初中數(shù)學函數(shù)應(yīng)用題解題技巧

【摘要】函數(shù)知識是初中數(shù)學的核心組成部分，在中考數(shù)學試卷中扮演著舉足輕重的角色.本文旨在通過分析研究，提供一系列針對性的教學參考和啟示，以助于同行們在函數(shù)教學中取得更好的成效.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；函數(shù)應(yīng)用；解題策略

函數(shù)知識在初中數(shù)學體系中占據(jù)著舉足輕重的地位，無論是在課程設(shè)置中還是中考中都顯得尤為關(guān)鍵，并占據(jù)了相當大的分值比重.這就要求我們在教學中，幫助學生深入理解和掌握函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵知識點，讓他們能夠靈活運用所學知識解決實際問題.這樣，才能為他們在中考中取得優(yōu)異成績做好充分準備，也為他們未來的學習之路奠定堅實的基礎(chǔ).

1剖析概念聯(lián)系，尋找解題思路

數(shù)學題中的各個概念彼此緊密相連，因此必須重視它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將其有效地整合起來.這樣做有助于系統(tǒng)地學習和掌握數(shù)學知識.函數(shù)應(yīng)用題這類題目往往側(cè)重于考查學生對函數(shù)的綜合運用能力，其涵蓋的內(nèi)容廣泛而深入.在初中數(shù)學中，函數(shù)應(yīng)用題往往具備高度的綜合性.這類題目不僅要求學生能夠熟練運用函數(shù)知識，還強調(diào)解題思路的構(gòu)建.

例1如圖1所示，已知拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸相交于點A和點B，同時該拋物線還經(jīng)過點C（5，4）.求出系數(shù)a的值，并求出拋物線的頂點P的坐標.

解析首先，點C的坐標是（5，4），將這個坐標代入拋物線方程中，可以求得系數(shù)a的值為1.進一步觀察拋物線的圖象，由于它是開口向上的，可以確認a的值確實大于0.因此，確定系數(shù)a的值為1.

然后，有了a的值就可以確定拋物線的具體方程為y=x²-5x+4.根據(jù)題目信息，這條拋物線與x軸相交，設(shè)交點分別為A（x₁，0）和B（x₂，0）.接下來，可以利用二次方程的求根公式或者配方法求解x₁和x₂的值.經(jīng)過計算，得到x₁的值為1，x₂的值為4.

最后，點P是拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道頂點的橫坐標是A，B兩點橫坐標的中點.因此，可以輕松計算出P點的橫坐標為2.5.然后，將這個橫坐標代入拋物線方程中，就可以求得P點的縱坐標.經(jīng)過計算，得出P點的坐標為（2.5，-2.25）.

這道題目綜合考查了函數(shù)問題的多個方面，包括拋物線的坐標問題、頂點問題以及系數(shù)問題.題目中的這些問題相互關(guān)聯(lián)，形成了一個完整的解題思路.

2設(shè)定待定系數(shù)，優(yōu)化解題策略

當題目指出兩個變量之間存在二次函數(shù)關(guān)系，并提供了若干具體的變量值時，可以通過這些給定的條件確定函數(shù)的表達式.在這種情況下，待定系數(shù)法尤為高效與實用.通過巧妙地運用這一方法，能夠準確地確定滿足題目要求的函數(shù)表達式.利用設(shè)定的待定系數(shù)優(yōu)化解題策略，可以使解題過程更為流暢和精確.

例2在一家大型超市里，有一種商品的進貨成本是20元每件.經(jīng)過深入的市場調(diào)研，超市管理人員發(fā)現(xiàn)該商品的銷售量與售價之間存在一定的關(guān)系.具體來說，當銷售單價定為x元時，每天的銷售量ω會是-2x+80件.超市想要優(yōu)化銷售策略，以最大化每天的利潤.假設(shè)每天的銷售利潤為y元，我們需要解決以下幾個關(guān)鍵問題：

（1）請建立一個數(shù)學模型，描述銷售單價x與銷售利潤y之間的函數(shù)關(guān)系.這樣，我們就可以通過調(diào)整售價來預(yù)測并優(yōu)化每天的利潤.

