數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用策略研究

【摘要】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的思想方法.在初中日常課堂教學(xué)中以形思數(shù)，以數(shù)想形，數(shù)形結(jié)合，借助信息技術(shù)增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，使復(fù)雜代數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的代數(shù)知識(shí)具體化，促使學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想方法，達(dá)到抽象思維與形象思維的結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面：“數(shù)”是“形”的抽象概括，“形”是“數(shù)”的直觀表現(xiàn).尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，把相對(duì)復(fù)雜抽象的代數(shù)知識(shí)，以及代數(shù)之間的關(guān)系與幾何圖形或圖象結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考，以形思數(shù)，以數(shù)想形，有效地改進(jìn)教學(xué)方式，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想的形成.

1以形思數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”

1.1以形思數(shù)，建立數(shù)學(xué)概念

教師通過(guò)畫(huà)直觀圖前后對(duì)問(wèn)題理解程度的對(duì)比，突出圖的形象思維，理解圖在解決問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)，將抽象的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系直觀體現(xiàn)，找到解題思路，讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)在思考的過(guò)程中體會(huì)方法、理解本質(zhì)、發(fā)展思維、獲得數(shù)形結(jié)合思想.

例如在絕對(duì)值的授課中，教師如果僅僅用是語(yǔ)言敘述什么是絕對(duì)值，或者讓學(xué)生朗讀它的定義，即使記住概念，他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用時(shí)仍可能感到困難.如果教師能創(chuàng)設(shè)情境，并利用點(diǎn)、數(shù)軸等圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷絕對(duì)值概念形成的過(guò)程，這將有助于對(duì)學(xué)生實(shí)際操作能力的培養(yǎng).

例1甲、乙兩輛汽車(chē)在一條東西走向的街道上行駛，記向東行駛的里程數(shù)為正.兩輛汽車(chē)都從O地出發(fā).

（1）請(qǐng)以O(shè)為原點(diǎn)，適當(dāng)長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，畫(huà)一條數(shù)軸；

（2）甲車(chē)向東行駛3km到達(dá)A處，乙車(chē)向西行駛3km到達(dá)B處.請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A，B的位置；

（3）甲車(chē)?yán)^續(xù)向東行駛1.5km到達(dá)C處，乙車(chē)?yán)^續(xù)向西行駛1.5km到達(dá)D處，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出C，D的位置.

觀察數(shù)軸，你發(fā)現(xiàn)了什么？此時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)互為相反數(shù)（0除外）的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離一樣.于是，我們就把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

在這一過(guò)程中，學(xué)生自己畫(huà)數(shù)軸，描點(diǎn)，數(shù)單位長(zhǎng)度，既復(fù)習(xí)了舊知，又在舊知中找到生長(zhǎng)點(diǎn)，將零碎的知識(shí)點(diǎn)拼湊在一起，形成一個(gè)較為完整的體系，這有利于學(xué)生對(duì)這一塊知識(shí)點(diǎn)的掌握.

1.2以形思數(shù)，明析數(shù)量關(guān)系

學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖這一活動(dòng)，明確具體問(wèn)題，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言，明確其中的數(shù)量的關(guān)系，形成思維體系，完整地構(gòu)建了“數(shù)形結(jié)合”從外化到內(nèi)化的過(guò)程.

例2閱讀了7世紀(jì)的印度的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)賺與賠的例子后，以此例為模型創(chuàng)設(shè)一個(gè)與學(xué)生生活相關(guān)的例子——班級(jí)小金庫(kù).班級(jí)小金庫(kù)9月和10月的收入和支出的數(shù)量如下，其中收入為正，支出為負(fù)（單位：百元），表1如下.

表格中的第一列運(yùn)算對(duì)學(xué)生而言很輕松，第二列也容易推導(dǎo)，關(guān)鍵是兩行的運(yùn)算，需要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例的意義出發(fā)，并引入加法的數(shù)軸表示，能更直觀地反映了有理數(shù)加法法則的合理性.例如：（+5）+（-2）=？，+5表示9月份收入為500元，-2表示9月份支出為200元，則在500元的基礎(chǔ)上少去200元，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的表示就需要在5的基礎(chǔ)上向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到（+5）+（-2）=3.同理，（+3）+（-4）=？，+3表示10月份收入為300元，-4表示10月份支出為400元，則在300元的基礎(chǔ)上少去400元，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的表示就需要在3的基礎(chǔ)上向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到（+3）+（-4）=-1.

