shí)，一天這艘郵輪從早晨8點(diǎn)由甲港出發(fā)去往乙港，到達(dá)乙港時(shí)發(fā)現(xiàn)船上一逃生皮艇在途中落入水中，立刻返回，1小時(shí)后遇到逃生皮艇.試問(wèn)：逃生皮艇是幾點(diǎn)掉入水中的？

有學(xué)生提出可以不用方程來(lái)解決問(wèn)題：假設(shè)把逃生皮艇當(dāng)作參照物，不論順流還是逆流，則郵輪與逃生皮艇的相對(duì)速度始終是靜水船速，所以返回花一個(gè)小時(shí)找到就是在到前一個(gè)小時(shí)丟失，無(wú)需列式子解方程就可以知道逃生皮艇是在10點(diǎn)掉入水中的.我們知道物理中有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，學(xué)生就是利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，選擇的參照物不同來(lái)解決問(wèn)題的，由此不禁讓筆者想到物理中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)更本質(zhì)的是哲學(xué)思想中的相對(duì)與絕對(duì).西方現(xiàn)代哲學(xué)中居于主流地位的相對(duì)觀念認(rèn)為：一切都是相對(duì)的，事物只是相對(duì)于人的觀察系統(tǒng)的性質(zhì)的集合[1]REF_Ref139100625*MERGEFORMAT.事實(shí)上，數(shù)學(xué)的一切真理都是相對(duì)真理[2]REF_Ref139100658*MERGEFORMAT.帶著這種哲學(xué)觀念重新研讀新課標(biāo)，能領(lǐng)會(huì)到這種哲學(xué)思想獨(dú)具數(shù)學(xué)特征.

2理論支撐：相對(duì)與絕對(duì)理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中散發(fā)的光

2.1“方程與函數(shù)”的“前世今生”

數(shù)與代數(shù)是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石，可以幫助學(xué)生從數(shù)量的角度清晰地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[3]REF_Ref139108418*MERGEFORMAT.眾所周知，函數(shù)研究的是變量之間的變化關(guān)系，而方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量相等關(guān)系的有效模型.對(duì)于一個(gè)二元一次方程來(lái)說(shuō)，如果用現(xiàn)實(shí)情境賦予它具體的意義，此時(shí)方程中的兩個(gè)未知數(shù)就可以看成兩個(gè)變量，而此時(shí)的相等關(guān)系也就可以看成這兩個(gè)變量之間的一種變化關(guān)系，那這個(gè)二元一次方程也就可以看成一次函數(shù).函數(shù)的概念強(qiáng)調(diào)，在某個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)我們知道任何二元一次方程的相等關(guān)系時(shí)，都可以賦予其實(shí)際意義，將其看成某個(gè)變化關(guān)系，所以這種看問(wèn)題的角度是相對(duì)的.

2.2“三大變換”的“你中有我，我中有你”

“圖形的變化”強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形，理解圖形在軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)的變化規(guī)律和變化中的不變量REF_Ref139110171*MERGEFORMAT.圖形的變化教學(xué)應(yīng)當(dāng)通過(guò)信息技術(shù)的演示、實(shí)物的操作，讓學(xué)生感悟圖形軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移變化的基本特征，知道感知變化是需要參照物的，可以借助參照物訴說(shuō)變化的基本特征.對(duì)于圖形軸對(duì)稱(chēng)中的軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別和聯(lián)系，可以用相對(duì)觀念來(lái)看：如果把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形位于對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看成兩個(gè)圖形，那么這兩部分圖形就成軸對(duì)稱(chēng).同樣，中心對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系也可以用相對(duì)觀念來(lái)理解.

2.3“樣本與總體”的“父子像”

初中階段統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域包括“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“隨機(jī)事件的概率”兩個(gè)主題，學(xué)生通過(guò)樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的方法，以及定量刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的方法，形成和發(fā)展數(shù)據(jù)觀念REF_Ref139110204*MERGEFORMAT.統(tǒng)計(jì)和概率領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生感悟從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界的思維模式以及解決問(wèn)題的方法.由于是通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)推斷的總體特征，所以得出的很多數(shù)據(jù)都是相對(duì)的而不是絕對(duì)的.

3實(shí)現(xiàn)路徑：相對(duì)與絕對(duì)的“光芒”指引前行

帶著這種辯證的哲學(xué)觀念審視問(wèn)題，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的啟示作用.以下分別從圖形的變化之平移和圖形的變化之旋轉(zhuǎn)兩個(gè)方面舉例來(lái)說(shuō)明.

例2已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，得到矩形EBGF，點(diǎn)A，D，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在線段DF上時(shí)，BE與CD交于點(diǎn)H．

①求證：△BED≌△BAD；

②求DH的長(zhǎng)度．

（2）如圖2，若矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)P，連接PE，PF，求△PEF面積的取值范圍．

常規(guī)思路（1）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A＝∠BEF＝90°，AB＝BE，可證△ADB≌△EDB（HL）.②由全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠BDC＝∠EBD，可得BH＝DH，由勾股定理可求DH的值.

（2）由勾股定理可求BD的值，可得BP＝52.△PEF在動(dòng)，但EF的長(zhǎng)度不變，因此三角形的面積要最小或最大也就意味著EF邊上的高最小或最大.在矩形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，EF邊上的高（設(shè)其為h）與PE如果能構(gòu)成三角形，根據(jù)斜邊大于直角邊得h≤PE.又因?yàn)楦鶕?jù)三邊關(guān)系得PE≤BE+BP，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以h≤PE≤BE+BP.所以當(dāng)E在線段BD上時(shí)，△PEF的面積有最小值.同理可得，當(dāng)點(diǎn)E在線段DB延長(zhǎng)線上時(shí)，△PEF的面積有最大值．

相對(duì)的巧用此題第（2）問(wèn)的常規(guī)思路對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度比較大，運(yùn)用了直角三角形斜邊大于直角邊以及三角形三邊關(guān)系來(lái)分析與解決最值問(wèn)題，學(xué)生理解起來(lái)并非易事.但此題如果運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀念來(lái)解決就非常簡(jiǎn)潔，學(xué)生理解起來(lái)就比較輕松便于掌握.在旋轉(zhuǎn)矩形的過(guò)程中，要求△PEF面積的取值范圍，主要看線段EF和點(diǎn)P，我們知道線段EF會(huì)隨著矩形的旋轉(zhuǎn)變化而運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P是固定不變的.此時(shí)可以利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀念：這里看成兩個(gè)矩形最開(kāi)始是重疊的，我們固定EF不變即矩形EBGF位置不變，點(diǎn)P在旋轉(zhuǎn)，即矩形ABCD繞著B(niǎo)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，那P點(diǎn)的軌跡是以B點(diǎn)為圓心，BP為半徑的圓（見(jiàn)圖4）.那么求△PEF的面積取值范圍也就是求P點(diǎn)到線段EF的距離的取值范圍，由圖可知其一目了然，令人豁然開(kāi)朗.

4結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述具體實(shí)例，我們感受到相對(duì)的哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用，不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)相對(duì)與絕對(duì)，但應(yīng)明確肯定相對(duì)與絕對(duì)的辯證思想是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種基本形式.

參考文獻(xiàn)：

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