幾何背景下的線段最值模型探究指導(dǎo)

【摘要】幾何背景下的線段最值模型在解題時(shí)應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的有垂線段最短模型、將軍飲馬模型和旋轉(zhuǎn)最值模型.教學(xué)指導(dǎo)時(shí)建議深入分析模型原理，探索構(gòu)建策略，再結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化訓(xùn)練.同時(shí)開(kāi)展解法評(píng)析，總結(jié)破題策略.

【關(guān)鍵詞】線段最值；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

幾何背景下的線段最值問(wèn)題較為常見(jiàn)，問(wèn)題解析需要確定具體模型，再選用對(duì)應(yīng)定理解析構(gòu)建.常見(jiàn)的模型有三類(lèi)：一是垂線段最短模型，二是將軍飲馬模型，三是旋轉(zhuǎn)最值模型.下面結(jié)合實(shí)例探究模型，總結(jié)破題策略.

1垂線段最短模型

垂線段最短模型是關(guān)于“直線與點(diǎn)”的幾何模型，教學(xué)中可借助具體直觀圖形引導(dǎo)學(xué)生理解何為垂線段.如圖1所示，垂線段的一端為一個(gè)點(diǎn)，另一端為垂足，顯然垂線段就為垂線的一部分.問(wèn)題探究時(shí)確定模型后，作垂線，明確垂線段，進(jìn)而判斷線段最值.

例1如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，而點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，再連接CQ，則CQ的最小值是_____.

解題指導(dǎo)求CQ的最小值，其中△PDQ為動(dòng)三角形，總體思路為借助全等三角形性質(zhì)來(lái)等線段轉(zhuǎn)化，構(gòu)造垂線段模型求線段最值.

解析在CD的上方作等邊△CDM，連接PM，DM，CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CB，設(shè)垂足為點(diǎn)H，如圖2中的虛線所示.通過(guò)線段和角度分析，可證△DPM≌△DQC（SAS），可推知PM=CQ，則只需求PM的最小值即可.

分析可知，當(dāng)PM⊥MH時(shí)，PM為最小值，此時(shí)最小值等于CH=1/2CD=1，即CQ的最小值為1.

解法評(píng)析上述解析過(guò)程中借助了垂線段最短模型，整體上分為兩步：第一步，全等轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為探究線段PM；第二步，構(gòu)建垂線段模型，求解最小線段.對(duì)于該模型的教學(xué)指導(dǎo)，建議按照“模型判斷→作垂線段→列式計(jì)算”的流程開(kāi)展.

2將軍飲馬模型

將軍飲馬模型，即探究“定點(diǎn)1—直線上動(dòng)點(diǎn)—定點(diǎn)2”的線段最值，呈現(xiàn)形式為線段和的最值.模型破解的核心知識(shí)為“對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化+兩點(diǎn)距離最值”.問(wèn)題呈現(xiàn)的形式多樣，解析時(shí)需要關(guān)注兩點(diǎn)與直線之間的相對(duì)位置關(guān)系.

例2如圖3所示，在等腰三角形ABC中，已知其底邊BC=6，其腰AC的垂直平分線EF與三角形的兩條腰AC和AB交于點(diǎn)E和F.其中點(diǎn)D為BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

如果△CDM的周長(zhǎng)的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為.

解題指導(dǎo)本題目以等腰三角形為背景進(jìn)行逆向探究，即探究周長(zhǎng)最值情形下的面積大小，實(shí)際上依然為線段最值問(wèn)題，其關(guān)鍵是確定點(diǎn)M的位置，可以借助將軍飲馬最值模型來(lái)分析.

解法評(píng)析上述問(wèn)題采用逆向探究的思路，即根據(jù)周長(zhǎng)最值確定關(guān)鍵點(diǎn)位置，求解三角形面積.教學(xué)指導(dǎo)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握“對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化”的兩種思路：一是主動(dòng)進(jìn)行對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化，即作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；二是挖掘圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，關(guān)注其中的垂直平分線、角平分線等.

3旋轉(zhuǎn)最值模型

旋轉(zhuǎn)最值模型，即根據(jù)“旋轉(zhuǎn)+點(diǎn)共線”構(gòu)建與線段相關(guān)的最值模型.解析過(guò)程中，關(guān)注其中的幾何角、線段長(zhǎng)，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)的方式來(lái)進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化，再利用“共線定理”來(lái)求解最值.該方法模型適用于“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題和三角形三邊關(guān)系問(wèn)題.

解法評(píng)析上述解析三線段的最小值時(shí)采用了旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化的策略，通過(guò)構(gòu)建“旋轉(zhuǎn)最值模型”，即將△APC繞著點(diǎn)C順時(shí)針60°得到△DFC，將三條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上.解析指導(dǎo)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注線段所涉點(diǎn)的位置，根據(jù)相關(guān)關(guān)系及目標(biāo)直線來(lái)提取旋轉(zhuǎn)角，確定旋轉(zhuǎn)方案.

4結(jié)語(yǔ)

總之，上述所呈現(xiàn)的垂線段最短模型、將軍飲馬模型和旋轉(zhuǎn)最值模型在解題時(shí)應(yīng)用廣泛.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)常見(jiàn)的最值模型，構(gòu)建解題流程，指導(dǎo)學(xué)生按照“問(wèn)題分析→模型判斷→作圖轉(zhuǎn)換→列式計(jì)算”的流程開(kāi)展問(wèn)題分析.