通過(guò)這樣的探究過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從“和與兩加數(shù)的符號(hào)”與“和與兩加數(shù)的絕對(duì)值”的角度觀察（+5）+（-2）=3與（+3）+（-4）=-1這兩個(gè)式子，便于歸納出異號(hào)兩數(shù)相加的法則.同樣的，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^(guò)數(shù)軸法，歸納互為相反數(shù)兩數(shù)相加的法則與一個(gè)數(shù)同0相加的法則，讓學(xué)生能深入本質(zhì)，理解法則，從而能熟練計(jì)算.

1.3以形思數(shù)，進(jìn)行有序思維

在平時(shí)的教學(xué)中，特別是遇到關(guān)系比較復(fù)雜，或者關(guān)系鏈比較多的時(shí)候，學(xué)生很難理清它們的關(guān)系.遇到這樣的情況，就可以運(yùn)用簡(jiǎn)單的畫(huà)圖，讓它幫助我們明確方向，找到目標(biāo).這樣的方式不但有助于學(xué)生直觀地看清關(guān)系，進(jìn)行有序的思維，也助于他們準(zhǔn)確表述.

例3方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的零點(diǎn)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以用一元二次函數(shù)的圖象來(lái)解決一元二次方程的根的問(wèn)題，幫助學(xué)生構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S體系.

若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍.

在此題中令f（x）=x²+2kx+3k，它的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是f（x）=0的解，由y=f（x）的圖象可知，要使兩根在-1，3之間，只需f（－1）gt;0，f（3）gt;0，f（－b/2a）=f（－k）lt;0同時(shí)成立，解得－1lt;klt;0.

2以數(shù)想形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”

數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)是運(yùn)算能力和推理能力.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是先學(xué)代數(shù)、后學(xué)圖形的一個(gè)過(guò)程，所以對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)相對(duì)單薄.所以要把對(duì)數(shù)和形認(rèn)知的思維過(guò)程進(jìn)行分解：數(shù)可以用怎么樣的圖形來(lái)表示？圖形有哪些數(shù)量關(guān)系？

2.1以數(shù)想形，理解各種公式

在初中的幾何學(xué)習(xí)中，勾股定理有著極其重要的地位.在教學(xué)過(guò)程中，如果能多去引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、合作探究證明勾股定理，會(huì)有助于他們?cè)诮忸}時(shí)自然而然地運(yùn)用勾股定理.

例如探索勾股定理這一課中，學(xué)生先通過(guò)課前查閱書(shū)籍、電子資料的方式了解勾股定理的歷史背景及重要性，然后在課上一起探索證明勾股定理.學(xué)生通過(guò)4張直角邊分別為a與b、斜邊為c的直角三角形紙片拼成邊長(zhǎng)不一樣的正方形或直角梯形，通過(guò)不同的面積計(jì)算方法得到公式a2+b2=c2，巧妙地證明了勾股定理.

學(xué)生在親自動(dòng)手的操作過(guò)程中能很好地體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系，利用圖形的面積關(guān)系得到了勾股定理.所以當(dāng)學(xué)生碰到變化多端的圖形問(wèn)題無(wú)法解決時(shí)，教師可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生手腦并用，用多種方式來(lái)理解各種公式、定理的含義，以達(dá)到深刻理解公式、定理的含義.

2.2以數(shù)想形，理解圖形性質(zhì)

浙教版八年級(jí)下冊(cè)的第4、5兩章涉及平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念、性質(zhì)定理與判定定理的內(nèi)容.概念是學(xué)習(xí)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)，這些四邊形之間有著密切的聯(lián)系.為了幫助學(xué)生深入理解，不混淆各個(gè)概念，可通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)效果來(lái)進(jìn)行教學(xué).

例4先回顧舊知，復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)與判定，再利用6根小棒擺成平行四邊形.

