初中數(shù)學(xué)因式分解中的常見方法及例題解析

【摘要】本文介紹初中數(shù)學(xué)中因式分解的常見方法及其應(yīng)用策略，包括分組分解法、十字相乘法和整體思想法.通過例題解析，展示每種方法的特點和使用策略，旨在幫助教師更好地指導(dǎo)學(xué)生掌握因式分解技巧.分組分解法通過提取公因數(shù)和使用公式進行分解，十字相乘法通過拆分系數(shù)和交叉相乘來處理多項式，而整體思想法適用于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的多項式.本文強調(diào)觀察、分析和思考在因式分解中的重要性，建議教師靈活運用這些方法，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；因式分解；解題策略

1引言

因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和問題解決能力的重要途徑.然而，對于許多學(xué)生來說，因式分解卻是一個難點.如何幫助學(xué)生掌握因式分解的方法，提高他們運用這些方法解決問題的能力，是每一位數(shù)學(xué)教師都需要思考和探索的問題.本文將詳細介紹初中數(shù)學(xué)因式分解的三種常用方法：分組分解法、十字相乘法和整體思想法，并結(jié)合具體例題，分析這些方法的特點和應(yīng)用策略，為教師的教學(xué)實踐提供參考.

2分組分解法

分組分解法主要涉及將二次多項式依據(jù)其特性分為幾組，然后通過提取公因數(shù)或應(yīng)用公式實現(xiàn)因式分解.具體而言，這一方法包括兩個基本步驟：首先是對多項式進行分組，其次是對分好的組進行因式分解.根據(jù)分組的具體特點，分組分解法又可以進一步細化為兩種策略：一種是在分組之后采用提取公因數(shù)的方式進行分解，另一種則是使用特定的數(shù)學(xué)公式完成分解.

2.1分組后用提公因式法

例1分解因式：2mx-10my+5ny-nx.

思考在解答此題時，首先應(yīng)觀察各項之間的特征及其相互關(guān)系.分析可見，這四項可以分為兩種不同的組合方式，每種組合對應(yīng)一種特定的解題方法.

解法1

原式=（2mx-10my）+（5ny-nx）

=2m（x-5y）-n（x-5y）

=（x-5y）（2m-n）.

解法2

原式=（2mx-nx）+（-10my+5ny）

=x（2m-n）-5y（2m-n）

=（2m-n）（x-5y）.

2.2分組后用公式法

例2分解因式：x²-2xy+y²-z².

思考在本題中，表達式x²-2xy+y²顯然構(gòu)成一個完全平方式.因此，應(yīng)將其作為一個單獨的整體進行分組，并隨后進行因式分解.

解x²-2xy+y²-z²

=x²-2xy+y²-z²

=（x-y）²-z²

=（x-y+z）（x-y-z）.

反思分組分解法的成功運用依賴于學(xué)生對多項式各項特征的敏銳觀察和準確判斷，這對于一些基礎(chǔ)較弱或思維不夠靈活的學(xué)生來說，可能會造成一定的困難.因此，教師在教學(xué)中需要有針對性地進行引導(dǎo)，幫助學(xué)生逐步掌握分組方法的基本要領(lǐng).在實際操作中，學(xué)生常會在分組后提取公因數(shù)或應(yīng)用公式時出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致最終結(jié)果不正確.這要求教師在教學(xué)時不僅要強調(diào)方法的理論基礎(chǔ)，還要通過大量實例和練習(xí)，讓學(xué)生不斷積累經(jīng)驗，逐步提高分組分解的準確性和熟練度.

3十字相乘法

十字相乘法是因式分解的一種重要方法，常用于處理二次多項式的分解.盡管教材中未明確介紹這一方法，但由于其簡便性和廣泛適用性，許多一線教師會主動引入這一技巧.在實際教學(xué)和考試中，十字相乘法幾乎可以解決絕大部分的因式分解問題，因此掌握這一方法對于學(xué)生來說尤為重要.十字相乘法的核心在于通過拆分首尾兩項系數(shù)，并利用交叉相乘的結(jié)果匹配中間項的系數(shù)，從而實現(xiàn)因式分解.

十字相乘法的步驟可以概括為：（1）拆分首項和尾項的系數(shù)為兩個數(shù)的乘積；（2）將這兩個數(shù)分別置于相應(yīng)系數(shù)的上下位置；（3）交叉相乘，確保乘積之和等于中間項的系數(shù)；（4）將符合條件的數(shù)列出，得到最終的分解因式.這一方法需要學(xué)生具備一定的數(shù)感和細致的計算能力，教師在教學(xué)過程中應(yīng)通過大量實例和練習(xí)，幫助學(xué)生熟悉和掌握這一方法的應(yīng)用.通過有效的練習(xí)和指導(dǎo)，學(xué)生可以在較短時間內(nèi)熟練運用十字相乘法，提升因式分解的準確性和效率.

3.1二次項系數(shù)為1

例3分解因式：x2+8x+12.

思考將12拆分為兩個因數(shù)的乘積，同時要求這兩個因數(shù)的和為8.可以找到的幾種分解方式為：12=2×6，-2×-6，1×12，-1×-12，3×4，（-3）×（-4）.

在這些組合中，只有2×6的因數(shù)和滿足條件，即和為8.因此，這是唯一符合要求的分解方式.

解x²+8x+12

=x²+（2+6）x+2×6

=（x+2）（x+6）.

3.2二次項系數(shù)不為1

例4分解因式：3x²-11x+10.

思考與例3相比，本題中二次項的系數(shù)不是1.因此，應(yīng)將3和10分別拆分為兩個數(shù)的乘積，并通過交叉相乘的方式使得代數(shù)和等于-11.

1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11.

解3x²-11x+10=x-23x-5.

3.3二次項系數(shù)均不為1的齊次多項式

例5分解因式：2x²-7xy+6y².

思考本題中，首項和尾項的次數(shù)都是2，且系數(shù)都不是1，這增加了因式分解的難度.首先，我們需要將首項2x2和尾項6y2別拆分成兩個代數(shù)式的乘積.接著，通過交叉相乘的方法，確保這些代數(shù)式的和等于中間項的系數(shù)-7xy.

x-2y

2x-3y

-3xy+-4xy=-7xy.

解2x²-7xy+6y²=（x-2y）（2x-3y）.

反思十字相乘法要求學(xué)生具備較強的數(shù)感和細致的計算能力，尤其是在拆分系數(shù)和交叉相乘時，需要準確匹配中間項的系數(shù).為此，教師應(yīng)通過大量練習(xí)和實例，幫助學(xué)生提升計算能力和數(shù)感.在操作過程中，細微的計算錯誤可能導(dǎo)致整個因式分解過程的失敗，因此教師應(yīng)強調(diào)每一步驟的準確性和背后的原理.通過細致的講解和實例演示，學(xué)生可以更好地理解十字相乘法.

4整體思想法

在進行因式分解時，若多項式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜并且其各部分顯示出相似特征，一種常用的方法是將這些相似部分視作一個單一整體，然后對其進行因式分解.這個方法被稱為整體思想法.

例6分解因式：4x（x-y）²-12xy（y-x）.

思考首先，將-12xy（y-x）轉(zhuǎn)換為12xy（x-y）的形式.接著，識別并提取公因數(shù)4x（x-y），將其視為一個單獨的整體進行進一步的因式分解.

解4x（x-y）²-12xy（y-x）

=4x（x-y）²+12xy（x-y）

=4x（x-y）·（x-y）+4x（x-y）·3y

=4x（x-y）［（x-y）+3y］

=4x（x-y）（x-y+3y）

=4x（x-y）（x+2y）.

反思分析多項式時，可以觀察到其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，其中多個部分包含變量x，并且x-y和y-x結(jié)構(gòu)十分相似.在進行因式分解的過程中，很重要的一步是將x-y和y-x這兩種結(jié)構(gòu)統(tǒng)一化，以簡化整個分解過程.

5結(jié)語

分組分解法、十字相乘法和整體思想法是初中數(shù)學(xué)因式分解教學(xué)中的三種常用方法.每種方法都有其獨特的優(yōu)勢和適用范圍.作為教師，我們應(yīng)該在教學(xué)中靈活運用這些方法，并根據(jù)學(xué)生的實際情況，有針對性地進行講解和指導(dǎo).同時，我們也要注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、思維能力和問題解決能力，鼓勵他們在學(xué)習(xí)過程中多思考、多嘗試、多總結(jié)，不斷提高運用因式分解解決問題的能力.只有這樣，才能真正幫助學(xué)生掌握因式分解這一重要的數(shù)學(xué)工具，為他們今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ).

參考文獻：

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