（2）在所有的可能售價中，哪一個售價x能使每天的利潤y達到最大值？這個最大利潤是多少？

解析這個問題是一個經(jīng)典的二次函數(shù)應(yīng)用問題，它體現(xiàn)了數(shù)學在商業(yè)決策中的實際應(yīng)用.在解決這一問題時，學生需要仔細閱讀和理解題目中的信息，并明確銷售單價、銷售量與銷售利潤之間的關(guān)系.解題過程中，將運用待定系數(shù)法來建立銷售利潤與銷售單價之間的二次函數(shù)關(guān)系式.

首先，為了找出x和y之間的函數(shù)關(guān)系式，需要綜合考慮該商品每天的銷售利潤和銷售數(shù)量.根據(jù)題意，銷售利潤y是銷售單價x減去進價20元后與銷售量ω的乘積.而銷售量ω與銷售單價x之間存在線性關(guān)系，即ω=-2x+80.因此，可以將ω的表達式代入銷售利潤的計算公式中，從而得到y(tǒng)=（x-20）（-2x+80）=-2x²+120x-1600.

接著，在求解最大利潤和銷售單價時，可以利用上一步中得到的二次函數(shù)關(guān)系式.由于這個二次函數(shù)的開口方向是向下的（系數(shù)a=-2＜0），其最大值會出現(xiàn)在對稱軸上，即x=-b/2a=30.將x=30代入函數(shù)關(guān)系式中，就可以計算出最大利潤y=200元.

3基于數(shù)量關(guān)系，找到解題方法

解答函數(shù)應(yīng)用題時，必須指導學生仔細閱讀并分析題目的內(nèi)容，深入理解其中的數(shù)量關(guān)系，并基于這些數(shù)量關(guān)系形成解題的思路.

例3為了改善居民的居住環(huán)境，某市計劃修建一個獨具特色的文化廣場.廣場的基礎(chǔ)設(shè)計為一個矩形ABCD，其四周則以半圓形擴展，這四個半圓的直徑恰好是矩形的四條邊.已知整個廣場的周長為628米，我們設(shè)矩形的一邊AB為y米，另一邊BC為x米.

圖2

（1）請寫出y關(guān)于x的表達式.

（2）矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)鵝卵石，每平方米成本428元；半圓形區(qū)域?qū)佋O(shè)花崗巖，每平方米成本400元.

①寫出總成本W(wǎng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

②若預(yù)算為1000萬元，判斷是否能實現(xiàn)目標，并給出設(shè)計方案或原因.

解析本題目基于實際建設(shè)場景，關(guān)鍵在于理解和利用題目中的數(shù)量關(guān)系.對于第（1）小題，可以利用圖形的分割和組合，結(jié)合圓的周長公式來求解.根據(jù)題目條件，πy+πx=628，化簡得y+x=200.再結(jié)合x+y=200，可解出y關(guān)于x的表達式.對于第（2）小題，需要結(jié)合廣場的幾何特征，計算鋪設(shè)的總面積，并據(jù)此得出工程的總造價W.通過計算，得到W的表達式，并可以利用配方法找到W的最小值.對比這個最小值與1000萬元的預(yù)算，可以判斷預(yù)算是否足夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期目標.經(jīng)過計算，發(fā)現(xiàn)即使是最小造價也超過了預(yù)算，因此投入1000萬元的成本是無法實現(xiàn)預(yù)期的建設(shè)目標的，需要考慮調(diào)整設(shè)計方案或增加預(yù)算，以滿足建設(shè)要求.

4結(jié)語

綜上所述，鑒于函數(shù)知識內(nèi)容繁雜且難度較大，教師在教學過程中需傾注更多精力與智慧，助力學生深入理解和掌握相關(guān)知識.教師應(yīng)緊密結(jié)合中考要求，將函數(shù)知識的講授與實戰(zhàn)演練緊密結(jié)合，使學生在日常學習中能夠?qū)⒗碚撝R轉(zhuǎn)化為解決實際問題的能力.