（1）能擺成多少個(gè)不同的平行四邊形？

（2）這些平行四邊形有什么共同的特點(diǎn)？

（3）有沒(méi)有面積最大的平行四邊形？

邊探索邊發(fā)現(xiàn)，可以擺成無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形.這些四邊形的周長(zhǎng)都是6個(gè)單位長(zhǎng)度，兩鄰邊都是2和1.將平行四邊形的一邊AD固定，其鄰邊的端點(diǎn)B在以A為圓心，1為半徑的圓上.在無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形中，當(dāng)一組鄰邊垂直時(shí)，面積是最大的，從而很自然地引出了矩形的概念.

同樣地，在講授菱形、正方形的概念時(shí)，依舊可以借助圖形，動(dòng)手、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)，更好地經(jīng)歷思路形成的過(guò)程，從而幫助學(xué)生更好地理解基本概念.

2.3以數(shù)想形，接觸極限思想

極限思想的應(yīng)用十分廣泛，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.但極限思想在初中的教學(xué)中沒(méi)有得到普遍的認(rèn)可和推廣，學(xué)生對(duì)這種思想方法比較陌生.雖然詳細(xì)講解極限思想的課程安排在大學(xué)，但在初中階段，可以適當(dāng)?shù)貪B透一點(diǎn)思想方法.用數(shù)形結(jié)合的方法展開(kāi)教學(xué)比較好.

例5如圖1，記拋物線y=-x₂₊₁的圖象與x正半軸的交點(diǎn)為A，將線段OA分成n等份，設(shè)分點(diǎn)分別為P₁，P₂，…P_n-1，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再記直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面積分別為S₁，S₂，…，，…；記W=S₁+S₂+…+S_n-1，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，你猜想W最可能的常數(shù)是（）

（A）2/3.（B）1/2.（C）1/3.（D）1/4.

對(duì)于這題，我們可以嘗試著用極限思想，記拋物線y=-x²+1交y軸與點(diǎn)B，S△AOB＜2Wlt;14S圓，即14lt;Wlt;π8，即答案選（C）.

借助數(shù)形結(jié)合，擴(kuò)充學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知廣度和深度：認(rèn)識(shí)了無(wú)限、“變”、曲線與估計(jì)計(jì)算.另外，運(yùn)用極限思想，可以把面積看成無(wú)數(shù)寬度極小的三角形面積之和，再合理構(gòu)造數(shù)列極限公式，便可以估算出其精確值.

3數(shù)形結(jié)合，借助信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出要恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，抓住其靈活多樣的表現(xiàn)形式，優(yōu)化教與學(xué)的方式，營(yíng)造濃厚的學(xué)習(xí)氛圍.諸如希沃教學(xué)、微課等教學(xué)形式的出現(xiàn)，為“數(shù)形結(jié)合”的建立提供了更好的平臺(tái)，特別是幾何畫(huà)板這一軟件.

例6“勾股樹(shù)”在畫(huà)的過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)每一步的小正方形面積的和等于大正方形的面積.這樣，當(dāng)所做的三角形的形狀發(fā)生變化時(shí)，畢達(dá)哥拉斯樹(shù)的枝干的茂密程度也相應(yīng)地發(fā)生了變化.圖形如圖2所示（參數(shù)n=5）.

通過(guò)動(dòng)態(tài)的展示不僅可以讓學(xué)生對(duì)勾股定理有深入的了解，還可以讓學(xué)生體會(huì)用幾何畫(huà)板證明勾股定理的直觀性和便利性.在新的教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生不僅對(duì)幾何畫(huà)板的作圖功能產(chǎn)生興趣，也能感受到數(shù)學(xué)的魅力所在，樂(lè)于主動(dòng)學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí).

4結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)中，數(shù)形具有同等的重要性.學(xué)生是否具備相互轉(zhuǎn)化的能力，重點(diǎn)在于教師的教學(xué)滲透.教師應(yīng)多考慮學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境，一起探究合作、探討交流、動(dòng)手實(shí)踐，一點(diǎn)一滴幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想框架，使這一觀點(diǎn)扎根于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

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