“幾何法+勾股定理”破解路徑問題探究

【摘要】“幾何法+勾股定理”可有效破解幾何路徑問題，總體思路分為兩步：第一步，分析圖形，進(jìn)行幾何變換，構(gòu)建模型；第二步，根據(jù)模型及題設(shè)條件，構(gòu)建直角三角形，結(jié)合勾股定理求線段長.本文針對三種“幾何法+勾股定理”策略進(jìn)行了具體探究，并結(jié)合實(shí)例探索構(gòu)建思路.

【關(guān)鍵詞】勾股定理；幾何法；初中數(shù)學(xué)

利用“幾何法+勾股定理”可以破解路徑問題，基本思路為通過幾何變換構(gòu)建模型，轉(zhuǎn)化為常規(guī)線段問題，再結(jié)合勾股定理求解線段值.常見的幾何法有平移變換、對稱變換、幾何展開，本文結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探究.

1平移變換+勾股定理

對于幾何結(jié)構(gòu)特殊的路徑問題，可以采用“平移變換+勾股定理”的策略，即對圖形進(jìn)行平移轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為常規(guī)的幾何圖形，再提取或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解線段.

解后評析上述求解兩點(diǎn)之間的距離時，采用了“平移變換+勾股定理”的策略，建模過程可視為是對線段BC、CD、EF進(jìn)行的平移，構(gòu)建直角三角形，再利用勾股定理可求線段長.平移變換指導(dǎo)過程中，建議引導(dǎo)學(xué)生明晰建模目標(biāo)，合理平移拼接模型.

2對稱變換+勾股定理

“對稱變換+勾股定理”也是破解路徑問題的常用策略，其核心知識為對稱變換特性和勾股定理，其中對稱變換是建模的主要方式.該種策略適用于點(diǎn)、線分散的幾何最短路徑問題，通過對稱變換可以確定最短線段.

策略分析對于本題目，可視為是求解線段和的最值問題，顯然需要確定點(diǎn)E的位置.可以采用“對稱變換+勾股定理”的策略，即通過對稱變換轉(zhuǎn)移點(diǎn)C的位置，方便后續(xù)最短線段建模，再構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求線段長.

解后評析上述求線段和最值時采用了“對稱變換+勾股定理”的策略，通過對稱變換將問題轉(zhuǎn)化為一般的線段最值問題，再構(gòu)建直角三角形利用勾股定理求解.教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生透視問題，本質(zhì)上可歸為“將軍飲馬”模型問題.

3圖形展開+勾股定理

“圖形展開+勾股定理”策略，適用于涉及立體幾何的路徑問題.探索幾何表面的兩點(diǎn)路徑時，可以將幾何圖展開，轉(zhuǎn)換為一般的平面，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段.

解后評析上述求解立體幾何表面的最短路徑時，采用了“圖形展開+勾股定理”的策略，展開圖形后，則問題可轉(zhuǎn)化為分析一般圖形的線段問題，后續(xù)構(gòu)建直角三角形模型即可求解.教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何體展開的方法，注意幾何體點(diǎn)、線之間的相對位置關(guān)系.

4結(jié)語

總之，本文呈現(xiàn)了三種“幾何法+勾股定理”的構(gòu)建策略，可有效破解線段路徑問題，策略背后所隱含的是幾何動態(tài)變換與直角三角形模型.教學(xué)指導(dǎo)時，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三點(diǎn)：一是關(guān)注解法的構(gòu)建思路，掌握適用題型；二是關(guān)注解法構(gòu)建中隱含的數(shù)學(xué)思想，感悟其中的思想內(nèi)涵；三是關(guān)注解后反思，深刻反思解題過程，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗.