一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用

【摘要】一元二次方程應(yīng)用題是九年級(jí)應(yīng)用題中極其重要的一部分．依據(jù)一元二次方程的知識(shí)，可以解決諸多實(shí)際問題，尤其是求取未知長(zhǎng)度和在面積問題中的實(shí)際應(yīng)用等.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；解題應(yīng)用

類型1邊框問題

例1在一張長(zhǎng)方形紙片上裁剪一塊小長(zhǎng)方形，制成一張四周邊寬相等的長(zhǎng)方形邊框，如圖1，現(xiàn)在已知原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為30厘米和20厘米.要使裁剪后的長(zhǎng)方形邊框紙片的面積為400平方厘米，求該長(zhǎng)方形邊框的寬度是多少？

解析長(zhǎng)方形邊框紙片的面積即為裁剪中間部分之后的余下面積，需要注意裁剪之后的邊框?qū)挾榷际窍嗟鹊?按照一元二次方程處理面積問題的既定思路，求什么變量就設(shè)什么變量，所以設(shè)邊框的寬度為x厘米.大長(zhǎng)方形的面積可以利用題目信息求出，裁剪后的長(zhǎng)方形邊框面積同樣也是已知狀態(tài)，最后列出一元二次方程即可解出答案.

解已知原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為30厘米，寬為20厘米，可求得原長(zhǎng)方形的面積為30×20=600.

裁剪掉的長(zhǎng)方形面積中長(zhǎng)為30－2x厘米，寬為20－2x厘米.

則裁剪掉的長(zhǎng)方形面積為（30－2x）（20－2x）.

最終可列一元二次方程為30×20－400=（30－2x）（20－2x），

化簡(jiǎn)得200=600－100x+4x²，

合并同類項(xiàng)得x²－25x+100=0.

根據(jù)一元二次方程的求根公式法，

得出x₁=20，x₂=5

根據(jù)題目信息可得原長(zhǎng)方形的寬為20厘米.所以排除x1，該長(zhǎng)方形邊框的寬度是5厘米.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)一元二次方程，通常會(huì)設(shè)要求取的變量為x，若有改動(dòng)，視題目情況而變.

類型2修路問題

例2如圖2，某小學(xué)準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)寬分別為32米、20米的長(zhǎng)方形草地上修建若干條等寬的筆直小路，剩下的部分用作草坪，草坪面積預(yù)留540平方米.求小路的寬度為多少？

解析歸根結(jié)底是一元二次方程解決面積問題的實(shí)際應(yīng)用，但這道題目需要采用平移的思想，將不規(guī)則的部分變?yōu)橐?guī)則的部分，簡(jiǎn)化計(jì)算過程.也就是將兩條筆直的小路平移到長(zhǎng)方形邊緣，余下空出的長(zhǎng)方形面積剛好等于540平方米，便于計(jì)算.

解設(shè)路寬為x米，則草坪部分的長(zhǎng)為32－x米，寬為20－x米，根據(jù)草坪面積可求得路寬.

由此可得，可設(shè)一元二次方程為（32-x）（20-x）=540，

化簡(jiǎn)得，640－32x－20x+x²，

合并同類項(xiàng)可得x²－52x+100=0，

解出一元二次方程的根x₁=50，x₂=2，

因?yàn)椴萜洪L(zhǎng)度為32米.所以排除根x1，路寬為2米.

點(diǎn)評(píng)此題重在采用平移思想，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形，化簡(jiǎn)計(jì)算步驟，提高效率.在長(zhǎng)方形地皮上修路時(shí)較?？嫉念}型，解決此類題目常需要設(shè)置路寬為x，并根據(jù)題目中已知信息的面積公式建立方程.

類型3籬笆面積問題

例3如圖3，用籬笆依靠一面墻修建面積為50平方米的花園，另外三條邊用籬笆圍成，已知籬笆的長(zhǎng)度為20米.求出花園的長(zhǎng)和寬各是多少米？

解析籬笆圍成長(zhǎng)方形求取面積在一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用中較為常見，這類題型的基本特征就是已知長(zhǎng)方形的面積，求出長(zhǎng)和寬，根據(jù)已知信息構(gòu)建面積方程式.其中需要注意圍成的籬笆不可超過墻的長(zhǎng)度.

解已知長(zhǎng)方形的面積為50平方米，設(shè)用籬笆圍成的花園寬為x米，則花園的長(zhǎng)為20－2x米，根據(jù)信息中的花園面積，可構(gòu)建一元二次方程式，x（20－2x）=50，

化簡(jiǎn)得2x²－20x+50=0，

合并同類項(xiàng)得x²－10x+25=0，

可得一元二次方程的最終解為x₁=5，x₂=5，

兩個(gè)根相同，則花園的寬為5米，花園的長(zhǎng)為20－2×5=10米.

點(diǎn)評(píng)一面靠墻的籬笆問題類型最為常見，通常會(huì)依靠墻邊進(jìn)行變化，進(jìn)而求出面積.可根據(jù)題目所給出的信息，設(shè)置x后，構(gòu)建面積的一元二次方程.

結(jié)語

一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用題是九年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，大概歸結(jié)為以上三種類型，能把這三種類型的題目掌握清楚，就能依據(jù)面積公式建立方程，學(xué)習(xí)自然水到渠成.具體弄清楚如何設(shè)置未知數(shù)，尋找等量關(guān)系，也就掌握了實(shí)際的解題技巧.這類題目更多需要轉(zhuǎn)化思想，講究學(xué)習(xí)方法，才能做到舉一反三.